1.2 矩形的性质与判定 同步练习（解析版）

初中数学北师大版九年级上学期 第一章 1.2 矩形的性质与判定
一、单选题
1.下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（?? ）
A.?内角和为360°???????????? ?????B.?对角线互相平分?????????? ???????C.?对角线相等?????????? ???????D.?对角线互相垂直
2.四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ??）
A.?AB=CD??????????????????????????????B.?AB=BC??????????????????????????????C.?AC⊥BD??????????????????????????????D.?AC=BD
3.对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（?? ）
A.?对角线垂直且相等 B.?四边都互相垂直C.?四个角都相等 D.?是轴对称图形，但不是中心对称图形www.21-cn-jy.com
4.如图，矩形ABCD的对角线交于点O．若∠BAO=55°，则∠AOD等于(??? )
A.?110°????????????????????????????????????
B.?115°????????????????????????????????????
C.?120°????????????????????????????????????
D.?125°
5.如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（??? ）
A.??????????????????????????????????????????
B.?2?????????????????????????????????????????
C.??????????????????????????????????????????
D.?6
6.正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（ ??） 21·cn·jy·com
A.?先变大后变小???????????????????????
B.?先变小后变大???????????????????????
C.?一直变大???????????????????????
D.?保持不变
7.将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则 的值为（?? ）
A.?????????????????????????????????????????
B.?????????????????????????????????????????
C.?????????????????????????????????????????
D.?
8.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，若点E，F分别在AB,CD上，且BE=2AE，DF=2FC，G，H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为（??? ） 2-1-c-n-j-y
1??????????????????????????????????????????
B.????????????????????????????????????????????
C.?2??????????????????????????????????????????
D.?4
9.将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上， ， ， ，则 的度数为（??? ）
A.?130°????????????????????????????????????
B.?120°????????????????????????????????????
C.?110°????????????????????????????????????
D.?100°
10.如图，将一长方形纸片沿着虚线剪成两个全等的梯形纸片.根据图中标示长度与角度，求梯形纸片中较短的底边长度为何？（?? ） 【来源：21cnj*y.co*m】
A.?4???????????????????????????????????????????
B.?5???????????????????????????????????????????
C.?6???????????????????????????????????????????
D.?7
二、填空题
11.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝900 ， 且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,连接MN,则线段MN的最小值为________.
12.在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）．对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是________． 21世纪教育网版权所有
三、综合题
13.如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F. 【出处：21教育名师】
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形;
（2）当DE＝DF时，求EF的长.
14.已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．
（1）如图1，求证：AE=CF；
（2）如图2，当∠ADB=30°时，连接AF、CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的 ． 【版权所有：21教育】
15.如图，在平面直角坐标系中，O是原点，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，AO=2OB，且线段OB的长是方程x2-2x-8=0的一个根． 21教育名师原创作品
（1）求直线AB的函数解析式．
（2）将△ABD绕点O逆时针方向旋转90°得到△EDO，直线ED交线段AB 于点C，点F是直线CE上一点，分别过点E、F作x轴和y轴的平行线交于点G，将△EFG沿EF折叠，使点G的对应点落在坐标轴上，求点F的坐标．
（3）在(2)的条件下，点M是DO中点，点N、P、Q在直线BD或者y轴上，是否存在点P，使四边形MNPQ是矩形?若存在，请利用备用图画出示意图并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
一、单选题
1. C
解析：A、菱形、矩形的内角和都为360°，故不符合题意；
B、对角互相平分，菱形、矩形都具有，故不符合题意；
C、对角线相等菱形不具有，而矩形具有，故符合题意
D、对角线互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故不符合题意，
故答案为：C.
