高中物理鲁科版选修3-2 期末复习学案 电磁感应中的动力学和能量问题 Word版含解析

　电磁感应中的动力学和能量问题
　电磁感应中的动力学问题
1.两种状态及处理方法
状态
特征
处理方法
平衡态
加速度为零
根据平衡条件列式分析
非平衡态
加速度不为零
根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系进行分析
2.电学对象与力学对象的转换及关系
【例1】　(2018·盐城市第三次模拟)如图1所示，两根电阻不计、相距L、足够长的平行金属直角导轨，一部分处在水平面内，另一部分处在竖直平面内。导轨所在空间存在大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。金属棒ab质量为2m，电阻为R；cd质量为m，电阻为2R，两棒与导轨间动摩擦因数均为μ，ab棒在水平向左拉力作用下，由静止开始沿水平轨道做匀加速运动，同时cd棒由静止释放，cd棒速度从0达到最大的过程中拉力做功为W，重力加速度为g。求：
图1
(1)cd棒稳定状态时所受的摩擦力；
(2)cd棒速度最大时，ab棒两端的电势差；
(3)cd棒速度从0达到最大的过程中，ab棒克服阻力做的功。
解析　(1)cd棒最终保持静止状态，所受的合力为0
mg－Ff静＝0，Ff静＝mg，方向：竖直向上
(2)cd棒速度达到最大时，所受合力为0
mg－Ff滑＝0，Ff滑＝μFN，FN＝F安＝BIL
ab棒两端的电势差U＝I·2R＝
(3)cd棒速度从0达到最大的过程中，ab棒克服阻力做的功为W阻＝W摩＋W安
W－W阻＝·2mv
电路中的感应电动势E＝BLvab
由闭合电路欧姆定律
I＝
对cd棒有μBIL＝mg
联立解得vab＝
W阻＝W－
答案　见解析
用“四步法”分析电磁感应中的动力学问题
解决电磁感应中的动力学问题的一般思路是“先电后力”，具体思路如下：
　电磁感应中的能量问题
1.电磁感应中的能量转化
2.求解焦耳热Q的三种方法
【例2】　(2018·江苏南通高三上学期第一次调研)如图2所示，光滑绝缘斜面倾角为θ，斜面上平行于底边的虚线MN、PQ间存在垂直于斜面向上，磁感应强度为B的匀强磁场，MN、PQ相距为L，质量为m、边长为d(d图2
(1)线框进入磁场过程中通过线框横截面的电荷量q；
(2)线框ef边离开磁场区域时的速度v；
(3)线框穿过磁场区域产生的热量Q。
解析　(1)线框进入磁场的过程产生的平均感应电动势
＝
通过回路的电荷量q＝Δt＝Δt
磁通量的变化量ΔΦ＝Bd2
解得q＝
(2)线框中产生的感应电流I＝
受到的安培力F＝IdB
由平衡条件可得mgsin θ－F＝0
解得v＝
(3)由能量守恒定律有mg(2L＋d)sin θ＝mv2＋Q
解得Q＝mg(2L＋d)sin θ－
答案　(1)　(2)　(3)mg(2L＋d)sin θ－
电磁感应中的“杆＋导轨”模型
1.模型构建
“杆＋导轨”模型是电磁感应问题高考命题的“基本道具”，也是高考的热点，考查的知识点多，题目的综合性强，物理情景变化空间大，是我们复习中的难点。“杆＋导轨”模型又分为“单杆”和“双杆”模型(“单杆”模型为重点)；导轨放置方式可分为水平、竖直和倾斜；杆的运动状态可分为匀速、匀变速、非匀变速运动等。
2.模型分类及特点
(1)单杆水平式(导轨光滑)
物理模型
动态分析
设运动过程中某时刻棒的速度为v，加速度为a＝－，a、v同向，随v的增加，a减小，当a＝0时，v最大，I＝恒定
收尾状态
运动形式
匀速直线运动
力学特征
a＝0，v最大，vm＝
电学特征
I恒定
(2)单杆倾斜式(导轨光滑)
物理模型
动态分析
棒释放后下滑，此时a＝gsin α，速度v↑E＝BLv↑I＝↑F＝BIL↑a↓，当安培力F＝mgsin α时，a＝0，v最大
收尾状态
运动形式
匀速直线运动
力学特征
a＝0，v最大，vm＝
电学特征
I恒定
[题源：人教版选修3－2·P21·T3]
　设图4.5－5中的磁感应强度B＝1 T，平行导轨宽l＝1 m，金属棒PQ以1 m/s速度贴着导轨向右运动，R＝1 Ω，其他电阻不计。
图4.5－5
(1)运动的导线会产生感应电动势，相当于电源。用电池等符号画出这个装置的等效电路图。
