第二章方程与不等式第8节一次方程组
/
■考点1. 二元一次方程(组)的相关概念
1．二元一次方程：含有___________未知数，并且未知数的项的次数都是___，这样的整式方程叫做二元一次方程．一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．
2．二元一次方程组：具有相同未知数的_______二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
3.二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的未知数的值叫做这个二元一次方程
的一个解，一个二元一次方程有 个解.??
4.二元一次方程组的解：?二元一次方程组的两个方程的 ，叫做二元一次方程组的解.?
■考点2. 二元一次方程(组)的解法
解二元一次方程组的基本思想是______，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有_______消元法和__________消元法．
■考点3二元一次方程组的应用
一般步骤
1．______________；
2．______________；
3．找出能够包含未知数的______________；
4．______________；
5．______________；
6．______________．
■考点4.解简单的三元一次方程组
实质就是利用代入法或加减法消元
/
■考点1：二元一次方程(组)的相关概念
◇典例：
已知（k﹣2）x|k|﹣1﹣2y=1，则k=________时，它是二元一次方程；k=________时，它是一元一次方程．
【考点】一元一次方程的定义，二元一次方程的定义
【分析】根据二元一次方程含未知数的项的次数为1，系数不为0可求得k的值，当未知数x的系数为零时，原方程是一个一元一次方程．
解：∵（k﹣2）x|k|﹣1﹣2y=1是二元一次方程， ∴|k|﹣1=1，k﹣2≠0．
解得：k=﹣2．
∵当k﹣2=0时，原方程是一元一次方程，
∴k=2．
故答案为：-2,2．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，二元一次方程的定义概念．关键要抓住“元”与“次”．
（2018年湖南省常德市）阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号/称为2×2阶行列式，并且规定：/=a×d﹣b×c，例如：/=3×（﹣2）﹣2×（﹣1）=﹣6+2=﹣4．二元一次方程组/的解可以利用2×2阶行列式表示为：/；其中D=/，Dx=/，Dy=/．
问题：对于用上面的方法解二元一次方程组/时，下面说法错误的是（ ）
A．D=/=﹣7 B．Dx=﹣14
C．Dy=27 D．方程组的解为/
【考点】二元一次方程组的解
【分析】分别根据行列式的定义计算可得结论．
解：A．D=/=﹣7，正确；
B、Dx=/=﹣2﹣1×12=﹣14，正确；
C、Dy=/=2×12﹣1×3=21，不正确；
D、方程组的解：x=/=/=2，y=/=/=﹣3，正确；
故选：C．
【点评】本题是阅读理解问题，考查了2×2阶行列式和方程组的解的关系，理解题意，直接运用公式计算是本题的关键．
◆变式训练
（2018年江苏省淮安市）若关于x、y的二元一次方程3x﹣ay=1有一个解是/，则a= ．
（2018年山东省枣庄市）若二元一次方程组/的解为/，则a﹣ ．
■考点2：二元一次方程(组)的解法
◇典例
（2018年内蒙古包头市）若a﹣3b=2，3a﹣b=6，则b﹣a的值为 ．
【考点】解二元一次方程组
【分析】将两方程相加可得4a﹣4b=8，再两边都除以2得出a﹣b的值，继而由相反数定义或等式的性质即可得出答案．
解：由题意知/，
①+②，得：4a﹣4b=8，
则a﹣b=2，
∴b﹣a=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握等式的基本性质的灵活运用及两方程未知数系数与待求代数式间的特点．
（2019年天津市）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【考点】解二元一次方程组
【分析】利用加减消元法求出解即可．
解：，
＋②得：9x=18，即x=2，
把x=2代入②得：y=，
则方程组的解为：
故选：D．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
◆变式训练
（2018年湖北省武汉市）解方程组：/
（2018年广西桂林市）若/，则x，y的值为（ ）
A． / B． / C． / D． /
■考点3：二元一次方程组的应用
◇典例：
（2019年吉林省长春市）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一，人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱，每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】直接利用每人出九钱，会多出11钱，每人出6钱，又差16钱，分别得出方程求出答案．
解：设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为：
/．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．
（2019年四川省乐山市）《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三，人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱，每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是（ ）
A．1，11 B．7，53 C．7，61 D．6，50
【考点】一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用
【分析】设有x人，物价为y，根据该物品价格不变，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．
解：设有x人，物价为y，可得：/，
解得：/，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（2018年浙江省嘉兴市、舟山市）用消元法解方程组/时，两位同学的解法如下：
解法一：
由①﹣②，得3x=3．
解法二：
由②，得3x+（x﹣3y）=2，③
把①代入③，得3x+5=2．
（1）反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“ד．
（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答．
【考点】解二元一次方程组
【分析】（1）观察两个解题过程即可求解；
（2）根据加减消元法解方程即可求解．
解：（1）解法一中的解题过程有错误，
由①﹣②，得3x=3“×”，
应为由①﹣②，得﹣3x=3；
（2）由①﹣②，得﹣3x=3，解得x=﹣1，
把x=﹣1代入①，得﹣1﹣3y=5，解得y=﹣2．
故原方程组的解是/．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
