《数据的离散程度》培优练习
1.为了了解某校八年级女生的身体情况，从中抽取了60名女生的身高进行了测量，结果如下（单位：cm）：
167
154
159
166
169
159
156
166
162
158
159
156
166
160
164
160
157
156
157
161
158
158
153
158
164
158
163
158
153
157
162
162
159
154
165
166
157
151
146
151
158
160
165
158
163
163
162
161
154
165
162
162
159
157
159
149
164
168
159
153
160 165 158 163 163 162
计算这组数据的极差，这个极差说明什么问题？
2.某地区夏季一周内每天的最高气温（单位：℃）分别是：35，33，31，34，31，37，32，求这组数据的极差
3.某中学为庆祝建党90周年举行唱“红歌”比赛，已知10位评委给某班的打分是：8，9，6，8，9，10，6，8，9，7．
（1）求这组数据的极差：
（2）求这组数据的众数；
（3）比赛规定：去掉一个最髙分和一个最低分，剩下分数的平均数作为该班的最后得分．求该班的最后得分
4.有一组数据2，3，4，5，x
（1）当这组数据的极差为10时，写出x的值？
（2）当这组数据的平均数等于中位数时，求出x的值？
5.某校开展一项以班级为单位的投三分球比赛．规则如下：①在三分投篮线外，将球投向筐中，只要投进一次，该局便结束；②若一次未进可再投第二次，以此类推，直至投进；③若投第n次时才投中，则得分为n；④每班安排5位选手，5人得分之和为该班最终积分，积分最小的班级获胜．为确定参加比赛的人选，初三（1）班组织本班体育爱好者进行了预选赛，有4名同学成绩非常突出，已被确定为参赛选手，班主任通过统计分析，准备从双胞胎兄弟姚亦、姚新两人中挑选一人为最后一位选手，他俩的比赛得分如下：
姚亦
3
1
5
4
3
2
3
6
8
5
姚新
1
4
3
3
1
3
2
8
3
12
(1)姚亦、姚新兄弟俩的平均得分分别是多少？
（2）姚亦得分的中位数、众数、极差分别是多少？
答案和解析
【解析】
1. 解：
答案:23
解析：解答: 找出所求数据中最大的值169，最小值146，再代入公式求值极差=169-146=23，说明了学生的身高差别还是很大的
分析: 根据极差的公式：极差=最大值-最小值
2. 解：
答案:6
解析：解答: 根据极差的公式：37-31=6，所以极差是6
分析: 根据极差的公式：极差=最大值-最小值．找出所求数据中最大的值，最小值，再代入公式求值
3.解：
（1）求这组数据的极差：
答案：解答:最大值是：10，最小值是：6，
则极差是：10-6=4
（2）求这组数据的众数；
答案：解答:出现次数最多的是：8和9都是3次，6出现2次，7和10出现1次，
因而众数是8和9
（3）比赛规定：去掉一个最髙分和一个最低分，剩下分数的平均数作为该班的最后得分．求该班的最后得分
答案：解答:平均分是：×（8+9+8+9+6+8+9+7）=8
解析：分析: （1）根据极差就是最大值与最小值的差，即可求解；
（2）众数就是出现次数最多的数，据此即可求解；
（3）去掉一个最大值10和最小值6，利用平方差公式即可求解
4. 解：
（1）当这组数据的极差为10时，写出x的值？
答案：解答: 当x最大时，x-2=10，解得x=12；
当x最小时，5-x=10，解得：x=-5
（2）当这组数据的平均数等于中位数时，求出x的值？
答案：解答: 当（2+3+4+5+x）=4时，解得：x=6；解
当（2+3+4+5+x）=3时，解得：x=1；
当（2+3+4+5+x）=x时，解得：x=3.5
解析：分析: （1）分x为最大值和x为最小值两种情况利用极差的定义求解；
（2）中位数为3，4，x时三种情况利用平均数的定义
5. 解：
(1)姚亦、姚新兄弟俩的平均得分分别是多少？
答案：解答: 姚亦的平均得分是（3+1+5+4+3+2+3+6+8+5）÷10=4，