【分析】所有的四边形的内角和都是360°；所有的平行四边形的对角线都互相平分；菱形、矩形都是四边形且都是平行四边形，故可判断A,B都不符合题意；矩形的对角线相等，但不垂直；菱形的对角线互相垂直，但不相等，故可判断C符合题意，D不符合题意。21教育网
2. D
解析：四边形的对角线互相平分，即可得出四边形为平行四边形 添加AC=BD，可根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，判定四边形为矩形。
故答案为：D
【分析】根据矩形的判定定理可添加条件。
3. C
解析： A.矩形的对角线相等，但不垂直，故此选项不符合题意；
B、矩形的邻边都互相垂直，对边互相平行，故此选项不符合题意；
C.矩形的四个角都相等，符合题意；
D.矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：C． 【分析】矩形的四个角都相等且都等于90°，矩形的对边相等、对角线相等，矩形是轴对称图形也是中心对称图形，据此逐一判断即可.
4. A
解析：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OB，∠OAB=∠OBA=55°，∠AOD=∠OAB+∠OBA=55°+55°=110°. 故答案为：A
【分析】由矩形的对角线互相平分得，OA=OB，再由三角形的外角性质得到∠AOD等于∠OAB和∠OBA之和即可求解。
5. B
解析：由题意可得，大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ，
∴图中阴影部分的面积为： ，
故答案为：B． 【分析】根据正方形的性质可求出大正方形的边长及小正方形的边长，图中阴影部分利用平移可得一个矩形，利用矩形的面积公式计算即可.
6. D
解析：解：如图，连接DE，过点E作EH⊥CD于点H，过点D作DM⊥EC于点M
∵正方形ABCD，矩形ECFG
∴四边形AEDH是矩形
∴EH=DC=AD，FC=DM
∴S△DEC= DC·EH= EC·DM
∴DC·EH=EC·DM
∵S矩形ECFG=FC·EC=EC·DM
S正方形ABCD=AD·DC=DC·EH
∴S矩形ECFG=S正方形ABCD
∴在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积保持不变。
故答案为：D
【分析】连接DE，过点E作EH⊥CD于点H，过点D作DM⊥EC于点M，易证四边形AEHD是矩形，利用正方形和矩形的性质，可证得EH=DC=AD，FC=DM，再根据同一个三角形的面积相等，可证得DC·EH=EC·DM，因此可得到在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积等于正方形ABCD的面积，即可得出答案。
7. B
解析：由折叠可得，AE＝OE＝DE，CG＝OG＝DG，
∴E，G分别为AD，CD的中点，
设CD＝2a，AD＝2b，则AB＝2a＝OB，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝2b，
∵∠C＝90°，
∴Rt△BCG中，CG2+BC2＝BG2 ，
即a2+（2b）2＝（3a）2 ，
∴b2＝2a2 ，
即b＝ a，
∴ ，
∴ 的值为 。
故答案为：B。
【分析】由折叠的性质可得，AE＝OE＝DE，CG＝OG＝DG，设CD＝2a，AD＝2b，则AB＝2a＝OB，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝2b，在Rt△BCG中，利用勾股定理建立方程求解得出a,b的关系进而即可求出答案。
8. C
解析：如图，延长FH交AB于点M，
∵BE＝2AE，DF＝2FC，AB=AE+BE，CD=CF+DF，
∴AE：AB=1：3，CF：CD=1：3，
又∵G、H分别是AC的三等分点，
∴AG：AC=CH：AC=1：3，
∴AE：AB=AG：AC，CF：CD=CH：CA，
∴EG//BC，FH//AD，
∴△AEG∽△ABC，△CFH∽△CDA，BM：AB=CF：CD=1：3，∠EMH=∠B，
∴EG：BC=AE：AB=1：3，HF：AD=CF：CD=1：3，
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=6，
∴CD=AB=3，AD=BC=6，∠B=90°，
∴AE=1，EG=2，CF=1，HF=2，BM=1，
∴EM=3-1-1=1，EG=FH，
∴EG FH，
∴四边形EHFG为平行四边形，
∴S四边形EHFG＝2×1=2，
故答案为：C。
【分析】如图，延长FH交AB于点M，根据线段之间的关系可以得出AE：AB=AG：AC，CF：CD=CH：CA，根据平行线分线段成比例定理的逆用得出EG//BC，FH//AD，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△AEG∽△ABC，△CFH∽△CDA，根据相似三角形对应边成比例得出EG：BC=AE：AB=1：3，HF：AD=CF：CD=1：3，根据矩形的性质进而即可得出EG=2,HF=2，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形EHFG为平行四边形，进而根据平行四边形面积的计算方法即可算出答案。21*cnjy*com
9. C
解析：∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ 。
故答案为：C。
【分析】根据矩形的对边平行得出AD∥BC，根据二直线平行，同旁内角互补得出∠BFE的度数，根据三角形的内角和得出∠EFG的度数，进而根据角的和差，由∠BFR+∠EFG=∠BFG算出答案。
10. C
解析：过F作FQ⊥AD于Q，
则∠FQE=90°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=DC=8，AD∥BC，
∴四边形ABFQ是矩形，
∴AB=FQ=DC=8，
∵AD∥BC，
∴∠QEF=∠BFE=45°，
∴EQ=FQ=8，
∴AE=CF= ×（20-8）=6，
故答案为：C.