◆变式训练
（2019年浙江省嘉兴市）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位），马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
（2018年山东省东营市）小岩打算购买气球装扮学校“毕业典礼”活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（ ）
/
A．19 B．18 C．16 D．15
（2018年山东省淄博市）甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
■考点4.解简单的三元一次方程组
◇典例： 已知|2x-y-4|+|y-2z|+|3z-x|=0，则x=????，y=????，z=????．
【考点】解三元一次方程组的应用
【分析】根据绝对值的非负性得出三元一次方程组，求出方程组的解即可． 解：∵|2x-y-4|+|y-2z|+|3z-x|=0， ∴2x-y-4=0，y-2z=0，3z-x=0， 即/ 把②③代入①得：6z-2z=4， 解得：z=1， ∴x=3z=3，y=2z=2， 故答案为：3，2，1．
【点评】本题考查了绝对值和解三元一次方程组的应用，关键是能根据题意得出三元一次方程组．
◆变式训练
（2017春?诸暨市月考）已知x+2y-3z=0，2x+3y+5z=0，则 /= ________
/
（2019年广西贺州市）已知方程组/，则2x+6y的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
（2019年四川省巴中市）已知关于x、y的二元一次方程组/的解是/，则a+b的值是（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．0
（2019年浙江省台州市）一道来自课本的习题：
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min．甲地到乙地全程是多少？
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数x，y，已经列出一个方程/+/＝/，则另一个方程正确的是（ ）
A．/+/＝/ B．/+/＝/ C．/+/＝/ D．/+/＝/
（2019年湖南省长沙市）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
（2019年黑龙江省伊春市）某学校计划用件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动中表现突出的班级，一等奖奖励件，二等奖奖励件，则分配一、二等奖个数的方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
（2019年湖北省咸宁市）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为 ．
（2019年广东省广州市）解方程组：
（2019年湖南省怀化市）解二元一次方组：/
（2018年湖北省黄冈市）在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子，A型粽子28元/千克，B型粽子24元/千克，若B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2560元，求两种型号粽子各多少千克．
（2019年甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市、陇南市、庆阳市）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？
/
/
选择题
（2019年山东省菏泽市）已知/是方程组/的解，则a+b的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
（2019年广西贺州市）已知方程组/，则2x+6y的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
（2019年湖北省孝感市）已知二元一次方程组/，则/的值是（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6
（2019年湖北省江汉油田、潜江、仙桃、天门市）把一根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的钢管有a根，则a的值可能有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．9种
（2019年山东省东营市）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队在10场比赛中得到16分．若设该队胜的场数为x，负的场数为y，则可列方程组为（ ）?
A．/ B．/ C．/ D．/
（2019年重庆市（a卷））《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50，而甲把其/的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则可建立方程组为（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
【
（2019年湖南省邵阳市）某出租车起步价所包含的路程为0～2km，超过2km的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元，盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
（2019年浙江省宁波市）小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元，若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下（ ）
A．31元 B．30元 C．25元 D．19元
（2019年黑龙江省齐齐哈尔、黑河市）学校计划购买和两种品牌的足球，已知一个品牌足球元，一个品牌足球元．学校准备将元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
（2019年黑龙江省绥化市）小明去商店购买两种玩具，共用了元钱，种玩具每件元，种玩具每件元．若每种玩具至少买一件，且种玩具的数量多于种玩具的数量．则小明的购买方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
填空题
（2019年江苏省常州市）若/是关于x、y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a＝ ．
（2019年湖南省常德市）二元一次方程组/的解为 ．
（2019年辽宁省沈阳市）二元一次方程组/的解是 ．
（2018年贵州省遵义市）现有古代数学问题：“今有牛五羊二值金八两；牛二羊五值金六两，则牛一羊一值金 两．
（2019年江苏省宿迁市）下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为_____．
/
（2019年江苏省苏州市）若，则的值为__________________.