(2)通过R的电流方向如何？大小等于多少？
解析　(1)等效电路如图所示。
(2)通过R的电流方向从上到下。
根据导体切割磁感线产生感应电动势的公式E＝Blv，PQ的电动势为E＝1×1×1 V＝1 V。
根据闭合电路欧姆定律，通过R的电流I＝＝ A＝1 A。
答案　(1)见解析图　(2)从上到下　1 A
拓展1　(2017·江苏单科，13)如图3所示，两条相距d的平行金属导轨位于同一水平面内，其右端接一阻值为R的电阻。质量为m的金属杆静置在导轨上，其左侧的矩形匀强磁场区域MNPQ的磁感应强度大小为B、方向竖直向下。当该磁场区域以速度v0匀速地向右扫过金属杆后，金属杆的速度变为v。导轨和金属杆的电阻不计，导轨光滑且足够长，杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触。求：
图3
(1)MN刚扫过金属杆时，杆中感应电流的大小I；
(2)MN刚扫过金属杆时，杆的加速度大小a；
(3)PQ刚要离开金属杆时，感应电流的功率P。
解析　(1)感应电动势E＝Bdv0
感应电流I＝
解得I＝
(2)安培力F＝BId
牛顿第二定律F＝ma
解得a＝
(3)金属杆切割磁感线的速度v′＝v0－v，则
感应电动势E＝Bd(v0－v)
电功率P＝
解得P＝
答案　(1)　(2)　(3)
拓展2　(2018·江苏单科，13)如图4所示，两条平行的光滑金属导轨所在平面与水平面的夹角为θ，间距为d。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直。质量为m的金属棒被固定在导轨上，距底端的距离为s，导轨与外接电源相连，使金属棒通有电流。金属棒被松开后，以加速度a沿导轨匀加速下滑，金属棒中的电流始终保持恒定，重力加速度为g。求下滑到底端的过程中，金属棒
图4
(1)末速度的大小v；
(2)通过的电流大小I；
(3)通过的电荷量Q。
解析　(1)匀加速直线运动v2＝2as
解得v＝
(2)安培力F安＝IdB
金属棒所受合力F＝mgsin θ－F安
牛顿运动定律F＝ma
解得I＝
(3)运动时间t＝，电荷量Q＝It
解得Q＝
答案　(1)　(2)　(3)
1.(2018·江苏苏州市高三第一次模拟)如图5所示，两根平行金属导轨置于水平面内，导轨之间接有电阻R。金属棒ab与两导轨垂直并保持良好接触，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下(方向不变)。现使磁感应强度随时间均匀减小，ab始终保持静止。下列说法正确的是(　　)
图5
A.ab中的感应电流方向由b到a
B.电阻R的热功率逐渐变小
C.ab所受的安培力保持不变
D.ab所受的静摩擦力逐渐变小
解析　磁感应强度均匀减小，磁通量减小，根据楞次定律得，ab中的感应电流方向由a到b，故A项错误；由于磁感应强度均匀减小，根据法拉第电磁感应定律E＝S得，感应电动势恒定，则ab中的感应电流不变，由P＝I2R知热功率不变，故B项错误；根据安培力公式F＝BIL知，电流不变，B均匀减小，则安培力减小，故C项错误；导体棒水平方向受安培力和静摩擦力处于平衡，f＝F，安培力减小，则静摩擦力减小，故D项正确。
答案　D
2.如图6所示，水平放置的光滑平行金属导轨上有一质量为m的金属棒ab，导轨的一端连接电阻R，其他电阻均不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向下，ab在一水平恒力F作用下由静止开始向右运动的过程中(　　)
图6
A.随着ab运动速度的增大，其加速度也增大
B.外力F对ab做的功等于电路中产生的电能
C.外力F做功的功率始终等于电路中的电功率
D.克服安培力做的功一定等于电路中产生的电能
解析　由牛顿第二定律可得F－＝ma，棒向右做加速度减小的加速运动，选项A错误；由于在达到最终速度前F>，力F做的功等于电路中获得的电能与金属棒的动能之和，则F的功率大于克服安培力做功的功率，即大于电路中的电功率，电路中获得的电能等于克服安培力所做的功，选项B、C错误，D正确。
答案　D
