第二章方程与不等式第9 节一元二次方程
■考点1. 一元二次方程的概念、解法
1．一元二次方程的概念：只含有__ _个未知数，并且未知数的最高次数是_____，这样的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是____________________ 其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数．
2．一元二次方程的解法
(1)解一元二次方程的基本思想是__ __．
(2)主要方法有：因式分解法、配方法、直接开平方法、公式法．
①用因式分解法解方程的原理是：若a·b＝0，则a＝0或__ __．
②配方法：能通过配方把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)变形为(x＋)2＝__ __的形式，再利用直接开平方法求解．【出处：21教育名师】
③公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，x＝__ _________．
■考点2. 一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝b2－4ac.
1．b2－4ac＞0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个__ __的实数根．
2．b2－4ac＝0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个__________的实数根．
3．b2－4ac＜0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__________实数根．
■考点3. 一元二次方程的根与系数的关系
1．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝__ __，x1x2＝__ __．
2．使用一元二次方程的根与系数的关系时，一是要先将一元二次方程化为一般形式；二是方程的解存在，即满足b2－4ac≥0.
■考点1：一元二次方程的概念、解法
◇典例：
（2018年湖北省荆门市）已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为 ．
【考点】一元二次方程的定义；一元二次方程的解
【分析】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值．
解：把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，
整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3，
因为k≠0，
所以k的值为﹣3．
故答案为﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
（2018年湖南省益阳市）规定：a?b=（a+b）b，如：2?3=（2+3）×3=15，若2?x=3，则x= ．
【考点】有理数的混合运算；解一元二次方程﹣配方法
【分析】根据a?b=（a+b）b，列出关于x的方程（2+x）x=3，解方程即可．
解：依题意得：（2+x）x=3，
整理，得 x2+2x=3，
所以 （x+1）2=4，
所以x+1=±2，
所以x=1或x=﹣3．
故答案是：1或﹣3．
【点评】考查了解一元二次方程﹣配方法．
用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
◆变式训练
（2019年四川省遂宁市）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a的值为（ ）
A．0 B．±1 C．1 D．﹣1
（2018年宁夏）若2﹣是方程x2﹣4x+c=0的一个根，则c的值是（ ）
A．1 B． C． D．
（2019年浙江省金华市、丽水市）用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝17 B．（x﹣3）2＝14 C．（x﹣6）2＝44 D．（x﹣3）2＝1
■考点2. 一元二次方程的根的判别式
◇典例
（2019年河北省）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（ ）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根
【考点】解一元二次方程﹣公式法，根的判别式
【分析】直接把已知数据代入进而得出c的值，再解方程求出答案．
解：∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1，
∴（﹣1）2﹣4+c＝0，
解得：c＝3，
故原方程中c＝5，
则b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，
则原方程的根的情况是不存在实数根．
故选：A．
【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出c的值是解题关键．
（2019年江苏省淮安市）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣1 B．k＞﹣1 C．k＜1 D．k＞1
【考点】根的判别式
【分析】直接利用根的判别式进而得出k的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＝4﹣4×1×（﹣k）
＝4+4k＞0，
∴k＞﹣1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
◆变式训练
（2019年湖南省湘西州）一元二次方程x2﹣2x+3＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
（2019年湖南省郴州市）一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
■考点3：一元二次方程的根与系数的关系
◇典例：
（2019年广西贵港市）若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且+＝﹣，则m等于（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
【考点】根与系数的关系
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到α+β＝2，αβ＝m，再化简+＝，代入即可求解，
解：α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，
∴α+β＝2，αβ＝m，
∵+＝＝＝﹣，
∴m＝﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
（2019年贵州省遵义市）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【考点】根与系数的关系
【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到x12=3x1-1，则x12+3x2+x1x2-2=3（x1+x2）+x1x2-3，接着利用根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=1，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵x1为一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根，
∴x12﹣3x1+1＝0，
∴x12＝3x1﹣1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2＝3（x1+x2）+x1x2﹣3，
根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3×3+1﹣3＝7．
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．
◆变式训练
（2019年广东省广州市）关于x的一元二次方程有两个实数根，，则k的值（ ）
A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．2
（2019年湖北省江汉油田、潜江、仙桃、天门市）若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（ ）
A．12 B．10 C．4 D．﹣4
（2019年湖南省怀化市）一元二次方程x2+2x+1＝0的解是（ ）
A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝2
（2018年贵州省铜仁市）关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（ ）
A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
（2019年广东省深圳市）下列命题正确的是（ ）
A．矩形对角线互相垂直
B．方程的解为
C．六边形内角和为540°
D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
（2019年山东省滨州市（a卷））用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0时，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x+2）2＝3 D．（x﹣2）2＝3
（2018年山东省临沂市）一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（ ）
A．（y+）2=1 B．（y﹣）2=1 C．（y+）2= D．（y﹣）2=