（2019年山东省临沂市）用1块A型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品，用1块B型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品，要生产甲种产品37件，乙种产品18件，则恰好需用A．B两种型号的钢板共 块．
（2019年辽宁省大连市）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”其大意为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hu，是古代的一种容量单位）．1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，问1个大桶、一个小桶分别可以盛酒多少斛？若设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，根据题意，可列方程组为 ．
（2019年重庆市（a卷））在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材川香、贝母、黄连增加经济收入．经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比4：3：5，是根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植这三种中药材，经测算需将余下土地面积的/种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植总面积的/．为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到3：4，则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是 ．
三、解答题
（2019年浙江省金华市、丽水市）解方程组/
（2019年广西百色市）一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时．
（1）求该轮船在静水中的速度和水流速度，
（2）若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少干米？
（2019年湖南省娄底市）某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表（二）所示：
类别
成本价（元/箱）
销售价（元/箱）
甲
25
35
乙
35
48
求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？
（2019年江苏省盐城市）【生活观察】甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如：
第一次
菜价3元/千克
质量
金额
甲
1千克
3元
乙
1千克
3元
第二次：
菜价2元/千克
质量
金额
甲
1千克
元
乙
千克
3元
（1）完成上表，
（2）计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价．（均价＝总金额÷总质量）
【数学思考】设甲每次买质量为m千克的菜，乙每次买金额为n元的菜，两次的单价分别是a元/千克、b元/千克，用含有m、n、a、b的式子，分别表示出甲、乙两次买菜的均价/、/，比较/、/的大小，并说明理由．
【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次．在没有水流时，船的速度为v，所需时间为t1，如果水流速度为p时（p＜v），船顺水航行速度为（v+p），逆水航行速度为（v﹣p），所需时间为t2．请借鉴上面的研究经验，比较t1、t2的大小，并说明理由．
（2019年江苏省盐城市）体育器材室有A．B两种型号的实心球，1只A型球与1只B型球的质量共7千克，3只A型球与1只B型球的质量共13千克．
（1）每只A型球、B型球的质量分别是多少千克？
（2）现有A型球、B型球的质量共17千克，则A型球、B型球各有多少只？
（2019年江苏省淮安市）某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示：
所用火车车皮数量（节）
所用汽车数量（辆）
运输物资总量（吨）
第一批
2
5
130
第二批
4
3
218
试问每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资多少吨？
（2019年山东省淄博市（a卷））“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的A，B两种产品在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利润＝售价﹣成本）．其每件产品的成本和售价信息如下表：
A
B
成本（单位：万元/件）
2
4
售价（单位：万元/件）
5
7
问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？
（2019年山东省烟台市）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位，若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．
（1）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？
（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？
（2019年广西河池市）在某体育用品商店，购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元．
（1）跳绳、毽子的单价各是多少元？
（2）该店在“五?四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售．节日期间购买100根跳绳和100个毽子只需1800元，该店的商品按原价的几折销售？
（2019年山东省枣庄市）对于实数a、b，定义关于“?”的一种运算：a?b＝2a+b，例如3?4＝2×3+4＝10．
（1）求4?（﹣3）的值，
（2）若x?（﹣y）＝2，（2y）?x＝﹣1，求x+y的值．
（2019年吉林省）问题解决
糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂，如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？
反思归纳
现有a根竹签，b个山楂．若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是 （填写序号）．
（1）bc+d＝a，（2）ac+d＝b，（3）ac﹣d＝b．
/
/
第二章方程与不等式第8节一次方程组
■考点1. 二元一次方程(组)的相关概念
1．二元一次方程：含有__两个__未知数，并且未知数的项的次数都是__1__，这样的整式方程叫做二元一次方程．一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．
2．二元一次方程组：具有相同未知数的__两个__二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
3.二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的未知数的值叫做这个二元一次方程
的一个解，一个二元一次方程有 无数多 个解.??
4.二元一次方程组的解：?二元一次方程组的两个方程的 公共解 ，叫做二元一次方程组的解.?
■考点2. 二元一次方程(组)的解法
解二元一次方程组的基本思想是__消元__，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有__代入__消元法和__加减__消元法．
■考点3二元一次方程组的应用
一般步骤
1．__审题__；
2．__设元__；
3．找出能够包含未知数的__等量关系__；
4．__列出方程(组)__；
5．__求出方程(组)的解__；
6．__验根并作答__．
■考点4.解简单的三元一次方程组
实质就是利用代入法或加减法消元
■考点1：二元一次方程(组)的相关概念
◇典例：
已知（k﹣2）x|k|﹣1﹣2y=1，则k=________时，它是二元一次方程；k=________时，它是一元一次方程．
【考点】一元一次方程的定义，二元一次方程的定义
【分析】根据二元一次方程含未知数的项的次数为1，系数不为0可求得k的值，当未知数x的系数为零时，原方程是一个一元一次方程．
解：∵（k﹣2）x|k|﹣1﹣2y=1是二元一次方程， ∴|k|﹣1=1，k﹣2≠0．
解得：k=﹣2．
∵当k﹣2=0时，原方程是一元一次方程，
∴k=2．
故答案为：-2,2．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，二元一次方程的定义概念．关键要抓住“元”与“次”．
