2019-2020学年高中数学新人教A版选修2-1课件：第三章空间向量与立体几何3.2.1用向量方法解决平行问题（19张）

课件19张PPT。3.2　立体几何中的向量方法第1课时　用向量方法解决平行问题1.理解直线的方向向量和平面的法向量.
2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系.1.直线的方向向量与平面的法向量
(1)空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点以及一个向量确定.这个向量叫做直线的方向向量.
(2)直线l垂直于平面α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.
【做一做1-1】 若点A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(　　)
A.(1,2,3) B.(1,3,2)
C.(2,1,3) D.(3,2,1)答案:A 【做一做1-2】 若u=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量中能作为平面α的法向量的是(　　)
A.(0,-3,1) B.(2,0,1)
C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1)
解析:同一个平面的法向量平行,故选D.
答案:D2.空间中平行关系的向量表示
设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为u,v,则
(1)线线平行:l∥m?a∥b?a=kb(k∈R);
(2)线面平行:l∥α?a⊥u?a·u=0;
(3)面面平行:α∥β?u∥v?u=kv(k∈R).
【做一做2-1】 下列各组向量中不平行的是(　　)
A.a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4)
B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0)
C.e=(2,3,0),f=(0,0,0)
D.g=(-2,3,5),h=(16,24,40)
解析:A项中,b=-2a?a∥b;B项中,d=-3c?d∥c;C项中,零向量与任何向量都平行.故选D.
答案:D【做一做2-2】 若两个不同平面α,β的法向量分别为u=(1,2, -1),v=(-3,-6,3),则(　　)
A.α∥β
B.α⊥β
C.α与β相交但不垂直
D.以上均不正确答案:A 1.求平面的法向量的一般步骤
剖析:若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要先建立空间直角坐标系,再用待定系数法求解,一般步骤如下:
(1)设出平面的法向量为n=(x,y,z).
(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量
a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).2.用向量方法证明空间中的平行关系
剖析:空间中的平行关系主要是指:线线平行、线面平行、面面平行.
(1)线线平行
设不重合的直线l1,l2的方向向量分别是a,b,则要证明l1∥l2,只需证明a∥b,即a=kb(k∈R).
(2)线面平行
①设直线l的方向向量是a,平面α的法向量是u,则要证明l∥α,只需证明a⊥u,即a·u=0.
②根据线面平行的判定定理:“如果直线(平面外)与平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行”,要证明一条直线和一个平面平行,也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.③要证明一条直线和一个平面平行,只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线的向量线性表示即可.
(3)面面平行
①由平面与平面平行的判定定理可知,要证明面面平行,只要转化为证明相应的线面平行、线线平行即可.
②若能求出平面α,β的法向量u,v,则要证明α∥β,只需证明u∥v即可.题型一题型二 平面的法向量的求法 【例1】 四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1,求平面SCD和平面SAB的法向量.
分析:解答本题可先建立空间直角坐标系,写出平面内不共线的两个向量的坐标,再利用待定系数法求出平面的法向量.题型一题型二题型一题型二 反思任一平面的法向量有无数个,一般用待定系数法解一个三元一次方程组,求得其中的一个即可.构造方程组时,注意所选平面内的两个向量是不共线的,赋值时应保证所求法向量为非零向量,本题中的法向量的设法值得借鉴.题型一题型二【变式训练1】 已知A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),求平面ABC的一个法向量.题型一题型二 利用向量法证明空间中的平行关系
【例2】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2BC,E,F,E1分别是棱AA1,BB1,A1B1的中点.
求证:CE∥平面C1E1F.题型一题型二题型一题型二题型一题型二题型一题型二