（2018年浙江省嘉兴市、舟山市）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
（2019年河南省 (1)）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
（2018年山东省德州市中考数学试题）若是一元二次方程的两个实数根，则=__________．
（2019年四川省凉山州）方程+＝1的解是 ．
（2019年江苏省南京 ）已知x=是关于x的方程的一个根，则m＝____________．
选择题
（2019年贵州省铜仁市）一元二次方程4x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为( )
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
（2019年湖北省咸宁市）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
（2019年江苏省盐城市）关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0（k为实数）根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
（2019年四川省自贡市）关于的一元二次方程 无实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2019年山东省烟台市）当b+c＝5时，关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
（2019年浙江省宁波市）能说明命题“关于x的方程x2﹣4x+m＝0一定有实数根”是假命题的反例为（ ）
A．m＝﹣1 B．m＝0 C．m＝4 D．m＝5
（2019年广西柳州市）阅读【资料】，完成第8、9题．
【资料】：如图，这是根据公开资料整理绘制而成的2004﹣2018年中美两国国内生产总值（GDP）的直方图及发展趋势线．（注：趋势线由Excel系统根据数据自动生成，趋势线中的y表示GDP，x表示年数）
2004﹣2018年中美两国国内生产总值（GDP，单位：万亿美元）直方图及发展趋势线
依据【资料】中所提供的信息，可以推算出中国的GDP要超过美国，至少要到（ ）
A．2052年 B．2038年 C．2037年 D．2034年
（2019年湖北省荆州市）若一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
（2019年山东省聊城市）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥且k≠2
（2019年广西玉林市）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
（2019年广东省）已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是( )
A． B． C． D．
（2019年湖北省黄冈市）若x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两根，则x1?x2的值为（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣4 D．4
（2019年江苏省泰州市）方程2x2+6x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2等于（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
（2019年四川省宜宾市）一元二次方程x2﹣2x+b＝0的两根分别为x1和x2，则x1+x2为（ ）
A．﹣2 B．b C．2 D．﹣b
（2019年湖北省鄂州市）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（ ）
A． B． C． D．0
（2019年山东省淄博市（a卷））若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0
（2019年山东省潍坊市）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（ ）
A．m＝﹣2 B．m＝3 C．m＝3或m＝﹣2 D．m＝﹣3或m＝2
（2019年山东省威海市）已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2019的值是（ ）
A．2023 B．2021 C．2020 D．2019
填空题
（2019年四川省资阳市）a是方程2x2=x+4的一个根，则代数式4a2-2a的值是______．
（2019年广西桂林市）一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝0的根是 ．
（2019年山东省威海市）一元二次方程3x2＝4﹣2x的解是 ．
（2019年吉林省）若关于x的一元二次方程（x+3）2＝c有实数根，则c的值可以为 （写出一个即可）．
（2019年江苏省扬州）一元二次方程的根是_____.
（2019年江苏省徐州市）方程x2﹣4＝0的解是 ．
（2019年湖北省十堰市）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝ ．
（2019年湖南省娄底市）已知方程x2+bx+3＝0的一根为+，则方程的另一根为 ．
（2019年四川省攀枝花市）已知、是方程的两根，则______________
（2019年江苏省盐城市）设x1、x2是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则x1+x2﹣x1?x2＝ ．
（2019年四川省眉山市）设a、b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为 ．
（2019年山东省德州市）已知x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根是 ．
（2019年湖北省荆门市）已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为 ．
（2019年四川省成都市）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13，则k的值为 ．
（2019年四川省泸州市）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，则（x1+4）（x2+4）的值是 ．
（2019年吉林省长春市）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的判别式的值是 ．
（2019年江苏省连云港市）已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根，则+c的值等于 ．
（2019年辽宁省本溪市）如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有实数根，那么k的取值范围是 ．
（2019年湖南省邵阳市）关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是 ．
（2019年江苏省泰州市）若关于x的方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
（2019年江苏省镇江市）若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值等于 ．
（2019年四川省遂宁市）若关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ．
（2019年四川省广元市）若关于x的一元二次方程ax2﹣x﹣＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则点P（a+1，﹣a﹣3）在第 象限．
（2019年山东省枣庄市）已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
（2019年山东省泰安市）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．
（2019年山东省青岛市）若关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
（2019年浙江省嘉兴市）在x2+ +4＝0的括号中添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根．
第二章方程与不等式第9节一元二次方程
■考点1. 一元二次方程的概念、解法
1．一元二次方程的概念：只含有__一__个未知数，并且未知数的最高次数是__2__，这样的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__ 其中 ax2 叫做二次项， bx 叫做一次项， c 叫做常数项； a 叫做二次项的系数， b 叫做一次项的系数．
2．一元二次方程的解法
(1)解一元二次方程的基本思想是__降次__．
(2)主要方法有：因式分解法、配方法、直接开平方法、公式法．
①用因式分解法解方程的原理是：若a·b＝0，则a＝0或__b＝0__．
②配方法：能通过配方把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)变形为(x＋)2＝____的形式，再利用直接开平方法求解．21教育网
③公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，x＝____．
■考点2. 一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝b2－4ac.