（2018年湖南省常德市）阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号称为2×2阶行列式，并且规定：=a×d﹣b×c，例如：=3×（﹣2）﹣2×（﹣1）=﹣6+2=﹣4．二元一次方程组的解可以利用2×2阶行列式表示为：；其中D=，Dx=，Dy=．
问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（ ）
A．D==﹣7 B．Dx=﹣14
C．Dy=27 D．方程组的解为
【考点】二元一次方程组的解
【分析】分别根据行列式的定义计算可得结论．
解：A．D==﹣7，正确；
B、Dx==﹣2﹣1×12=﹣14，正确；
C、Dy==2×12﹣1×3=21，不正确；
D、方程组的解：x===2，y===﹣3，正确；
故选：C．
【点评】本题是阅读理解问题，考查了2×2阶行列式和方程组的解的关系，理解题意，直接运用公式计算是本题的关键．
◆变式训练
（2018年江苏省淮安市）若关于x、y的二元一次方程3x﹣ay=1有一个解是，则a= ．
【考点】二元一次方程的解
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．
解：把代入方程得：9﹣2a=1，
解得：a=4，
故答案为：4．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
（2018年山东省枣庄市）若二元一次方程组的解为，则a﹣ ．
【考点】二元一次方程组的解
【分析】把x、y的值代入方程组，再将两式相加即可求出a﹣b的值．
解：将代入方程组，得：，
①+②，得：4a﹣4b=7，
则a﹣b=，
故答案为：．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出a﹣b的值，本题属于基础题型．
■考点2：二元一次方程(组)的解法
◇典例
（2018年内蒙古包头市）若a﹣3b=2，3a﹣b=6，则b﹣a的值为 ．
【考点】解二元一次方程组
【分析】将两方程相加可得4a﹣4b=8，再两边都除以2得出a﹣b的值，继而由相反数定义或等式的性质即可得出答案．
解：由题意知，
①+②，得：4a﹣4b=8，
则a﹣b=2，
∴b﹣a=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握等式的基本性质的灵活运用及两方程未知数系数与待求代数式间的特点．
（2019年天津市）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【考点】解二元一次方程组
【分析】利用加减消元法求出解即可．
解：，
＋②得：9x=18，即x=2，
把x=2代入②得：y=，
则方程组的解为：
故选：D．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
◆变式训练
（2018年湖北省武汉市）解方程组：
解：，
②﹣①得：x=6，
把x=6代入①得：y=4，
则方程组的解为．
（2018年广西桂林市）若，则x，y的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】解二元一次方程组
【分析】先根据非负数的性质列出关于x、y的二元一次方程组，再利用加减消元法求出x的值，利用代入消元法求出y的值即可．
解：∵，
∴
将方程组变形为，
①+②×2得，5x=5，解得x=1，
把x=1代入①得，3-2y=1，解得y=1，
∴方程组的解为．
故选：D．
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．
■考点3：二元一次方程组的应用
◇典例：
（2019年吉林省长春市）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一，人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱，每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】直接利用每人出九钱，会多出11钱，每人出6钱，又差16钱，分别得出方程求出答案．
解：设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为：
．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．
（2019年四川省乐山市）《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三，人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱，每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是（ ）
A．1，11 B．7，53 C．7，61 D．6，50
【考点】一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用
【分析】设有x人，物价为y，根据该物品价格不变，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．
解：设有x人，物价为y，可得：，
解得：，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（2018年浙江省嘉兴市、舟山市）用消元法解方程组时，两位同学的解法如下：
解法一：
由①﹣②，得3x=3．
解法二：
由②，得3x+（x﹣3y）=2，③
把①代入③，得3x+5=2．
（1）反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“ד．
（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答．
【考点】解二元一次方程组
【分析】（1）观察两个解题过程即可求解；
（2）根据加减消元法解方程即可求解．
解：（1）解法一中的解题过程有错误，
由①﹣②，得3x=3“×”，
应为由①﹣②，得﹣3x=3；
（2）由①﹣②，得﹣3x=3，解得x=﹣1，
把x=﹣1代入①，得﹣1﹣3y=5，解得y=﹣2．
故原方程组的解是．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
◆变式训练
（2019年浙江省嘉兴市）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位），马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位），马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．
解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为：
．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．
（2018年山东省东营市）小岩打算购买气球装扮学校“毕业典礼”活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（ ）
A．19 B．18 C．16 D．15
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】设一个笑脸气球的单价为x元/个，一个爱心气球的单价为y元/个，根据前两束气球的价格，即可得出关于x、y的方程组，用前两束气球的价格相加除以2，即可求出第三束气球的价格．
解：设一个笑脸气球的单价为x元/个，一个爱心气球的单价为y元/个，
根据题意得：，
方程（①+②）÷2，得：2x+2y=18．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（2018年山东省淄博市）甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【考点】推理与论证．
【分析】四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；由此进行分析即可．
解：四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，
所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；
若甲只胜一场，这时乙、丙各胜一场，说明丁胜三场，这与甲胜丁矛盾，
所以甲只能是胜两场，
即：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，也就是胜0场．
答：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，丁胜0场．
故选：D．
【点评】此题是推理论证题目，解答此题的关键是先根据题意，通过分析，进而得出两种可能性，继而分析即可．
■考点4.解简单的三元一次方程组
◇典例： 已知|2x-y-4|+|y-2z|+|3z-x|=0，则x=????，y=????，z=????．
【考点】解三元一次方程组的应用