【分析】过F作FQ⊥AD于Q，很容易判断出四边形ABFQ是矩形，根据矩形的性质得出AB=FQ=DC=8，进而判断出△EFQ是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出EQ=FQ=8，从而根据线段的和差即可算出答案。2·1·c·n·j·y
二、填空题
11. （或2.4）
解析：如图，连接AD． ∵ ∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4 ， ∴BC=5, ∵ DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N ,∠BAC＝90°, ∴四边形AMCN是矩形， ∴MN=AD, 由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段MN的值最小， 此时，△ABC的面积=， , 解得AD=即 线段MN的最小值为 ： 故答案为： 【分析】首先根据UGG多了算出BC的长，然后判断出四边形AMCN是矩形，根据矩形的对角线相等得出MN=AD,由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段MN的值最小，然后滚局三角形的面积法即可算出AD的长，从而得出答案。21·世纪*教育网
12. ①②③
解析：①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，
过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，
则四边形MNPQ是平行四边形，
故当MQ∥PN，PQ∥MN，四边形MNPQ是平行四边形，
故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；
②如图，当PM=QN时，四边形MNPQ是菱形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；
③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；
④当四边形MNPQ是正方形时，MQ=PQ，
则△AMQ≌△DQP，
∴AM=QD，AQ=PD，
∵PD=BM，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形与任意矩形ABCD矛盾，故错误；
故答案为：①②③．
【分析】分别根据矩形，平行四边形，菱形的判定定理以及性质得到答案即可。
三、综合题
13. （1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AB∥CD
∴∠DFO＝∠BEO，
又因为∠DOF＝∠BOE，OD＝OB
∴△DOF≌△BOE∴DF＝BE
又因为DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形（2）解：∵DE=DF，四边形BEDF是平行四边形
∴ BEDF是菱形∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF
设AE=x，则DE＝BE=8-x
在Rt△ADE中，根据勾股定理，有AE2+AD2＝DE2
∴x2+62=(8-x)2解之得：x=
∴DE=8- =
在Rt△ABD中，根据勾股定理，有AB2+AD2＝BD2
∴BD= ∴OD= BD=5,
在Rt△DOE中，根据勾股定理，有DE2-OD2＝OE2 ，
∴OE=
∴EF=2OE=
解析：（1）抓住题给条件 点O是对角线BD的中点，证明三角形全等，得对应边相等。再利用平行四边形判定定理，一组对边平行且相等是平行四边形。 （2）因为邻边相等的平行四边形是菱形，由菱形的性质知，四边都相等，在Rt△ADE中，设AE=x, 利用勾股定理列关系式解出x. x值解出，后面就容易了，根据菱形性质对角线互相垂直平分，用勾股定理即可求解。21cnjy.com