1．b2－4ac＞0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个__不相等__的实数根．
2．b2－4ac＝0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个__相等__的实数根．
3．b2－4ac＜0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__没有__实数根．
■考点3. 一元二次方程的根与系数的关系
1．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝__－__，x1x2＝____．
2．使用一元二次方程的根与系数的关系时，一是要先将一元二次方程化为一般形式；二是方程的解存在，即满足b2－4ac≥0.
■考点1：一元二次方程的概念、解法
◇典例：
（2018年湖北省荆门市）已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为 ．
【考点】一元二次方程的定义；一元二次方程的解
【分析】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值．
解：把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，
整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3，
因为k≠0，
所以k的值为﹣3．
故答案为﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
（2018年湖南省益阳市）规定：a?b=（a+b）b，如：2?3=（2+3）×3=15，若2?x=3，则x= ．
【考点】有理数的混合运算；解一元二次方程﹣配方法
【分析】根据a?b=（a+b）b，列出关于x的方程（2+x）x=3，解方程即可．
解：依题意得：（2+x）x=3，
整理，得 x2+2x=3，
所以 （x+1）2=4，
所以x+1=±2，
所以x=1或x=﹣3．
故答案是：1或﹣3．
【点评】考查了解一元二次方程﹣配方法．
用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
◆变式训练
（2019年四川省遂宁市）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a的值为（ ）
A．0 B．±1 C．1 D．﹣1
【考点】一元二次方程的解
【分析】直接把x＝0代入进而方程，再结合a﹣1≠0，进而得出答案．
解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，
∴a2﹣1＝0，a﹣1≠0，
则a的值为：a＝﹣1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零．
（2018年宁夏）若2﹣是方程x2﹣4x+c=0的一个根，则c的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【考点】一元二次方程的解
【分析】把2﹣代入方程x2﹣4x+c=0就得到关于c的方程，就可以解得c的值．
解：把2﹣代入方程x2﹣4x+c=0，得（2﹣）2﹣4（2﹣）+c=0，
解得c=1；
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2019年浙江省金华市、丽水市）用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝17 B．（x﹣3）2＝14 C．（x﹣6）2＝44 D．（x﹣3）2＝1
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【分析】方程利用完全平方公式变形即可得到结果．
解：用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17，
故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
■考点2. 一元二次方程的根的判别式
◇典例
（2019年河北省）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（ ）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根
【考点】解一元二次方程﹣公式法，根的判别式
【分析】直接把已知数据代入进而得出c的值，再解方程求出答案．
解：∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1，
∴（﹣1）2﹣4+c＝0，
解得：c＝3，
故原方程中c＝5，
则b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，
则原方程的根的情况是不存在实数根．
故选：A．
【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出c的值是解题关键．
（2019年江苏省淮安市）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣1 B．k＞﹣1 C．k＜1 D．k＞1
【考点】根的判别式
【分析】直接利用根的判别式进而得出k的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＝4﹣4×1×（﹣k）
＝4+4k＞0，
∴k＞﹣1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
◆变式训练
（2019年湖南省湘西州）一元二次方程x2﹣2x+3＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【考点】根的判别式
【分析】直接利用根的判别式进而判断得出答案．
解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝3，
∴b2﹣4ac＝4＝4﹣4×1×3＝﹣8＜0，
∴此方程没有实数根．
故选：C．
【点评】此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
（2019年湖南省郴州市）一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【考点】根的判别式
【分析】求出△的值即可判断．
解：一元二次方程2x2﹣3x+5＝0中，
△＝32﹣4×2×9（﹣5）＞0，
∴有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根，（2）△＝0?方程有两个相等的实数根，（3）△＜0?方程没有实数根．
■考点3：一元二次方程的根与系数的关系
◇典例：
（2019年广西贵港市）若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且+＝﹣，则m等于（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
【考点】根与系数的关系
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到α+β＝2，αβ＝m，再化简+＝，代入即可求解，
解：α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，
∴α+β＝2，αβ＝m，
∵+＝＝＝﹣，
∴m＝﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
（2019年贵州省遵义市）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【考点】根与系数的关系
【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到x12=3x1-1，则x12+3x2+x1x2-2=3（x1+x2）+x1x2-3，接着利用根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=1，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵x1为一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根，
∴x12﹣3x1+1＝0，
∴x12＝3x1﹣1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2＝3（x1+x2）+x1x2﹣3，
根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3×3+1﹣3＝7．
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．
◆变式训练
（2019年广东省广州市）关于x的一元二次方程有两个实数根，，则k的值（ ）
A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．2
【考点】根与系数的关系
【分析】将化简可得，，
利用韦达定理，，解得，k＝±2，由题意可知△＞0，
可得k＝2符合题意.