【分析】根据绝对值的非负性得出三元一次方程组，求出方程组的解即可． 解：∵|2x-y-4|+|y-2z|+|3z-x|=0， ∴2x-y-4=0，y-2z=0，3z-x=0， 即 把②③代入①得：6z-2z=4， 解得：z=1， ∴x=3z=3，y=2z=2， 故答案为：3，2，1．
【点评】本题考查了绝对值和解三元一次方程组的应用，关键是能根据题意得出三元一次方程组．
◆变式训练
（2017春?诸暨市月考）已知x+2y-3z=0，2x+3y+5z=0，则 = ________
【考点】解三元一次方程组．
【分析】将x、y写成用z表示的代数式进行计算．
解：由题意得：
①×2-②得y=11z， 代入①得x=-19z， 原式=
故本题答案为：
【点评】此题需将三元一次方程组中的一个未知数当做已知数来处理，转化为二元一次方程组来解．
（2019年广西贺州市）已知方程组，则2x+6y的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【考点】解二元一次方程组
【分析】两式相减，得x+3y＝﹣2，所以2（x+3y）＝﹣4，即2x+6y＝﹣4．
解：两式相减，得x+3y＝﹣2，
∴2（x+3y）＝﹣4，
即2x+6y＝﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组，对原方程组进行变形是解题的关键．
（2019年四川省巴中市）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则a+b的值是（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．0
【考点】二元一次方程组的解，解二元一次方程组
【分析】将代入即可求出a与b的值，
解：将代入得：
，
∴a+b＝2，
故选：B．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握方程组与方程组的解之间的关系是解题的关键．
（2019年浙江省台州市）一道来自课本的习题：
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min．甲地到乙地全程是多少？
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数x，y，已经列出一个方程+＝，则另一个方程正确的是（ ）
A．+＝ B．+＝ C．+＝ D．+＝
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】直接利用已知方程得出上坡的路程为x，平路为y，进而得出等式求出答案．
解：设未知数x，y，已经列出一个方程+＝，则另一个方程正确的是：+＝．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意得出等式是解题关键．
（2019年湖南省长沙市）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决．
解：由题意可得，
，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
（2019年黑龙江省伊春市）某学校计划用件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动中表现突出的班级，一等奖奖励件，二等奖奖励件，则分配一、二等奖个数的方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【考点】二元一次方程的应用
【分析】设一等奖个数x个，二等奖个数y个，根据题意，得6x+4y=34，根据方程可得三种方案；
解：设一等奖个数个，二等奖个数个，
根据题意，得，
使方程成立的解有，，，
方案一共有种；
故选：B．
【点睛】此题考查二元一次方程的应用，解题关键在于列出方程
（2019年湖北省咸宁市）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为 ．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】设木条长x尺，绳子长y尺，根据绳子和木条长度间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
解：设木条长x尺，绳子长y尺，
依题意，得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（2019年广东省广州市）解方程组：
【考点】解二元一次方程组
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可解答.
解：，②－①可得y=2，
将y的值代入①中解得x=3，
故二元一次方程组的解是.
【点睛】本题考查了用消元法解二元一次方程组，准确计算是解题的关键.
（2019年湖南省怀化市）解二元一次方组：
【考点】解二元一次方程组
【分析】直接利用加减消元法进而解方程组即可．
解：，
①+②得：
2x＝8，
解得：x＝4，
则4﹣3y＝1，
解得：y＝1，
故方程组的解为：．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组，正确掌握解题方法是解题关键．
（2018年湖北省黄冈市）在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子，A型粽子28元/千克，B型粽子24元/千克，若B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2560元，求两种型号粽子各多少千克．
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】订购了A型粽子x千克，B型粽子y千克．根据B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2560元列出方程组，求解即可．
解：设订购了A型粽子x千克，B型粽子y千克，
根据题意，得，
解得．
答：订购了A型粽子40千克，B型粽子60千克．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组再求解．
（2019年甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市、陇南市、庆阳市）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案．
解：设中性笔和笔记本的单价分别是元、元，根据题意可得：
，
解得：，
答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．
选择题
（2019年山东省菏泽市）已知是方程组的解，则a+b的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【考点】二元一次方程组的解，解二元一次方程组
【分析】根据二元一次方程组的解法即可求出答案．
解：将代入，
可得：，
两式相加：a+b＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．
（2019年广西贺州市）已知方程组，则2x+6y的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【考点】解二元一次方程组
【分析】两式相减，得x+3y＝﹣2，所以2（x+3y）＝﹣4，即2x+6y＝﹣4．
解：两式相减，得x+3y＝﹣2，
∴2（x+3y）＝﹣4，
即2x+6y＝﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组，对原方程组进行变形是解题的关键．
（2019年湖北省孝感市）已知二元一次方程组，则的值是（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6
【考点】解二元一次方程组
【分析】解方程组求出x、y的值，再把所求式子化简后代入即可．
解：，
②﹣①×2得，2y＝7，解得，
把代入①得，+y＝1，解得，
∴＝．
故选：C．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
（2019年湖北省江汉油田、潜江、仙桃、天门市）把一根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的钢管有a根，则a的值可能有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．9种
【考点】二元一次方程的应用
【分析】可列二元一次方程解决这个问题．
解：设2m的钢管b根，根据题意得：
a+2b＝9，
∵a、b均为整数，
∴，，，．
故选：B．
【点评】本题运用了二元一次方程的整数解的知识点，运算准确是解此题的关键．
（2019年山东省东营市）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队在10场比赛中得到16分．若设该队胜的场数为x，负的场数为y，则可列方程组为（ ）?