3.(多选)两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L，底端接阻值为R的电阻。将质量为m的金属棒悬挂在一个固定的轻弹簧下端，金属棒和导轨接触良好，导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，如图7所示。除电阻R外其余电阻不计。现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放。则(　　)
图7
A.释放瞬间金属棒的加速度等于重力加速度g
B.金属棒向下运动时，流过电阻R的电流方向为a→b
C.金属棒的速度为v时，所受的安培力大小为F＝
D.电阻R上产生的总热量等于金属棒重力势能的减少量
解析　金属棒刚释放时，弹簧处于原长，弹力为零，又因此时速度为零，没有感应电流，金属棒不受安培力作用，只受到重力作用，其加速度应等于重力加速度，选项A正确；金属棒向下运动时，由右手定则可知，流过电阻R的电流方向为b→a，选项B错误；金属棒速度为v时，安培力大小为F＝BIL，又I＝，解得F＝，选项C正确；金属棒下落过程中，由能量守恒定律知，金属棒减少的重力势能转化为弹簧的弹性势能、金属棒的动能(速度不为零时)以及电阻R上产生的热量，选项D错误。
答案　AC
4.(2010·江苏单科)如图8所示，两足够长的光滑金属导轨竖直放置，相距为L，一理想电流表与两导轨相连，匀强磁场与导轨平面垂直。一质量为m、有效电阻为R的导体棒在距磁场上边界h处静止释放。导体棒进入磁场后，流经电流表的电流逐渐减小，最终稳定为I。整个运动过程中，导体棒与导轨接触良好，且始终保持水平，不计导轨的电阻。求：
图8
(1)磁感应强度的大小B；
(2)电流稳定后，导体棒运动速度的大小v；
(3)流经电流表电流的最大值Im。
解析　(1)电流稳定后，导体棒做匀速运动，
则有BIL＝mg，解得B＝。
(2)感应电动势E＝BLv，感应电流I＝，
解得v＝。
(3)由题意得导体棒刚进入磁场时的速度最大，设为vm，
由机械能守恒定律得mv＝mgh，
感应电动势最大值Em＝BLvm，
感应电流最大值Im＝，
解得Im＝。
答案　(1)　(2)　(3)
作业
1.(2018·泰州中学模拟)如图1所示，MN、PQ是两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨间距为d，导轨所在平面与水平面成θ角，M、P间接阻值为R的电阻。匀强磁场的方向与导轨所在平面垂直，磁感应强度大小为B。质量为m、阻值为r的金属棒放在两导轨上，在平行于导轨的拉力作用下，以速度v匀速向上运动。已知金属棒与导轨始终垂直并且保持良好接触，重力加速度为g。求：
图1
(1)金属棒产生的感应电动势E；
(2)通过电阻R的电流I；
(3)拉力F的大小。
解析　(1)根据法拉第电磁感应定律得E＝Bdv
(2)根据闭合电路欧姆定律得I＝＝
(3)导体棒的受力情况如图所示，根据牛顿第二定律有F－F安－mgsin θ＝0，又因为F安＝BId＝，所以F＝mgsin θ＋
答案　(1)Bdv　(2)　(3)mgsin θ＋
2.(2018·常州市高三第一次模拟)如图2所示，有一倾斜光滑平行金属导轨，导轨平面与水平面的夹角θ＝30°，导轨间距L＝0.5 m，电阻不计，在两导轨间接有R＝3 Ω的电阻。 在导轨中间加一垂直轨道平面向上的宽度为d＝0.4 m 的匀强磁场，B＝2 T。一质量为m＝0.08 kg，电阻为r＝2 Ω的导体棒从距磁场上边缘
d＝0.4 m处由静止释放，运动过程中始终与导轨保持垂直且接触良好，取g＝
10 m/s2。求：
图2
(1)导体棒进入磁场上边缘的速度大小v；
(2)导体棒通过磁场区域的过程中，通过导体棒的电荷量q；
(3)导体棒通过磁场区域的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q。
解析　(1)mgdsin 30°＝mv2，解得v＝2 m/s
(2)E＝
I＝
q＝IΔt＝＝＝0.08 C
(3)E＝BLv＝2 V
I＝＝0.4 A
F＝BIL＝0.4 N
F′＝mgsin 30°＝0.4 N
所以金属棒进入磁场后做匀速运动
Q＝mgdsin 30°＝0.096 J