解：由韦达定理，得：
＝k－1，,
由，得：
，
即，
所以，,
化简，得：，
解得：k＝±2，
因为关于x的一元二次方程有两个实数根，
所以，△＝＝〉0，
k＝－2不符合，
所以，k＝2
故选：D.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.
（2019年湖北省江汉油田、潜江、仙桃、天门市）若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（ ）
A．12 B．10 C．4 D．﹣4
【考点】根与系数的关系
【分析】根据根与系数的关系可得α+β＝2，αβ＝﹣4，再利用完全平方公式变形α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ，代入即可求解，
解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，
∴α+β＝2，αβ＝﹣4，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
（2019年湖南省怀化市）一元二次方程x2+2x+1＝0的解是（ ）
A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝2
【考点】解一元二次方程﹣配方法
【分析】利用完全平方公式变形，从而得出方程的解．
解：∵x2+2x+1＝0，
∴（x+1）2＝0，
则x+1＝0，
解得x1＝x2＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（2018年贵州省铜仁市）关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（ ）
A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法
【分析】利用因式分解法求出已知方程的解．
解：x2﹣4x+3=0，
分解因式得：（x﹣1）（x﹣3）=0，
解得：x1=1，x2=3，
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
（2019年广东省深圳市）下列命题正确的是（ ）
A．矩形对角线互相垂直
B．方程的解为
C．六边形内角和为540°
D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
【考点】命题与定理，矩形的性质，一元二次方程的解，多边形的内角和，直角三角形全等的判定
【分析】由矩形的对角线互相平分且相等得出选项A不正确；
由方程x2=14x的解为x=14或x=0得出选项B不正确；
由六边形内角和为（6-2）×180°=720°得出选项C不正确；
由直角三角形全等的判定方法得出选项D正确；即可得出结论．
解：A．矩形对角线互相垂直，不正确；
B．方程x2=14x的解为x=14，不正确；
C．六边形内角和为540°，不正确；
D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确；
故选D.
【点睛】本题考查了命题与定理、矩形的性质、一元二次方程的解、六边形的内角和、直角三角形全等的判定；要熟练掌握．
（2019年山东省滨州市（a卷））用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0时，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x+2）2＝3 D．（x﹣2）2＝3
【考点】解一元二次方程﹣配方法
【分析】移项，配方，即可得出选项．
解：x2﹣4x+1＝0，
x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝﹣1+4，
（x﹣2）2＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
（2018年山东省临沂市）一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（ ）
A．（y+）2=1 B．（y﹣）2=1 C．（y+）2= D．（y﹣）2=
【考点】一元二次方程的解法-配方法
【分析】根据配方法即可求出答案．
解：y2﹣y﹣=0
y2﹣y=
y2﹣y+=1
（y﹣）2=1
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．
（2018年浙江省嘉兴市、舟山市）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
【考点】解一元二次方程﹣配方法；勾股定理
【分析】表示出AD的长，利用勾股定理求出即可．
解：欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=，
设AD=x，根据勾股定理得：（x+）2=b2+（）2，
整理得：x2+ax=b2，
则该方程的一个正根是AD的长，
故选：B．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
（2019年河南省 (1)）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【考点】根的判别式
【分析】先化成一般式后，在求根的判别式，即可确定根的状况．
解：原方程可化为：，
，，，
，
方程由两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键．
（2018年山东省德州市中考数学试题）若是一元二次方程的两个实数根，则=__________．
【考点】根与系数的关系
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
解：由根与系数的关系可知：x1+x2=﹣1，x1x2=﹣2，
∴x1+x2+x1x2=﹣3
故答案为：﹣3．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
（2019年四川省凉山州）方程+＝1的解是 ．
【考点】解分式方程，解一元二次方程
【分析】去分母，把分式方程化为整式方程，求解并验根即可．
解：
去分母，得（2x﹣1）（x+1）﹣2＝（x+1）（x﹣1）
去括号，得2x2+x﹣3＝x2﹣1
移项并整理，得x2+x﹣2＝0
所以（x+2）（x﹣1）＝0
解得x＝﹣2或x＝1
经检验，x＝﹣2是原方程的解．
故答案为：x＝﹣2．
【点评】本题考查了分式方程、一元二次方程的解法．掌握分式方程的解法是解决本题的关键．注意验根．
（2019年江苏省南京 ）已知x=是关于x的方程的一个根，则m＝____________．
【考点】一元二次方程的解
【分析】把x＝代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．
解：把x＝代入方程得，
解得m＝1．
故答案为1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
选择题
（2019年贵州省铜仁市）一元二次方程4x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为( )
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【考点】根的判别式
【分析】先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况．
解：∵△＝(﹣2)2﹣4×4×(﹣1)＝20＞0，
∴一元二次方程4x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根.