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】设这个队胜x场，负y场，根据在10场比赛中得到16分，列方程组即可．
解：设这个队胜x场，负y场，
根据题意，得．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
（2019年重庆市（a卷））《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50，而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则可建立方程组为（ ）
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】设甲的钱数为x，人数为y，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50，而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y，
依题意，得：．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（2019年湖南省邵阳市）某出租车起步价所包含的路程为0～2km，超过2km的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元，盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】根据津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元，盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元可列方程组．
解：设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，
则所列方程组为，
故选：D．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
（2019年浙江省宁波市）小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元，若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下（ ）
A．31元 B．30元 C．25元 D．19元
【考点】二元一次方程的应用
【分析】设每支玫瑰x元，每支百合y元，根据总价＝单价×数量结合小慧带的钱数不变，可得出关于x，y的二元一次方程，整理后可得出y＝x+7，再将其代入5x+3y+10﹣8x中即可求出结论．
解：设每支玫瑰x元，每支百合y元，
依题意，得：5x+3y+10＝3x+5y﹣4，
∴y＝x+7，
∴5x+3y+10﹣8x＝5x+3（x+7）+10﹣8x＝31．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
（2019年黑龙江省齐齐哈尔、黑河市）学校计划购买和两种品牌的足球，已知一个品牌足球元，一个品牌足球元．学校准备将元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【考点】二元一次方程的应用
【分析】设购买品牌足球个，购买品牌足球个，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数即可求出结论．
解：设购买品牌足球个，购买品牌足球个，
依题意，得：，
．
，均为正整数，
，，，，
该学校共有种购买方案．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的解的问题，这类题往往涉及到方案的种类，是常考点.
（2019年黑龙江省绥化市）小明去商店购买两种玩具，共用了元钱，种玩具每件元，种玩具每件元．若每种玩具至少买一件，且种玩具的数量多于种玩具的数量．则小明的购买方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【考点】二元一次方程的应用——方案问题
【分析】设种玩具的数量为，种玩具的数量为，根据共用10元钱，可得关于x、y的二元一次方程，继而根据以及x、y均为正整数进行讨论即可得.
解：设种玩具的数量为，种玩具的数量为，
则，
即，
又x、y均为正整数，且，
当时，，不符合；
当时，，符合；
当时，，符合；
当时，，符合，
共种购买方案，
故选C.
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用——方案问题，弄清题意，正确进行分析是解题的关键.
填空题
（2019年江苏省常州市）若是关于x、y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a＝ ．
【考点】二元一次方程的解
【分析】把代入二元一次方程ax+y＝3中即可求a的值．
解：把代入二元一次方程ax+y＝3中，
a+2＝3，解得a＝1．
故答案是：1．
【点评】本题运用了二元一次方程的解的知识点，运算准确是解决此题的关键．
（2019年湖南省常德市）二元一次方程组的解为 ．
【考点】解二元一次方程组
【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解．
解：
②﹣①得x＝1 ③
将③代入①得y＝5
∴
故答案为：
【点评】本题考查的是二元一次方程组的基本解法，本题属于基础题，比较简单．
（2019年辽宁省沈阳市）二元一次方程组的解是 ．
【考点】解二元一次方程组
【分析】通过观察可以看出y的系数互为相反数，故①+②可以消去y，解得x的值，再把x的值代入①或②，都可以求出y的值．
解：，
①+②得：4x＝8，
解得x＝2，
把x＝2代入②中得：2+2y＝5，
解得y＝1.5，
所以原方程组的解为．
故答案为．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是消元，消元的方法有两种：①加减法消元，②代入法消元．
（2018年贵州省遵义市）现有古代数学问题：“今有牛五羊二值金八两；牛二羊五值金六两，则牛一羊一值金 两．
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】设一牛值金x两，一羊值金y两，根据“牛五羊二值金八两；牛二羊五值金六两”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，两方程相加除以7，即可求出一牛一羊的价值．
解：设一牛值金x两，一羊值金y两，
根据题意得：，
（①+②）÷7，得：x+y=2．
故答案为：二．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（2019年江苏省宿迁市）下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为_____．
【考点】二元一次方程组的应用，解二元一次方程组
【分析】设“△”的质量为，“□”的质量为，由题意列出方程：，解得：，得出第三个天平右盘中砝码的质量.
解：设“△”的质量为，“□”的质量为，
由题意得：，
解得：，
∴第三个天平右盘中砝码的质量；
故答案为：10．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；设出未知数，根据题意列出方程组是解题的关键．
（2019年江苏省苏州市）若，则的值为__________________.