姚新的平均数是（1+4+3+3+1+3+2+8+3+12）÷10=4
（2）姚亦得分的中位数、众数、极差分别是多少？
答案：解答: 把这组数据从小到大排列为1，2，3，3，3，4，5，5，6，8，
最中间两个数的平均数是（3+4）÷2=3.5，
则姚亦得分的中位数是3.5，
3出现了3次，出现的次数最多，
则众数是3；
极差是8-1=7
解析：分析: （1）根据平均数的计算公式分别把这些数据加起来，再除以10，即可得出答案；
(2)根据中位数、众数和极差的定义以及计算公式，分别进行计算
《数据的离散程度》基础练习
1.开封市测得2019年3月22日到29日PM2.5（可入肺颗粒物）的日均值（单位：μg/m3）如下：65，39，52，45，55，71，65，133，这组数据的极差和中位数分别是（ ）
A．65和60 B．65和55 C．94和60 D．94和55
2.今年4月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，33，30，33，31，则下列表述错误的是（ ）
A.众数是31 B．中位数是30 C．平均数是32 D．极差是5
3.一次数学测试后，随机抽取6名学生成绩如下：86，85，88，80，88，95，关于这组数据说法错误的是（ ）
A．极差是15 B．众数是88 C中位数是85 D．平均数是87
4.近十天每天平均气温（℃）统计如下：24，23，22，24，24，27，30，31，30，29．关于这10个数据下列说法不正确的是（ ）
A．众数是24 B．中位数是26
C．平均数是26.4 D．极差是9
5.某市5月上旬的最高气温如下（单位℃）28，29，30，31，29，33，对这组数据下列说法错误的是（ ）
A．平均数是30 B．众数是29 C．中位数是31 D．极差是5
6.某校九年级8位同学一分钟跳绳的次数排序后如下：150，164，168，168，172，176，183，185．则由这组数据得到的结论中错误的是（ ）
A．中位数为170 B．众数为168
C．极差为35 D．平均数为171
7.有一组数据如下：3，a，4，6，7，它们的平均数是5，那么这组数据的方差是（ ）
A．10 B． C． D．2
8.某村引进甲乙两种水稻良种，各选6块条件相同的实验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为550kg/亩，方差分别为=141.7，=433.3，则产量稳定，适合推广的品种为（ ）
A．甲、乙均可 B．甲 C．乙 D．无法确定
9.某市测得一周PM2.5的日均值（单位：微克/立方米）如下：31，30，34，35，36，34，31，对这组数据下列说法正确的是（ ）
A．众数是35 B．中位数是34 C．平均数是35 D．方差是6
10.已知一组数据的方差是3，则这组数据的标准差是（ ）
A．9 B．3 C． D．
11若一组数据1,2,3,x的极差为6,则x的值是 ( )
A.7 B.8 C.9 D.7或-3
12在方差的计算公式s2=/×[(x1-20)2+(x2-20)2+…+(x10-20)2]中,数字10和20分别表示的意义可以是 ( )
A.数据的个数和方差 B.平均数和数据的个数
C.数据的个数和平均数 D.数据的方差和平均数
13在植树节当天,某校一个班同学分成10个小组参加植树造林活动,
10个小组植树的株数见下表:
植树株树(株)
5
6
7
小组个数
3
4
3
则这10个小组植树株数的方差是________.
14已知数据0,1,2,3,4的方差为2,则数据10,11,12,13,14的方差为____________,标准差为__________.
15甲、乙两位同学五次数学测验成绩如下表:
测验(次)
1
2
3
4
5
平均分
方差
甲(分)
75
90
96
83
81
乙(分)
86
70
90
95
84
请你在表中的空白处填上适当的数,用学到的统计知识对两位同学的成绩进行分析,并写出一条合理化建议.