故选：B.
【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于掌握运算法则
（2019年湖北省咸宁市）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
【考点】根的判别式
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4m≥0，
解得：m≤1．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
（2019年江苏省盐城市）关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0（k为实数）根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
【考点】根的判别式
【分析】利用一元二次方程的根的判别式即可求
解：
由根的判别式得，△＝b2﹣4ac＝k2+8＞0
故有两个不相等的实数根
故选：A．
【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，②当△＝0 时，方程有两个相等的实数根，③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．
（2019年四川省自贡市）关于的一元二次方程 无实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点】根的判别
【分析】利用判别式的意义得到△=（-2）2-4m＜0，然后解不等式即可．
解：根据题意得△=（-2）2-4m＜0，
解得m＞1．
故选D.
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
（2019年山东省烟台市）当b+c＝5时，关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【考点】根的判别式
【分析】由b+c＝5可得出c＝5﹣b，根据方程的系数结合根的判别式可得出△＝（b﹣6）2+24，由偶次方的非负性可得出（b﹣6）2+24＞0，即△＞0，由此即可得出关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0有两个不相等的实数根．
解：∵b+c＝5，
∴c＝5﹣b．
△＝b2﹣4×3×（﹣c）＝b2+12c＝b2﹣12b+60＝（b﹣6）2+24．
∵（b﹣6）2≥0，
∴（b﹣6）2+24＞0，
∴△＞0，
∴关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
（2019年浙江省宁波市）能说明命题“关于x的方程x2﹣4x+m＝0一定有实数根”是假命题的反例为（ ）
A．m＝﹣1 B．m＝0 C．m＝4 D．m＝5
【考点】命题与定理，根的判别式
【分析】利用m＝5使方程x2﹣4x+m＝0没有实数解，从而可把m＝5作为说明命题“关于x的方程x2﹣4x+m＝0一定有实数根”是假命题的反例．
解：当m＝5时，方程变形为x2﹣4x+m＝5＝0，
因为△＝（﹣4）2﹣4×5＜0，
所以方程没有实数解，
所以m＝5可作为说明命题“关于x的方程x2﹣4x+m＝0一定有实数根”是假命题的反例．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
（2019年广西柳州市）阅读【资料】，完成第8、9题．
【资料】：如图，这是根据公开资料整理绘制而成的2004﹣2018年中美两国国内生产总值（GDP）的直方图及发展趋势线．（注：趋势线由Excel系统根据数据自动生成，趋势线中的y表示GDP，x表示年数）
2004﹣2018年中美两国国内生产总值（GDP，单位：万亿美元）直方图及发展趋势线
依据【资料】中所提供的信息，可以推算出中国的GDP要超过美国，至少要到（ ）
A．2052年 B．2038年 C．2037年 D．2034年
【考点】一元二次方程的解
【分析】联立两个一次函数解析式，求解即可
解：由图表信息，联立中美GDP趋势线解析式得
解得x＝
∴2018+（﹣15）＝
故选：B．
【点评】本题是由图表结合一次函数，利用二元一次方程组求解实际问题的，读懂信息是解题的关键．
（2019年湖北省荆州市）若一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【考点】根的判别式，一次函数的性质
【分析】利用一次函数的性质得到k＞0，b≤0，再判断△＝k2﹣4b＞0，从而得到方程根的情况．
解：∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，
∴k＞0，b≤0，
∴△＝k2﹣4b＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△＝0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
（2019年山东省聊城市）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥且k≠2
【考点】一元二次方程的定义，根的判别式
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
解：（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0，
∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，
∴，
解得：k≥且k≠2．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
（2019年广西玉林市）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
【考点】根与系数的关系
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算（1+x1）+x2（1﹣x1）的值．
解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
所以（1+x1）+x2（1﹣x1）＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
（2019年广东省）已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是( )
A． B． C． D．
【考点】根的判别式，根与系数的关系
【分析】根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行分析即可.