【考点】代数式的求值，解二元一次方程组
【分析】将变形可得，因为，所以得到a=2，再求出b，得到a+b
解：将变形可得，因为，所以，得到a=2，将a=2带入，得到b=3，所以a+b=5，故填5
【点睛】本题考查代数式的求值，以及二元一次方程组的解法，本题也可采用加减消元或者代入消元法进行解题
（2019年山东省临沂市）用1块A型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品，用1块B型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品，要生产甲种产品37件，乙种产品18件，则恰好需用A．B两种型号的钢板共 块．
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】设需用A型钢板x块，B型钢板y块，根据“用1块A型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品，用1块B型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品”，可得出关于x，y的二元一次方程组，用（①+②）÷5可求出x+y的值，此题得解．
解：设需用A型钢板x块，B型钢板y块，
依题意，得：，
（①+②）÷5，得：x+y＝11．
故答案为：11．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（2019年辽宁省大连市）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”其大意为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hu，是古代的一种容量单位）．1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，问1个大桶、一个小桶分别可以盛酒多少斛？若设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，根据题意，可列方程组为 ．
【考点】数学常识，由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组．
解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，
根据题意得：，
故答案为．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
（2019年重庆市（a卷））在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材川香、贝母、黄连增加经济收入．经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比4：3：5，是根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植这三种中药材，经测算需将余下土地面积的种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植总面积的．为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到3：4，则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是 ．
【考点】三元一次方程组的应用
【分析】设该村已种药材面积x，余下土地面积为y，还需种植贝母的面积为z，则总面积为（x+y），川香已种植面积x、贝母已种植面积x，黄连已种植面积
依题意列出方程组，用y的代数式分别表示x、y，然后进行计算即可．
解：设该村已种药材面积x，余下土地面积为y，还需种植贝母的面积为z，则总面积为（x+y），川香已种植面积x、贝母已种植面积x，黄连已种植面积
依题意可得，
由①得 x＝③，
将③代入②，z＝y，
∴贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比＝，
故答案为3：20．
【点评】本题考查了三元一次方程组，正确找出等量关系并列出方程是解题的关键．
三、解答题
（2019年浙江省金华市、丽水市）解方程组
【考点】解二元一次方程组．
【分析】根据二元一次方程组的解法，先将式子①化简，再用加减消元法（或代入消元法）求解；
解：，
将①化简得：﹣x+8y＝5 ③，
②+③，得y＝1，
将y＝1代入②，得x＝3，
∴；
【点评】本题考查二元一次方程组的解法；熟练掌握加减消元法或代入消元法解方程组是解题的关键．
（2019年广西百色市）一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时．
（1）求该轮船在静水中的速度和水流速度，
（2）若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少干米？
【考点】一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用
【分析】（1）设该轮船在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时，根据路程＝速度×时间，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论，
（2）设甲、丙两地相距a千米，则乙、丙两地相距（90﹣a）千米，根据时间＝路程÷速度，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：（1）设该轮船在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时，
依题意，得：，
解得：．
答：该轮船在静水中的速度是12千米/小时，水流速度是3千米/小时．
（2）设甲、丙两地相距a千米，则乙、丙两地相距（90﹣a）千米，
依题意，得：＝，
解得：a＝．
答：甲、丙两地相距千米．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组，（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
（2019年湖南省娄底市）某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表（二）所示：
类别
成本价（元/箱）
销售价（元/箱）
甲
25
35
乙
35
48
求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】（1）设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，根据该商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论，
（2）根据总利润＝单箱利润×销售数量，即可求出结论．
解：（1）设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，
依题意，得：，
解得：．
答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．
（2）（35﹣25）×300+（48﹣35）×200＝5600（元）．
答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（2019年江苏省盐城市）【生活观察】甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如：
第一次
菜价3元/千克
质量
金额
甲
1千克
3元
乙
1千克
3元
第二次：
菜价2元/千克
质量
金额
甲
1千克
元
乙
千克
3元
（1）完成上表，
（2）计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价．（均价＝总金额÷总质量）
【数学思考】设甲每次买质量为m千克的菜，乙每次买金额为n元的菜，两次的单价分别是a元/千克、b元/千克，用含有m、n、a、b的式子，分别表示出甲、乙两次买菜的均价、，比较、的大小，并说明理由．
【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次．在没有水流时，船的速度为v，所需时间为t1，如果水流速度为p时（p＜v），船顺水航行速度为（v+p），逆水航行速度为（v﹣p），所需时间为t2．请借鉴上面的研究经验，比较t1、t2的大小，并说明理由．
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】（1）利用均价＝总金额÷总质量可求，
（2）利用均价＝总金额÷总质量可求甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价，
【数学思考】分别表示出、，然后求差，把分子配方，利用偶次方的非负性可得答案，
【知识迁移】分别表示出、，然后求差，判断分式的值总小于等于0，从而得结论．
解：（1）2×1＝2（元），3÷2＝1.5（元/千克）
故答案为2，1.5．
（2）甲两次买菜的均价为：（3+2）÷2＝2.5（元/千克）
乙两次买菜的均价为：（3+3）÷（1+1.5）＝2.4（元/千克）
