北京师大附中2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题（Word版）

北京师大附中2018－2019学年下学期高二年级期中考试数学试卷
本试卷有四道大题，考试时长120分钟，满分150分。
一、单项选择题，本大题共8小题，共32分。在各小题列出的四个选项中，有且只有一项是正确的，请选出符合要求的选项。
1. 函数在区间[，+x]上的平均变化率为
A. B. 1+ C. D. 2
2. 一个物体的位移s关于时间t的运动方程为s=1－t+t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在t=3 s时的瞬时速度是
A. 5 m／s B. 6 m／s C. 7 m／s D. 8 m／s
3. 下列函数中，是奇函数且在定义域内为单调函数的是
A. B. y=lnx C. y=x+sinx D. y=
4. 函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是
5. 已知集合M={－2，3}，N={－4,5,6}，依次从集合M，N中各取出一个数分别作为点P的横坐标和纵坐标，则在平面直角坐标系中位于第一、二象限内的点P的个数是
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6. 若曲线在点（0，b）处的切线方程是x+y－1=0，则
A. a=1，b=1 B. a=－l，b=l C. a=l，b=－1 D. a=－1，b=－16。
7. “a≥0”是“函数=在[1，+）上单调递增”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：
记录时间
累计里程
（单位：公里）
平均耗电量
（单位：kW·h／公里）
剩余续航里程
（单位：公里）
2019年1月1日
4000
0.125
280
2019年1月2日
4100
0.126
146
（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量=，剩余续航里程=
下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是
A. 等于12.5 B. 12.5到12.6之间
C. 等于12.6 D. 大于12.6
二、多项选择题，本大题共2小题，共8分。在各小题列出的五个选项中，至少有两项是正确的，请选出符合要求的选项。
9. 下列函数中，存在极值点的是
A. B. C.
D. E.
10. 设函数，则下列说法正确的是
A. 定义域是（0，+）
B. x∈（0，1）时，图象位于x轴下方
C. 存在单调递增区间
D. 有且仅有两个极值点
E. 在区间（1，2）上有最大值
三、填空题，本大题共6小题，共30分。
11. 用反证法证明命题“三角形的三个内角中至多只有一个钝角”时，应假设_________。
12. 已知命题：“在平面内，周长一定的曲线围成的封闭图形中，圆的面积最大”，类比上述结论，可得到空间中的相关结论为____________________________。
13. 只用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，则这样的四位数有_______个（用数字作答）。
14. 在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B，C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有_______种（用数字作答）。
15. 对于函数，存在三个互不相等的实数，使得== =k，则符合条件的一个k的值为_________。
16. 在平面直角坐标系中，若一个多边形的顶点全是格点（横、纵坐标都是整数），则称该多边形为格点多边形。已知△ABC是面积为8的格点三角形，其中A（0，0），B（4，0）。在研究该三角形边界上可能的格点个数时，甲、乙、丙、丁四位同学各自给出了一个取值，分别为6，8，10，12，其中得出错误结论的同学为___________。
四、解答题，共6个小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17. （本小题13分）[]
已知函数=。
（I）求的在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求在区间[－4，2]上的最小值。
18. （本小题13分）
已知函数=（2－a）lnx++2ax（a∈R）。
（I）当a=0时，求的极值；
（Ⅱ）当a<0时，求的单调区间。
19. （本小题13分）
据统计，某种汽车的最高车速为120千米／时，在匀速行驶时，每小时的耗油量y（升）与行驶速度x（千米／时）之间有如下函数关系：y=。已知甲、乙两地相距100千米。
（I）若汽车以40千米／时的速度匀速行驶，则从甲地到乙地需耗油多少升?
（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?