解：x1、x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，
这里a=1，b=-2，c=0，
b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，
所以方程有两个不相等的实数根，即，故A选项正确，不符合题意；
，故B选项正确，不符合题意；
，故C选项正确，不符合题意；
，故D选项错误，符合题意，
故选D.
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根的意义，根与系数的关系等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
（2019年湖北省黄冈市）若x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两根，则x1?x2的值为（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣4 D．4
【考点】根与系数的关系
【分析】利用根与系数的关系可得出x1?x2＝﹣5，此题得解．
解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两根，
∴x1?x2＝＝﹣5．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．
（2019年江苏省泰州市）方程2x2+6x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2等于（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
【考点】根与系数的关系
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
解：由于△＞0，
∴x1+x2＝﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
（2019年四川省宜宾市）一元二次方程x2﹣2x+b＝0的两根分别为x1和x2，则x1+x2为（ ）
A．﹣2 B．b C．2 D．﹣b
【考点】根与系数的关系
【分析】根据“一元二次方程x2﹣2x+b＝0的两根分别为x1和x2”，结合根与系数的关系，即可得到答案．
解：根据题意得：
x1+x2＝﹣＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
（2019年湖北省鄂州市）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（ ）
A． B． C． D．0
【考点】根与系数的关系
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝4，代入代数式计算即可．
解：∵x1+x2＝4，
∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，
∴x2＝，
把x2＝代入x2﹣4x+m＝0得：（）2﹣4×+m＝0，
解得：m＝，
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1?x2＝是解题的关键．
（2019年山东省淄博市（a卷））若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0
【考点】根与系数的关系
【分析】利用完全平方公式计算出x1x2＝2，然后根据根与系数的关系写出以x1，x2为根的一元二次方程．
解：∵x12+x22＝5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
而x1+x2＝3，
∴9﹣2x1x2＝5，
∴x1x2＝2，
∴以x1，x2为根的一元二次方程为x2﹣3x+2＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
（2019年山东省潍坊市）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（ ）
A．m＝﹣2 B．m＝3 C．m＝3或m＝﹣2 D．m＝﹣3或m＝2
【考点】根与系数的关系
【分析】设x1，x2是x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根，由根与系数的关系得x1+x2＝﹣2m，x1?x2＝m2+m，再由x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1?x2代入即可，
解：设x1，x2是x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根，
∴△＝﹣4m≥0，
∴m≤0，
∴x1+x2＝﹣2m，x1?x2＝m2+m，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1?x2＝4m2﹣2m2﹣2m＝2m2﹣2m＝12，
∴m＝3或m＝﹣2，
∴m＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，牢记韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
（2019年山东省威海市）已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2019的值是（ ）
A．2023 B．2021 C．2020 D．2019
【考点】根与系数的关系
【分析】根据题意可知b＝3﹣b2，a+b＝﹣1，ab﹣3，所求式子化为a2﹣b+2019＝a2﹣3+b2+2019＝（a+b）2﹣2ab+2016即可求解，
解：a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴b＝3﹣b2，a+b＝﹣1，ab＝3，
∴a2﹣b+2019＝a2﹣3+b2+2019＝（a+b）2﹣2ab+2016＝1+6+2016＝2023，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键．
填空题
（2019年四川省资阳市）a是方程2x2=x+4的一个根，则代数式4a2-2a的值是______．
【考点】一元二次方程的解
【分析】直接把a的值代入得出2a2-a=4，进而将原式变形得出答案．
解：∵a是方程2x2=x+4的一个根，
∴2a2-a=4，
∴4a2-2a=2（2a2-a）=2×4=8．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，正确将原式变形是解题关键．
（2019年广西桂林市）一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝0的根是 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法
【分析】利用因式分解法把方程化为x﹣3＝0或x﹣2＝0，然后解两个一次方程即可．
解：x﹣3＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝3，x2＝2．
故答案为x1＝3，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
（2019年山东省威海市）一元二次方程3x2＝4﹣2x的解是 ．
【考点】解一元二次方程﹣公式法
【分析】直接利用公式法解方程得出答案．
解：3x2＝4﹣2x
3x2+2x﹣4＝0，
则b2﹣4ac＝4﹣4×3×（﹣4）＝52＞0，
故x＝，
解得：x1＝，x2＝．
故答案为：x1＝，x2＝．
【点评】此题主要考查了公式法解方程，正确掌握公式法是解题关键．
（2019年吉林省）若关于x的一元二次方程（x+3）2＝c有实数根，则c的值可以为 （写出一个即可）．
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法
【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式△≥0，由此可以得到关于c的不等式，解不等式就可以求出c的取值范围．
解：一元二次方程化为x2+6x+9﹣c＝0，
∵△＝36﹣4（9﹣c）＝4c≥0，
解上式得c≥0．
故答为5（答案不唯一，只有c≥0即可）．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，根的判别式，关键在于求出c的取值范围．
程的解法是解本题的关键．
（2019年江苏省扬州）一元二次方程的根是_____.