答案和解析
【解析】
1. 解：
答案:C
解析：解答：按由小到大顺序排列为39，45，52，55，65，65，71，133，
故中位数为（55+65）÷2=60，
极差为133-39=94．
选C．
分析:根据中位数、极差的定义求出各数解答
2. 解：
答案：B
解析：解答: 数据31出现了3次，最多，众数为31，A不符合要求；
按从小到大排序后为：30、31、31、31、33、33、35，位于中间位置的数是31，B符合要求；
平均数为（30+31+31+31+33+33+35）÷7=32，C不符合要求；
极差为35-30=5，D不符合要求．
选B．
分析: 分别计算该组数据的众数、中位数、平均数及极差后即可作出正确的判断
3. 解：
答案：C
解析：解答: A.极差是95-80=15，故此选项正确，不符合要求；
B.众数是88，故此选项正确，不符合要求；
C.中位数是87，故此选项错误，符合要求；
D.平均数是87，故此选项正确，不符合要求；
选C．
分析: 平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；对于中位数，按从小到大的顺序排列，只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的两个数；对于众数是出现频数最大的数据
4. 解：
答案:B
解析：解答: ∵数据24出现了三次最多，
∴众数为24， A选项正确；
∵数据按从小到大的顺序排列为：22，23，24，24，24，27，29，30，30，31，
∴中位数为（24+27）÷2=25.5， B选项错误；
平均数=（22+23+24×3+27+29+30×2+31）÷10=26.4， C选项正确；
极差=31-22=9， D选项正确．
选B．
分析: 分别计算该组数据的平均数，众数，中位数及极差后找到正确的答案
5. 解：
答案:C
解析：解答: 平均数=（28+29+30+31+29+33）÷6=30， A正确；
∵数据29出现两次最多，
∴众数为29， B正确；
∵数据按从小到大的顺序排列为：28、29、29、30、31、33，
∴中位数为（29+30）÷2=29.5， C错误；
极差=33-28=5， D正确．
选C．
分析: 分别计算该组数据的平均数，众数，中位数及极差后找到正确的答案
6. 解：
答案:D
解析：解答: A.中位数为： =170，该结论正确，故本选项错误；
B.众数为168，该结论正确，故本选项错误；
C.极差为185-150=35，该结论正确，故本选项错误；
D.平均数为： =170.75，原结论错误，故本选项正确．
故选D．
分析: 根据极差、中位数、众数和平均数的概念求解
7. 解：
答案:D
解析：解答: ∵3，a，4，6，7，它们的平均数是5，
∴5=5，
∴a=5，
∴s2= [（5-3）2+（5-5）2+（5-4）2+（5-6）2+（5-7）2]=2．
故选D．
分析: 首先根据算术平均数的概念求出a的值，然后把数据代入方差公式求出数值．
8. 解：
答案:B
解析：解答: 根据题意，可得甲、乙两种水稻的平均产量相同，
∵141.7＜433.3，
∴＜，
即甲种水稻的产量稳定，
∴产量稳定，适合推广的品种为甲种水稻．
选：B．
分析: 首先根据题意，可得甲、乙两种水稻的平均产量相同，然后比较出它们的方差的大小，再根据方差越小，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，判断出产量稳定，适合推广的品种为哪种
9. 解：
答案:B
解析：解答: A.31和34出现了2次，出现的次数最多，则众数是31和34，故本选项错误；
B.把这组数据从小到大排列，最中间的数是34，则中位数是34，故本选项错正确；
C.这组数据的平均数是：（31+30+34+35+36+34+31）÷7=33，故本选项错误；
D.这组数据的方差是：[2（31-33）2+（30-33）2+2（34-33）2+（35-33）2+（36-33）2]=
故本选项错误；
选B．
分析:根据众数、平均数、中位数和方差的计算公式分别进行计算即可得出答案
10. 解：
答案:D
解析：解答: ∵数据的方差是S2=3，
∴这组数据的标准差是
选D．
分析: 根据标准差是方差的算术平方根，即可得出答案
11. 解：
【解析】选D.由题意可得x的值为-3或7.故选D.
12. 解：
【解析】选C.由方差的计算公式知10个数据,平均数为20.
13. 解：
【解析】先求得平均数为/=6,然后套用方差公式得s2=0.6.
答案:0.6
14. 解：
【解析】因为第二组数据在第一组数据的基础上都加上了10,数据波动情况没有发生变化,故方差不变,依然是2,标准差是/.
答案:2 /
15. 解：
【解析】
平均分
方差
甲
85
53.2
乙
85
70.4
从上述数据可以看出,两人的成绩的平均分相等,乙同学的数学成绩不够稳定,波动较大,希望乙同学在学习上查缺补漏,稳定自己的成绩.