∴甲两次买菜的均价为2.5（元/千克），乙两次买菜的均价为2.4（元/千克）．
【数学思考】＝＝，＝＝
∴﹣═﹣＝≥0
∴≥
【知识迁移】t1＝，t2＝+＝
∴t1﹣t2═﹣＝
∵0＜p＜v
∴t1﹣t2＜0
∴t1＜t2．
【点评】本题主要考查了均价＝总金额÷总质量的基本计算方法，以及分式加减运算和完全平方公式在计算中的应用，本题计算量较大．
（2019年江苏省盐城市）体育器材室有A．B两种型号的实心球，1只A型球与1只B型球的质量共7千克，3只A型球与1只B型球的质量共13千克．
（1）每只A型球、B型球的质量分别是多少千克？
（2）现有A型球、B型球的质量共17千克，则A型球、B型球各有多少只？
【考点】二元一次方程的应用，二元一次方程组的应用
【分析】（1）直接利用1只A型球与1只B型球的质量共7千克，3只A型球与1只B型球的质量共13千克得出方程求出答案，
（2）利用分类讨论得出方程的解即可．
解：（1）设每只A型球、B型球的质量分别是x千克、y千克，根据题意可得：
，
解得：，
答：每只A型球的质量是3千克、B型球的质量是4千克，
（2）∵现有A型球、B型球的质量共17千克，
∴设A型球1个，设B型球a个，则3+4a＝17，
解得：a＝（不合题意舍去），
设A型球2个，设B型球b个，则6+4b＝17，
解得：b＝（不合题意舍去），
设A型球3个，设B型球c个，则9+4c＝17，
解得：c＝2，
设A型球4个，设B型球d个，则12+4d＝17，
解得：d＝（不合题意舍去），
设A型球5个，设B型球e个，则15+4e＝17，
解得：a＝（不合题意舍去），
综上所述：A型球、B型球各有3只、2只．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确分类讨论是解题关键．
（2019年江苏省淮安市）某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示：
所用火车车皮数量（节）
所用汽车数量（辆）
运输物资总量（吨）
第一批
2
5
130
第二批
4
3
218
试问每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资多少吨？
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】设每节火车车皮装物资x吨，每辆汽车装物资y吨，根据题意，得，求解即可，
解：设每节火车车皮装物资x吨，每辆汽车装物资y吨，
根据题意，得，
∴，
∴每节火车车皮装物资50吨，每辆汽车装物资6吨，
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，能够根据题意列出准确的方程组，并用加减消元法解方程组是关键．
（2019年山东省淄博市（a卷））“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的A，B两种产品在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利润＝售价﹣成本）．其每件产品的成本和售价信息如下表：
A
B
成本（单位：万元/件）
2
4
售价（单位：万元/件）
5
7
问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】设A，B两种产品的销售件数分别为x件、y件，由题意列出方程组，解方程组即可．
解：设A，B两种产品的销售件数分别为x件、y件，
由题意得：，
解得：，
答：A，B两种产品的销售件数分别为160件、180件．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法，根据题意列出方程组是解题的关键．
（2019年山东省烟台市）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位，若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．
（1）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？
（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？
【考点】二元一次方程的应用，二元一次方程组的应用
【分析】（1）设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，则需调配22座新能源客车（x+4）辆，根据志愿者人数＝36×调配36座客车的数量+2及志愿者人数＝22×调配22座客车的数量﹣2，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论，
（2）设需调配36座客车m辆，22座客车n辆，根据志愿者人数＝36×调配36座客车的数量+22×调配22座客车的数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数即可求出结论．
解：（1）设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，则需调配22座新能源客车（x+4）辆，
依题意，得：，
解得：．
答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者．
（2）设需调配36座客车m辆，22座客车n辆，
依题意，得：36m+22n＝218，
∴n＝．
又∵m，n均为正整数，
∴．
答：需调配36座客车3辆，22座客车5辆．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组，（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（2019年广西河池市）在某体育用品商店，购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元．
（1）跳绳、毽子的单价各是多少元？
（2）该店在“五?四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售．节日期间购买100根跳绳和100个毽子只需1800元，该店的商品按原价的几折销售？
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】（1）设跳绳的单价为x元/条，毽子的单件为y元/个，根据：购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元，列方程组求解即可，
（2）设该店的商品按原价的a折销售，根据：购买100根跳绳和100个毽子只需1800元，列出方程求解可得．
解：（1）设跳绳的单价为x元/条，毽子的单件为y元/个，可得：，
解得：，
答：跳绳的单价为16元/条，毽子的单件为4元/个，
（2）设该店的商品按原价的a折销售，可得：（100×16+100×4）×＝1800，
解得：a＝9，
答：该店的商品按原价的9折销售．
【点评】本题主要考查二元一次方程组及一元一次方程的应用，理解题意找到相等关系是解题关键．
（2019年山东省枣庄市）对于实数a、b，定义关于“?”的一种运算：a?b＝2a+b，例如3?4＝2×3+4＝10．
（1）求4?（﹣3）的值，
（2）若x?（﹣y）＝2，（2y）?x＝﹣1，求x+y的值．
【考点】实数的运算，解二元一次方程组
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值，
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出所求．
解：（1）根据题中的新定义得：原式＝8﹣3＝5，
（2）根据题中的新定义化简得：，
①+②得：3x+3y＝1，
则x+y＝．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（2019年吉林省）问题解决
糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂，如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？
反思归纳
现有a根竹签，b个山楂．若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是 （填写序号）．
（1）bc+d＝a，（2）ac+d＝b，（3）ac﹣d＝b．
【考点】一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用
【分析】问题解决 设竹签有x根，山楂有y个，由题意得出方程组：，解方程组即可，
反思归纳 由每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，得出ac+d＝b即可．
问题解决
解：设竹签有x根，山楂有y个，
由题意得：，
解得：，
答：竹签有20根，山楂有104个，
反思归纳
解：∵每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，
则ac+d＝b，
故答案为：（2）．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法，根据题意列出方程组是解题的关键．