【考点】解一元二次方程——因式分解法
【分析】整体移项后，利用因式分解法进行求解即可得.
解：x(x-2)-(x-2)=0，
，
x-1=0或x-2=0，
所以x1=1， x2=2，
故答案为：x1=1， x2=2.
【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，根据方程的特点熟练选择恰当的方法进行求解是关键.
（2019年江苏省徐州市）方程x2﹣4＝0的解是 ．
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法
【分析】首先把4移项，再利用直接开平方法解方程即可．
解：x2﹣4＝0，
移项得：x2＝4，
两边直接开平方得：x＝±2，
故答案为：±2．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0），ax2＝b（a，b同号且a≠0），（x+a）2＝b（b≥0），a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
（2019年湖北省十堰市）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝ ．
【考点】实数的运算，解一元二次方程﹣因式分解法
【分析】利用新定义得到[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，整理得到（2m﹣1）2﹣49＝0，然后利用因式分解法解方程．
解：根据题意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，
（2m﹣1）2﹣49＝0，
（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0，
2m﹣1+7＝0或2m﹣1﹣7＝0，
所以m1＝﹣3，m2＝4．
故答案为﹣3或4．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
（2019年湖南省娄底市）已知方程x2+bx+3＝0的一根为+，则方程的另一根为 ．
【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系
【分析】设方程的另一个根为c，再根据根与系数的关系即可得出结论．
解：设方程的另一个根为c，
∵（+）c＝3，
∴c＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查的是根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此题的关键．
（2019年四川省攀枝花市）已知、是方程的两根，则______________
【考点】根与系数的关系
【分析】根据根与系数的关系变形后求解．
解：∵x1、x2是方程x2?2x?1＝0的两根，
∴x1＋x2＝2，x1×x2＝?1，
∴x12＋x22＝（x1＋x2）2?2x1x2＝22?2×（?1）＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1?x2＝．
（2019年江苏省盐城市）设x1、x2是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则x1+x2﹣x1?x2＝ ．
【考点】根与系数的关系
【分析】由韦达定理可知x1+x2＝3，x1?x2＝2，代入计算即可，
解：x1、x2是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，
∴x1+x2＝3，x1?x2＝2，
∴x1+x2﹣x1?x2＝3﹣2＝1，
故答案为1，
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，牢记韦达定理是解题的关键．
（2019年四川省眉山市）设a、b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为 ．
【考点】根与系数的关系
【分析】根据根与系数的关系可得出a+b＝﹣1，ab＝﹣2019，将其代入（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a+b）+1中即可得出结论．
解：∵a、b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，ab＝﹣2019，
∴（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a+b）+1＝﹣2019+1+1＝﹣2017．
故答案为：﹣2017．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
（2019年山东省德州市）已知x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根是 ．
【考点】根与系数的关系
【分析】根据根与系数的关系得出x1x2＝＝﹣2，即可得出另一根的值．
解：∵x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，
∴x1x2＝＝﹣2，
∴1×x2＝﹣2，
则方程的另一个根是：﹣2，
故答案为﹣2．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键．
（2019年湖北省荆门市）已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为 ．
【考点】根与系数的关系
【分析】根据根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而即可确定k值，此题得解．
解：∵x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣（3k+1），x1x2＝2k2+1．
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝8k2，
∴2k2+1+3k+1+1＝8k2，
整理，得：2k2﹣k﹣1＝0，
解得：k1＝﹣，k2＝1．
∵关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，
∴△＝（3k+1）2﹣4×1×（2k2+1）＞0，
解得：k＜﹣3﹣2或k＞﹣3+2，
∴k＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，利用根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，求出k值是解题的关键．
（2019年四川省成都市）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13，则k的值为 ．
【考点】根与系数的关系
【分析】根据“x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13”，结合根与系数的关系，列出关于k的一元一次方程，解之即可．
解：根据题意得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1，
+﹣x1x2
＝﹣3x1x2
＝4﹣3（k﹣1）
＝13，
k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
（2019年四川省泸州市）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，则（x1+4）（x2+4）的值是 ．
【考点】根与系数的关系
【分析】根据x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，可以求得x1+x2和x1x2的值，从而可以求得所求式子的值．
解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣4，
∴（x1+4）（x2+4）
＝x1x2+4x1+4x2+16
＝x1x2+4（x1+x2）+16
＝﹣4+4×1+16
＝﹣4+4+16
＝16，
故答案为：16．
【点评】本题考查根与系数的关系，解答本题的关键是明确x1+x2＝﹣，x1x2＝．
（2019年吉林省长春市）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的判别式的值是 ．
【考点】根的判别式
【分析】根据根的判别式等于b2﹣4ac，代入求值即可．
解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了根的判别式，熟记根的判别式的公式△＝b2﹣4ac．