《数据的离散程度》提高练习
1.下列统计量中，不能反映一名学生在九年级第一学期的数学学习成绩稳定程度的是（ ）
A．中位数 B．方差 C．标准差 D．极差
2.一组数据1，2，4，10，2，5的标准差是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.已知一组数据1，3，2，5，x的平均数是3，则数据的标准差是（ ）
A． B．2 C． D．10
4.数据1，3，7，1，3，3的平均数和标准差分别为（ ）
A．2，2 B．2，4 C．3，2 D．3，4
5.一个射击运动员连续射击5次，所得环数分别是8，6，10，7，9，则这个运动员本次射击所得环数的标准差为（ ）
A．2 B． C．0 D．
6.某小组8位学生一次数学测试的分数为121，123，123，124，126，127，128，128，那么这个小组测试分数的标准差是___
7.一组数据3，6，5，2，3，4的极差是______
8.为保障公民的人身安全，对醉酒驾车行为（血液酒精含量大于或等于80毫克/百毫升）按刑事犯罪处理．某交警中队于5月1日～5月3日这3天共查到12起酒后驾车事件，这12位驾车者血液酒精含量（单位：毫克/百毫升）如下：26，58，29，92，21，43，24，27，36，46，23，31．则这组数据的极差是____________毫克/百毫升．
9.某同学近5个月的手机数据流量如下：60，68，70，66，80（单位：MB），这组数据的极差是_________MB．
10在某旅游景区上山的一条路上,有一些断断续续的台阶,如图是其中的甲、乙两段台阶路的示意图.请你用所学过的有关统计知识(平均数、中位数、方差和极差)回答下列问题:
/
图中的数字表示每一级台阶的高度(单位:cm),并且数据15,16,16,14,14,15的方差:/,数据11,15,18,17,10,19的方差:/.
(1)两段台阶路有哪些相同点和不同点?
(2)哪段台阶路走起来更舒服?为什么?
(3)为方便游客行走,需要重新整修上山的小路.对于这两段台阶路,在台阶数不变的情况下,请你提出合理的整修建议.
答案和解析
【解析】
1. 解：
答案:A
解析：解答: 能反映一名学生在九年级第一学期的数学学习成绩稳定程度的是极差、方差、标准差，
选A．
分析: 根据极差、方差、标准差反映一组数据的离散程度或波动大小进行选择
2. 解：
答案:C
解析：解答: 数据的平均数=（1+2+4+10+2+5）=4，
方差S2=[（1-4）2+（2-4）2+（4-4）2+（10-4）2+（2-4）2+（5-4）2]=9
故六个数据的标准差是S=3．
选C．
分析: 先求出这组数据的平均数，再计算方差，最后根据标准差的概念计算
3. 解： 答案:A
解析：解答: 由题意得，（1+3+2+5+x）=3，
解得x=4，
所以，方差s2=[（3-1）2+（3-3）2+（3-2）2+（3-5）2+（3-4）2]
=（4+0+1+4+1）
=2，
所以数据的标准差s=
选A．
分析: 根据平均数列式求出x的值，然后求出方差，再根据标准差是方差的算术平方根解答
4. 解： 答案:C
解析：解答：这组数据1，3，7，1，3，3的平均数是：（1+3+7+1+3+3）=3；
方差S2=[（1-3）2+（3-3）2+（7-3）2+（1-3）2+（3-3）2+（3-3）2]=4，
则标准差是2．
选C．
分析: 根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出方差，从而得出标准差
5. 解：
答案:B
解析：解答：由题意知：平均数
= =8，
方差S2=[（8-8）2+（6-8）2+（10-8）2+（7-8）2+（9-8）2]=2，
所以标准差s=
选B．
分析: 先由平均数的公式求得平均数的值，再根据方差的公式计算方差，最后计算标准差
6. 解：
答案:
解析：解答: 平均数=（121+123+123+124+126+127+128+128）÷8=125，
方差S2=[（121-125）2+（123-125）2+（123-125）2+（124-125）2+（126-125）2+（127-125）2+（128-125）2+（128-125）2]，
=×48，
=6，
所以标准差S=
故答案为：
分析: 先求出8个人的成绩的平均数，再求出方差，然后求出方差的算术平方根
7. 解：
答案: 4
解析：解答: 这组数据的最大数为6，最小数为2，
则极差=6-2=4；
故答案为：4．
分析：极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差，由此计算
8. 解： 答案: 71
解析：这组数据的最大数是92，最小数是21，
故这组数据的极差=92-21=71．
答案为：71．
分析: 极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差，由此计算
9. 解：
答案：20
解析：解答：极差为：80-60=20．
答案为：20．
分析: 根据极差的定义求解
10. 解：
【解析】(1)/=/×(15+16+16+14+14+15)=15,
/=/×(11+15+18+17+10+19)=15,
甲路段的中位数为15;乙路段的中位数为16.
甲路段的极差为16-14=2;乙路段的极差为19-10=9.
又/=/,/=/,所以:
相同点:两段台阶路高度的平均数相同.
不同点:两段台阶路高度的中位数、方差、极差不同.
(2)甲段台阶路走起来更舒服一些,因为它的台阶高度的方差小.
(3)每个台阶高度均修为15cm,使得方差为0.
