2019-2020学年高中数学新人教A版选修2-1课件：第三章空间向量与立体几何3.1.5空间向量运算的坐标表示（25张）

课件25张PPT。3.1.5　空间向量运算的坐标表示1.掌握空间向量的坐标运算.
2.会根据向量的坐标,判断两个向量共线或垂直.
3.掌握向量的长度,两个向量的夹角和两点间的距离公式.1.空间向量的坐标运算
若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
(1)a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);
(2)a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);
(3)λa=(λa1,λa2,λa3)(λ∈R);
(4)a·b=a1b1+a2b2+a3b3;
(5)a∥b?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(b≠0,λ∈R);
(6)a⊥b?a1b1+a2b2+a3b3=0;【做一做1-1】 与向量a=(1,2,3),b=(3,1,2)都垂直的向量为(　　)
A.(1,7,5) B.(1,-7,5)
C.(-1,-7,5) D.(1,-7,-5)
解析:(-1,-7,5)·a=-1-14+15=0,(-1,-7,5)·b=-3-7+10=0.
答案:C
【做一做1-2】 已知a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1),则b=(　　)
A.(2,-4,2) B.(-2,4,-2)
C.(-2,0,-2) D.(2,1,-3)
解析:b=(a+b)-a=(-2,4,-2).
答案:B答案:C
【做一做2-2】 已知a=(1,3,5),b=(-2,-3,1),
则a+b=　　　　　,|a|=　　　　　.?
解析:a+b=(1-2,3-3,5+1)=(-1,0,6),空间向量的坐标运算 空间两个向量平行与平面两个向量平行的表达式不一样,但实质是一致的,即对应坐标成比例,且比值为λ.空间两个向量垂直与平面两个向量垂直公式类似.
空间向量的长度公式是计算向量的长度,其形式与平面向量的长度公式一致,学习时可用类比的方法进行.它的几何意义是表示长方体对角线的长度.
夹角公式可根据数量积的定义a·b=|a||b|cos θ,结合空间向量的数量积、空间向量的长度推出其范围为0°≤θ≤180°.
空间两点间的距离公式是长度公式的推广.先根据向量的减法推题型一题型二题型三题型四空间向量的坐标运算
【例1】 已知O为坐标原点,A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),
(4,5,-1),(-2,2,3).求点P的坐标,使:题型一题型二题型三题型四反思向量的坐标即终点的坐标减去起点坐标对应的坐标.求向量终点的坐标时,一定要注意向量的起点是否在原点,在原点时,向量的坐标与终点的坐标相同;不在原点时,向量的坐标加上起点坐标才是终点的坐标.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】 已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b, q=a+2b-c,求p,q,p·q.
解:p=a-b=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1);
q=a+2b-c=(1,1,0)+2(0,1,1)-(1,0,1)=(0,3,1);
p·q=(1,0,-1)·(0,3,1)=1×0+0×3+(-1)×1=-1.题型一题型二题型三题型四 坐标形式下平行与垂直条件的应用
【例2】 设a=(1,5,-1),b=(-2,3,5).
(1)若(ka+b)∥(a-3b),求k;
(2)若(ka+b)⊥(a-3b),求k.
分析:解答本题可先求出ka+b与a-3b,再根据向量平行与垂直的条件列方程求解.
解:ka+b=(k-2,5k+3,-k+5),a-3b=(7,-4,-16).题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四【变式训练2】 (1)已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b,求x,y的值;
(2)已知向量a=(1,2,0),b=(0,2,3),若(a+kb)⊥(a-2b),求k的值.题型一题型二题型三题型四用向量的坐标解决问题 题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思结合题目建立适当的空间直角坐标系,先写出所需点的坐标,求出向量坐标,再利用坐标的运算对向量进行证明和求解运算.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,DB的中点,G在棱CD上,
(1)求证:EF⊥B1C;
(2)求EF与C1G所成的角的余弦值;
(3)求FH的长.
分析:依据条件建立合适的空间直角坐标系,将问题转化为向量的坐标运算.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四易错点　忽视两个向量夹角为锐角(钝角)的条件致错
【例4】 若向量a=(2,-3,0),b=(k,0,3)的夹角为120°,求实数k的值.错因分析由于两个向量的夹角为120°,是钝角,因此必有a·b=2k<0,从而舍去k的正值.