20. （本小题13分）
已知函数=ln（a+x）的零点是x=0，g（x）=。
（I）求a；
（II）求证：对任意x（0，+），g（x）<1；
（III）若对任意x∈（0，+∞），a21. （本小题14分）
已知函数=。
（I）过点B（0，t）是否存在曲线y=f（x）的切线?请说明理由；
（Ⅱ）设g（x）=，求证：g（x）存在极小值。
22. （本小题14分）
已知n是给定的正整数且n≥3，若数列A：a1, a2，...，an满足：对任意i=1，2，. . ，n，都有ai<成立，其中S（A）=a1+a2+…+ an，则称数列A为“M数列”。
（I）若数列A：1，2，a3是“M数列”，求a3的取值范围；
（II）若等差数列A：a1，a2，a3，a4是“M数列”，且a1=1，求其公差d的取值范围；
（III）若数列A：a1，a2，. . . ，an是“M数列”，求证：对于任意不相等的i，j，k∈{1，2...，n），都有ai+ aj> ak。
参考答案
一、单项选择题，本大题共8小题，共32分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
C
C
A
B
A
D
二、多项选择题，本大题共2小题，共8分。
题号
9
10
答案
BDE
BC
三、填空题，本大题共6小题，共30分。
11. 三角形的三个内角至少有两个钝角
12. 在空间中，表面积一定的曲面围城的封闭几何体中，球的体积最大
13. 18 14. 96 15. 答案不唯一，k>即可 16. 丙
四、解答题，共6个小题，共80分。
17. 解：（I）；=5；切线方程y=5。
（Ⅱ）
18. 解：（I）的极小值为=2－2ln2
（III）==
a<－2时，减区间为（0，－），（，+）；增区间为（－，）；
a=－2时，减区间为（0，+）。
－219. 解：（I）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了（小时），需耗油
（升）
所以汽车以40千米/时的速度匀速行驶，从甲地到乙地需耗油17.5升。
（II）由题意可得从甲地到乙地需行驶小时，设耗油量为h（x）升，
依题意可得·，
0 则（0 令=0，解得x=80，
当（0，80）时，<0，是减函数；
当（80，120）时，>0，是增函数，
所以当x=80时，取得最小值h（80）=11.25，
所以当汽车以80千米/时的速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少，为11.25升。
20. 解：（I）a=1；
（II）对任意（0，+），g（x）<1等价于 设=ln（1+x）－x，x∈（0，+），则。
所以对任意（0，+），<0，所以在（0，+）递减，
故<=0，即对任意x∈（0，+），g（x）<1，
（III）b－a的最小值为1。
21. 解：（I）假设存在切线，设切点坐标为（x0，y0），
则切线方程为y－y0=
即
将B（0，t）代入得。
方程t=－1有解，等价于过点B（0，t）作曲线的切线存在。
令M（x）=，所以.
当时，x0=0。
所以当x∈（－,0）时，>0，函数M（x）在x∈（－，0）上单调递增；
当x∈（0,+）时，<0，M（x）在x∈（0,+）上单调递减。
所以当x0=0时，M（x）max=M（0）=0。
当t≤0时，M（t－1） 当t>0时，方程t=－1无解。
综上所述，当t≤0时存在切线；当t>0时不存在切线。
（Ⅱ）提示：通过二次求导，证明为增函数，且有，>0，可知存在∈（，1），，所以g（x）存在极值点。
22. 解：（I）1 （II）当d≥0时，数列A：a1，a2，a3，a4中的最大项为a4，
则a4<，即1+3d<，解得，做；
当d<0时，数列A：a1，a2，a3，a4中的最大项为a1，
则a1<，即，解得d>－；故－ 综上所述，数列A的公差d的取值范围为－ （III）证明：反证法，假设存在不相等的i，j，k{1，2，…，n}，有ai+aj≤ak。
在数列A：a1，a2，...，an中，除ai，aj外，其他所有数之和<（n－2）×，
因此。
矛盾，假设不成立。
因此，对于任意互不相等的i，j，k∈{1，2，…，n），均有ai+aj>ak