《定义与命题》培优练习
1. 如图，现有以下3句话：①AB∥CD，②∠B=∠C．③∠E=∠F．请以其中2句话为条件，第三句话为结论构造命题．
（1）你构造的是哪几个命题？
（2）你构造的命题是真命题还是假命题？请加以证明．
2. 写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理．
（1）相等的角是内错角；
（2）角平分线上的点到角的两边的距离相等．
3. 请写出“全等三角形的对应角相等”的逆命题，判断此逆命题的真假性，并给出证明．
4. 已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．
5. 根据命题“两直线平行，内错角相等．”解决下列问题：
（1）写出逆命题；
（2）判断逆命题是真命题还是假命题；
（3）根据逆命题画出图形，写出已知，求证．
（1）判断△ACD的形状？并说明理由．
（2）你在证明你的结论过程中应用了哪一对互逆的真命题？
答案和解析
【解析】
1. 解：
答案：（1）由①②得到③；由①③得到②；由②③得到①|
（2）∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠C=∠CDF，
∴CE∥BF，
∴∠E=∠F，
所以由①②得到③为真命题；
∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∴∠B=∠C，
所以由①③得到②为真命题；
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠CDF，
∴AB∥CD，
所以由②③得到①为真命题．
解析：分析：（1）分别以其中2句话为条件，第三句话为结论可写出3个命题；
（2）根据平行线的判定与性质对3个命题分别进行证明，判断它们的真假．
2. 解：
答案：（1）“相等的角是内错角”的逆命题为“内错角相等”，原命题与逆命题都是假命题，不是互逆定理|（2）“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题为“到一个角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上”，原命题和逆命题是互逆定理．
解析： 分析：（1）交换命题的题设与结论即可得到逆命题，然后根据内错角的定义可判断原命题与逆命题都是假命题；
（2）交换命题的题设与结论即可得到逆命题，然后根据角平分线的性质定理和逆定理可判断它们为互逆定理．
3.解：
答案：命题“全等三角形的对应角相等”的题设是“全等三角形”，结论是“对应角相等”，
故其逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，
是假命题，
举例证明：如图DE∥BC，
∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A=∠A，
但△ADE与△ABC不全等．
解析：解答：
分析：根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可的出原命题的逆命题，进而判断它的真假，再举例证明即可．
4. 解：
答案：
（1）∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴△ACD是直角三角形；
（2）应用了直角三角形的两锐角互余，两锐角互余的三角形是直角三角形，这一对互逆的真命题．
解析：分析：（1）根据∠ACB=90°，得出∠A+∠B=90°，根据∠ACD=∠B，得出∠A+∠ACD=90°，再根据两锐角互余的三角形是直角三角形即可得出答案，
（2）根据证明过程可得应用了直角三角形的两锐角互余，两锐角互余的三角形是直角三角形，这一对互逆的真命题．
5. 解：
答案：（1）逆命题：内错角相等，两直线平行|（2）是真命题|（3）已知：如图，∠AMN=∠DNM，
求证：AB∥CD．
解析： 分析：（1）把命题的题设和结论交换即可；
（2）根据平行线的判定方法解答；
（3）把文字叙述转化为图形写出已知求证即可．
《定义与命题》基础练习
1. 下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是正方形
2. 下列命题正确的是（ ）
A．矩形的对角线互相垂直
B．两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．分式方程可化为一元一次方程
D．多项式因式分解为
3. 下列命题中，是假命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．同旁内角互补
C．两点确定一条直线
D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
4. 下列命题中的真命题是（ ）
A．两边和一角分别相等的两个三角形全等
B．相似三角形的面积比等于相似比
C．正方形不是中心对称图形
D．圆内接四边形的对角互补
5. 下列命题中，属于真命题的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．矩形的对角线互相垂直
C．三角形的中位线把三角形分成面积相等的两部分
D．对顶角相等
6. 下列说法正确的是（ ）
A．面积相等的两个三角形全等
B．矩形的四条边一定相等
C．一个图形和它旋转后所得图形的对应线段相等
D．随机投掷一枚质地均匀的硬币，落地后一定是正面朝上
7. 下列说法不正确的是（ ）
A．圆锥的俯视图是圆
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．任意一个等腰三角形是钝角三角形
D．周长相等的正方形、长方形、圆，这三个几何图形中，圆面积最大
8. 下列命题：
①平行四边形的对边相等；
②对角线相等的四边形是矩形；
③正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．
其中真命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
9. 下列命题中，为真命题的是（ ）
A．六边形的内角和为360度
B．多边形的外角和与边数有关
C．矩形的对角线互相垂直
D．三角形两边的和大于第三边
10. 下列命题中错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．菱形的对角线互相垂直
C．同旁内角互补
D．矩形的对角线相等
11．下列命题属于定义的是( )
A．两点之间线段最短
B．25的平方根是±5
C．同旁内角互补
D．含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程是二元一次方程
12．下列叙述：①两点确定一条直线；②同位角相等；③每一个偶数都能被4整除；④点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度．其中是定义的是( )
A．① B．② C．③ D．④
13．下列语句是命题的是( )
A．连接P，Q两点
B．画一条线段等于已知线段
C．过点M作直线PQ的垂线
D．两条直线相交，有且只有一个交点
14．命题：①邻补角互补；②对顶角相等；③同旁内角互补；④两点之间线段最短．其中真命题的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列命题中：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.