14. （1）证明： ∵四边形ABCD是矩形∴AB∥CD，AB=CD∴∠ABE=∠CDF∵AE⊥BD，CE⊥BD∴∠AEB=∠CFD=90°在△ABE和△CDF中 ∴△ABE≌△CDF（AAS）∴AE=CF （2）解： ∵△ABE≌△CDF∴BE=DF∴S△AFD=S△ABE=S△FDC=S△BEC∵ ∠ADB=30°∴∠BAE=30°在Rt△ABE中，∠BAE=30°设BE=x，则AB=2x，AE=在Rt△ABD中，∠BDA=30°，则∠ABD=60°∴AD=ABtan60°=∵S△ABE=S矩形ABCD=∴S△ABE：S矩形ABCD=∴ 每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的 的三角形有： △AFD，△ABE，△FDC，△BEC 【来源：21·世纪·教育·网】
解析：（1）利用矩形的性质易证AB∥CD，AB=CD，利用平行线的性质及垂直的定义，可证得∠ABE=∠CDF及∠AEB=∠CFD，然后利用AAS可得到△ABE≌△CDF，然后利用全等三角形的性质，可证得结论。（2）利用全等三角形的性质，可证得BE=DF，再根据全等三角形的面积相等及等底等高的三角形的面积相等，就可证得S△AFD=S△ABE=S△FDC=S△BEC ， 在Rt△ABE中，由∠BAE=30°，设BE=x，利用解直角三角形分别表示出AE、AD、AB，然后分别求出△ABE和矩形ABCD的面积，就可得到△ABE和矩形ABCD的面积之比，继而可得出结果。www-2-1-cnjy-com
15. （1）解： x2-2x-8=0，得：（x-4）(x+2)=0，∴x-4=0, 或x+2=0,即x1=4, 或x2=-2,?∵点B在y轴正半轴上，∴OB=4,∵OA=2OB，∴OA=8，∴A的坐标为（-8,0），B的坐标为（4,0），设直线AB的函数解析式为y=kx+b,则,解得：k=, b=4,∴直线AB的函数解析式为y=x+4 ; （2）解： 如图，设F的坐标为（m, n）, G‘点的坐标是（a, 0）,由旋转的特点可知，D点坐标为（-4,0），E点坐标为（0，-8），设直线ED的函数式为y=kx+b,?则0=-4k+b, -8=b,解得k=-2, b=-8,∴ y=-2x-8?,F在直线ED上，n=-2m-8 由折叠图形的特点可知，EG=EG’，FG=FG'，列关系式得：解得m=-10, n=12,?故F点坐标为（-10,12）， （3）如图：过M作MN∥DB，交y轴于N点，过M、N作MQ⊥BD，NP⊥BD，则四边形MNPQ为矩形，B点坐标为（0,4），D点坐标为（-4,0）， 设直线BD的函数式为y=kx+b,?则0=-4k+b, 4=b,解得k=1, b=4,∴ y=x+4,∵M为OD的中点，MN∥BD，则N为OB的中点，BN=2 由于OB=OD，则∠DBO=45°，过P作PK⊥BN，则PK=BN=1，则P点横坐标为-1，纵坐标为-1+4=3，∴P点坐标为（-1,3）。
解析：（1）解一元二次方程，结合OB在y轴正半轴求得B点坐标，OA在x轴负半轴，?且AO=2OB，求得A点坐标，用待定系数法求出直线AB的函数解析式即可；? （2） 设F的坐标为（m, n）, G‘点的坐标是（a, 0）, 根据旋转图形的特点求得D、E点的坐标，用待定系数法求出直线DE的函数解析式，F在直线DE上，根据函数解析式则可求得m、n关系式，根据折叠图形的特点得到 EG=EG’，FG=FG' ，据此列两个关系式，组成方程组求解即可得到m、n的值，则F点坐标可求；（3） 过M作MN∥DB，交y轴于N点，过M、N作MQ⊥BD，NP⊥BD，显然四边形MNPQ为矩形，?根据B、D点坐标用待定系数法求出直线BD的函数解析式，再由M、N是OD、OB的中点，求得M、N点坐标，过P作过P作PK⊥BN，求得PK的长度，得出P点横坐标，将其代入直线BD的函数式得到纵坐标，从而得出P点坐标。