答案　(1)2 m/s　(2)0.08 C　(3)0.096 J
3.(2018·南京市高三学情调研)如图3所示，电阻不计、间距为l＝1.0 m的光滑平行金属导轨，水平放置于磁感应强度B＝1.0 T、方向竖直向下的匀强磁场中，导轨左端接一定值电阻R＝1.5 Ω，质量为m＝1.0 kg、电阻为r＝0.5 Ω的金属棒MN置于导轨上，始终垂直导轨且接触良好。当MN受到垂直于棒的水平外力
F＝2.0 N的作用，由静止开始运动，经过位移x＝1.55 m，到达PQ处(图中未画出)，此时速度为v＝2.0 m/s。求：
图3
(1)金属棒在PQ处所受磁场作用力大小；
(2)金属棒在PQ处的加速度大小；
(3)金属棒在运动中回路总共产生的热能。
解析　(1)速度为v＝2.0 m/s时，回路电动势E＝Blv
产生的电流I＝
由此得磁场对金属棒的作用力FA＝BIl＝＝1.0 N
(2)由牛顿第二定律有F－FA＝ma
解得a＝＝1.0 m/s2
(3)设安培力做功为W，由运动中的能量关系
Fx＋W＝mv2
解得W＝mv2－Fx＝－1.1 J
棒克服安培力所做的功，即回路中总共产生的热能为1.1 J
答案　(1)1.0 N　(2)1.0 m/s2　(3)1.1 J
4.(2018·盐城市高三第三次模拟)如图4所示，在竖直平面内，水平且平行的Ⅰ、Ⅱ虚线间距为L，其间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。一长为2L、宽为L矩形线框质量为m，电阻为R。开始时，线框下边缘正好与虚线Ⅱ重合，由静止释放，线框上边缘进入磁场后线框一直做减速运动，经过一段时间后，线框上边缘经过虚线Ⅱ瞬间加速度恰为0。重力加速度为g，不计空气阻力。求矩形线框穿过磁场过程中：
图4
(1)上边缘经过虚线Ⅱ瞬间，线框中的电流；
(2)磁通量变化率的最大值；
(3)线框中产生的焦耳热。
解析　(1) BIL＝mg
得I＝
(2) 线框上边刚进磁场时磁通量的变化率最大
＝BLv1
mgL＝mv
得＝BL
(3) 设线框上边缘通过虚线Ⅱ瞬间线框速度为v2，则
BLv2＝IR
设线框穿过磁场过程中克服安培力做的功为W，根据动能定理
mgL－W＝mv－mv
解得W＝2mgL－
答案　(1)　(2)BL　(3)2mgL－
5.(2018·镇江市高三第一次模拟)如图5所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，其电阻不计，间距为0.4 m。导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界为MN，区域Ⅰ和Ⅱ中的匀强磁场B的方向分别垂直斜面向下和垂直斜面向上，磁感应强度大小均为0.5 T。将质量为0.1 kg、电阻为0.1 Ω的导体棒ab放在导轨上的区域Ⅰ中，ab刚好不下滑。再在区域Ⅱ中将质量为0.4 kg、电阻为0.1 Ω的光滑导体棒cd从导轨上由静止开始下滑。cd棒始终处于区域Ⅱ中，两棒与导轨垂直且与导轨接触良好，g取10 m/s2。
图5
(1)求ab棒所受最大静摩擦力，并判断cd棒下滑时ab棒中电流的方向；
(2)ab棒刚要向上滑动时，cd棒的速度大小v；
(3)若从cd棒开始下滑到ab棒刚要向上滑动的过程中，装置中产生的总热量为2.6 J，求此过程中cd棒下滑的距离x。
解析　(1) ab刚好不下滑时，ab所受摩擦力为最大静摩擦力
有fmax＝m1gsin θ
则fmax＝0.5 N
由右手定则可知此时ab中电流方向由a流向b.
(2) 设ab棒刚好要上滑时，cd棒的感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律有
E＝Blv
设电路中的感应电流为I，由闭合电路欧姆定律有
I＝
设ab棒所受安培力为F安，有F安＝BIl
此时ab棒受到的最大静摩擦力方向沿斜面向下，
由平衡条件有F安＝m1gsin θ＋fmax
代入数据解得v＝5 m/s。
(3) 设cd棒的运动过程中电路中产生的总热量为Q总，由能量守恒有
m2gxsin θ＝Q总＋m2v2
解得x＝3.8 m。
答案　(1) 0.5 N　由a流向b　(2) 5 m/s　(3) 3.8 m