其中真命题有__________．(填写真命题的序号)
答案和解析
【解析】
1. 解：
答案：A
解析：解答：A.对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以A选项为真命题；
B.对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项为假命题；
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以C选项为假命题；
D.对角线互相垂直的矩形是正方形，所以D选项为假命题．
故选A．
分析：根据平行四边形的判定方法对A进行判定；根据矩形的判定方法、对角线相等的平行四边形是矩形，则可对B进行判定；根据菱形的判定方法，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则可对C进行判定；根据正方形的判定方法，对角线互相垂直的矩形是正方形，则可对D进行判定．
2. 解：
答案：C
解析：解答：A.矩形的对角线互相垂直是假命题，故本选项错误；
B.两边和一角对应相等的两个三角形全等是假命题，故本选项错误；
C.分式方程两边都乘以，可化为一元一次力程是真命题，故本选项正确；
D.多项式因式分解化为，不是因式分解，错误，故本选项错误．
故选C．
分析：根据矩形的性质，全等三角形的判定，分式方程的解法以及因式分解对各选项分析判断即可得解．
3. 解：
答案：B
解析：解答：A.对顶角相等，所以A选项为真命题；
B.两直线平行，同旁内角互补，所以B选项为假命题；
C.两点确定一条直线，所以C选项为真命题；
D.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，所以D选项为真命题．
故选B．
分析：根据对顶角的性质对A进行判断；根据平行线的性质对B进行判断；根据直线公理对C进行判断；根据角平分线性质对D进行判断．
4. 解：
答案：D
解析：解答：A.两边和一角分别相等的两个三角形全等，这个角不一定是已知两边的夹角，此选项错误；
B.相似三角形的面积比等于相似比的平方，此选项错误；
C.正方形是中心对称图形，此选项错误；
D.圆内接四边形的对角互补，此选项正确；
故选D．
分析：直接根据全等三角形的判定定理、相似三角形的性质、中心对称图形的定义以及圆内接四边形的性质对各个选项作出判断即可．
5. 解：
答案：D
解析：解答：A.各边相等、各角相等的多边形是正多边形，所以A选项错误；
B.矩形的对角线互相平分且相等，所以B选项错误；
C.三角形的中位线把三角形分成面积为1：3的两部分，所以C选项错误；
D.对顶角相等，所以D选项正确．
故选D．
分析：根据正多边形的定义对A进行判断；根据矩形的性质对B进行判断；根据三角形中位线性质和相似三角形的性质对C进行判断；根据对顶角的性质对D进行判断．
6. 解：
答案：C
解析：解答：A.面积相等的两个三角形不一定全等，此选项错误；
B.矩形的对边相等，此选项错误；
C.一个图形和它旋转后所得图形的对应线段相等，此选项正确；
D.随机投掷一枚质地均匀的硬币，落地后不一定是正面朝上，此选项错误；
故选C．
分析：直接根据全等三角形的判定定理、矩形的性质、旋转的性质以及概率的知识对各个选项进行判断即可．
7. 解：
答案：C
解析：解答：A.圆锥的俯视图是圆，正确；
B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确；
C.任意一个等腰三角形是钝角三角形，错误；例如，顶角为80°的等腰三角形，它的两个底角分别为50°，50°，为锐角三角形；
D.周长相等的正方形、长方形、圆，这三个几何图形中，圆面积最大，正确；
故选：C．
分析：根据三视图、菱形的判定定理、等腰三角形的性质、正方形的性质、即可解答．
8. 解：
答案：C
解析：解答：平行四边形的对边相等，所以①正确；
对角线相等的平行四边形是矩形，所以②错误；
正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以③正确；
一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，所以④正确．
故选C．
分析：根据平行四边形的性质对①进行判断；根据矩形的判定方法对②进行判断；根据正方形的性质对③进行判断；根据菱形的判定方法对④进行判断．
9. 解：
答案：D
解析：解答：A.六边形的内角和为720°，错误；
B.多边形的外角和与边数无关，都等于360°，错误；
C.矩形的对角线相等，错误；
D.三角形的两边之和大于第三边，正确；
故选D．
分析：根据六边形的内角和、多边形的外角和、矩形的性质和三角形三边关系判断即可．
10. 解：
答案：C
解析：解答：A.平行四边形的对角线互相平分，所以A选项为真命题；
B.菱形的对角线互相垂直，所以B选项为真命题；
C.两直线平行，同旁内角互补，所以C选项为假命题；
D.矩形的对角线相等，所以D选项为真命题．
故选C．
分析：根据平行四边形的性质对A进行判断；根据菱形的性质对B进行判断；根据平行线的性质对C进行判断；根据矩形的性质对D进行判断．
11. 解：
D
12. 解：
D
13. 解：
D
14. 解：
C
15. 解：
①②④
《定义与命题》提高练习