（2019年江苏省连云港市）已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根，则+c的值等于 ．
【考点】根的判别式
【分析】根据“关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于a和c的等式，整理后即可得到的答案．
解：根据题意得：
△＝4﹣4a（2﹣c）＝0，
整理得：4ac﹣8a＝﹣4，
4a（c﹣2）＝﹣4，
∵方程ax2+2x+2﹣c＝0是一元二次方程，
∴a≠0，
等式两边同时除以4a得：c﹣2＝﹣，
则+c＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．
（2019年辽宁省本溪市）如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有实数根，那么k的取值范围是 ．
【考点】根的判别式
【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．
解：根据题意得：△＝16﹣4k≥0，
解得：k≤4．
故答案为：k≤4．
【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根，根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根，根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
（2019年湖南省邵阳市）关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是 ．
【考点】根的判别式
【分析】根据一元二次方程根的存在性，利用判别式△＞0求解即可，
解：一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝4+4m＞0，
∴m＞﹣1，
故答案为0，
【点评】本题考查一元二次方程的根的存在性，熟练掌握利用判别式△确定一元二次方程的根的存在性是解题的关键．
（2019年江苏省泰州市）若关于x的方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
【考点】根的判别式
【分析】利用判别式的意义得到△＝22﹣4m＞0，然后解关于m的不等式即可．
解：根据题意得△＝22﹣4m＞0，
解得m＜1．
故答案为m＜1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△＝0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程无实数根．
（2019年江苏省镇江市）若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值等于 ．
【考点】根的判别式
【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4m＝0，然后解关于m的方程即可．
解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＝0，
解得m＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△＝0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程无实数根．
（2019年四川省遂宁市）若关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ．
【考点】根的判别式
【分析】利用根的判别式进行计算，令△＞0即可得到关于k的不等式，解答即可．
解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
即4﹣4k＞0，
k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】本题考查了根的判别式，要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根，
（2）△＝0?方程有两个相等的实数根，
（3）△＜0?方程没有实数根．
（2019年四川省广元市）若关于x的一元二次方程ax2﹣x﹣＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则点P（a+1，﹣a﹣3）在第 象限．
【考点】根的判别式，点的坐标
【分析】由二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，由a的取值范围可得出a+1＞0，﹣a﹣3＜0，进而可得出点P在第四象限，此题得解．
解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣x﹣＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，
∴，
解得：a＞﹣1且a≠0．
∴a+1＞0，﹣a﹣3＜0，
∴点P（a+1，﹣a﹣3）在第四象限．
故答案为：四．
【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及点的坐标，利用二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．
（2019年山东省枣庄市）已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
【考点】根的判别式
【分析】由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式是b2﹣4ac＞0即可进行解答
解：由关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根
得△＝b2﹣4ac＝4+4×3a＞0，
解得a＞
则a＞且a≠0
故答案为a＞且a≠0
【点评】本题重点考查了一元二次方程根的判别式，在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，（1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，（2）当△＝0时，方程有两个相等的实数根，（3）当△＜0时，方程没有实数根．
（2019年山东省泰安市）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．
【考点】根的判别式
【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＞0，求出k的取值范围，
解：∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＝﹣4k+1﹣12＞0，
解得k，
故答案为：k．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根，②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根，③当△＜0时，方程无实数根．
（2019年山东省青岛市）若关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
【考点】根的判别式
【分析】根据“关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于m的一元一次方程，解之即可．
解：根据题意得：
△＝1﹣4×2m＝0，
整理得：1﹣8m＝0，
解得：m＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．
（2019年浙江省嘉兴市）在x2+ +4＝0的括号中添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根．
【考点】根的判别式
【分析】要使方程有两个相等的实数根，即△＝0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数即可．
解：要使方程有两个相等的实数根，则△＝b2﹣4ac＝b2﹣16＝0
得b＝±4
故一次项为±4x
故答案为±4x
【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，②当△＝0 时，方程有两个相等的实数根，③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．
