22.2 二次函数与一元二次方程 课件

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22.2二次函数与一元二次方程
导入新课
情境引入
问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：
h=20t-5t2，
考虑以下问题：
讲授新课
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
15
1
3
∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.
解：解方程 15=20t-5t2,
t2-4t+3=0,
t1=1,t2=3.
你能结合上图，指出为什么在两个时间求的高度为15m吗？
h=20t-5t2
（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m？
20
4
解方程：
20=20t-5t2,
t2-4t+4=0,
t1=t2=2.
当球飞行2秒时，它的高度为20米.
h=20t-5t2
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？
你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度?
20.5
解方程：
20.5=20t-5t2,
t2-4t+4.1=0,
因为(-4)2-4 ×4.1<0,
所以方程无解.
即球的飞行高度达不到20.5米.
h=20t-5t2
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
0=20t-5t2,
t2-4t=0,
t1=0,t2=4.
当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.
即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.
h=20t-5t2
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程.
所以二次函数与一元二次方程关系密切．
例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．
反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
思考
观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）y=x2+x-2；
（2）y=x2-6x+9；
（3）y=x2-x+1.
观察图象，完成下表：
0个
1个
2个
x2-x+1=0无解
0
x2-6x+9=0，x1=x2=3
-2, 1
x2+x-2=0，x1=-2,x2=1
抛物线与x轴公共点个数 公共点
横坐标 相应的一元二次
方程的根
y = x2－x＋1
y = x2－6x＋9
y = x2＋x－2
知识要点
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac > 0
有两个重合的交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac



一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了.
例3：求一元二次方程 的根的近似值（精确到0.1）.
分析：一元二次方程 x?-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x?-2x-1 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
解：画出函数 y=x?-2x-1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.
先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：
观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.
同理可得另一近似值为x2≈2.4.
x … -0.4 -0.5 …
y … -0.04 0.25 …
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.
(1)用描点法作二次函数 y=2x2+x-15的图象；
(2)观察估计二次函数 y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值);
(3)确定方程2x2+x-15=0的解;
由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5.
练习:已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　)
A．x1≈－2.1，x2≈0.1
B．x1≈－2.5，x2≈0.5
C．x1≈－2.9，x2≈0.9
D．x1≈－3，x2≈1
B
解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．
知识要点
有两个交点x1,x2
（x1＜x2）
有一个交点x0
没有交点
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系
y＜0，x1＜x＜x2.
y＞0，x2＜x或x＜x2 .
y＞0，x1＜x＜x2.
y＜0，x2＜x或x＜x2.
y＞0.x0之外的所有实数；y＜0，无解
y＜0.x0之外的所有实数；y＞0，无解.
y＞0，所有实数；y＜0，无解
y＜0，所有实数；y＞0，无解
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 a＞0 a＜0



判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ）
A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 C
1.根据下列表格的对应值:
当堂练习
x 3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
2．若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2= ；
-1
3.一元二次方程 3x2+x－10=0的两个根是x1=－2 ，x2= ，那么二次函数 y= 3x2+x－10与x轴的交点坐标是 .
4.若一元二次方程 无实根，则抛物线
图象位于（ ）
A.x轴上方 B.第一、二、三象限
C.x轴下方 D.第二、三、四象限
A
5.二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　)
A．k<3 B．k<3且k≠0
C．k≤3 D．k≤3且k≠0
D
x2
x1
x
y
O
O
△>0
△＝0
△＜0
x1 ; x2
x1 =x2
＝－b/2a
没有实数根
xx2
x ≠ x1的一切实数
所有实数
x1无解
无解
课堂小结
判别式△=b2-4ac
二次函数y=ax2+bx+c （a>0）
的图象

一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的根
不等式ax2+bx+c>0（a>0）的解集
不等式ax2+bx+c<0（a>0）的解集
谢谢
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