1. 已知下列命题：①若a＞0，b＞0，则a+b＞0；②若a≠b，则；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．④菱形的对角线互相垂直．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
2. 下列语句中，属于定义的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．平行线的同位角相等
C．两点之间线段最短
D．直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
3. 为了证明命题“任何偶数都是8的整数倍”是假命题，下列各数中可以作为反例的是（ ）
A．32
B．16
C．8
D．4
4. 能说明命题“关于x的一元二次方程，当时必有实数解”是假命题的一个反例为（ ）
A．m=－4
B．m=－3
C．m=－2
D．m=4
5. 下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）
A．a=2
B．a=1
C．a=0
D．a=－1
6. 命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是______命题．（填入“真”或“假”）
7. 命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是到角的两边的距离相等的是______．
8. 命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是______，结论是______．
9. “对顶角相等”的逆命题是______，它是______命题（选填“真”或“假”）
10．命题“直角三角形两个锐角互余”的条件是________________________________________．
答案和解析
【解析】
1. 解：
答案：D
解析：解答：① 若a＞0，b＞0，则a+b＞0，是真命题．但若a+b＞0，则a＞0，b＞0，是假命题；
② 若a≠b，则，是假命题．若，则a≠b，是真命题；
③ 原命题与逆命题均为真命题；
④ 菱形的对角线互相垂直．原命题是真命题，而逆命题是假命题．
故选D．
分析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
2. 解：
答案：D
解析：解答：A．两点确定一条直线，这是一个命题；
B．平行线的同位角相等，这是一个命题；
C．两点之间线段最短，这是一个命题；
D．直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离不是命题，这是一个定义；
故选D．
分析：根据定义的概念对各个选项进行分析，从而得到答案．
3. 解： 答案：D
解析：解答：4是偶数，但4不是8的倍数．
故选D．
分析：证明命题为假命题，通常用反例说明，此反例满足命题的题设，但不满足命题的结论．
4. 解： 答案：B
解析：解答：当时，方程化为，△=9－4×4＜0，方程没有实数解，所以可作为说明命题“关于x的一元二次方程，当时必有实数解”是假命题的一个反例．
故选B．
分析：m的值满足，且此时方程没有实数解，这时m的值可作为反例．
5. 解：
答案：D
解析：解答：当时，满足，但满足，所以可作为证明命题“若，则”是假命题的反例．
故选D．
分析：所选取的a的值符合题设，则不满足结论即作为反例．
6. 解：
答案：假
解析：解答：“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形是全等三角形”，根据全等三角形的定义，不符合要求，因此是假命题．
分析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，如果能就是真命题．
7. 解：
答案：到角的两边的距离相等的是角平分线上的点
解析：解答：“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是“到角的两边的距离相等的是角平分线上的点”．
故答案为：到角的两边的距离相等的是角平分线上的点．
分析：把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题，“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的条件是“到角两边距离相等的点”，结论是“角平分线上的点”．
8. 解： 答案：同位角相等|两直线平行
解析：解答：命题中，已知的事项是“同位角相等”，由已知事项推出的事项是“两直线平行”，
所以“同位角相等”是命题的题设部分，“两直线平行”是命题的结论部分．
故空中填：同位角相等；两直线平行．
分析：由命题的题设和结论的定义进行解答．
9. 解：
答案：相等的角是对顶角|假
解析：解答：“对顶角相等”的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，
∴逆命题是：相等的角是对顶角，它是假命题，
故答案为：相等的角是对顶角，假．
分析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
10. 解：
一个直角三角形中的两个锐角一个直角三角形中的两个锐角
