1.3 正方形的性质与判定 同步练习（解析版）

初中数学北师大版九年级上学期 第一章 1.3 正方形的性质与判定
一、单选题
1.下列命题是真命题的是（??? ）
A.?对角线相等的四边形是矩形????????????????????????????????B.?对角线互相垂直的四边形是矩形C.?对角线互相垂直的矩形是正方形?????????????????????????D.?四边相等的平行四边形是正方形
2.如图，边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM=(??????? )21世纪教育网版权所有
A.????????????????????????????????????
B.????????????????????????????????????
C.????????????????????????????????????
D.?
3.把边长分别为1和2的两个正方形按图 的方式放置.则图中阴影部分的面积为（ ??）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????
C.???????????????????????????????????????????D.?
4.如图，正方形 ，点 在边 上，且 ， ，垂足为 ，且交 于点 ， 与 交于点 ，延长 至 ，使 ，连接 ．有如下结论：① ；② ；③ ；④ ．上述结论中，所有正确结论的序号是（??? ） 【来源：21·世纪·教育·网】
A.?①②??????????????????????????????????
B.?①③??????????????????????????????????
C.?①②③??????????????????????????????????
D.?②③④
5.如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是（???? ） 【出处：21教育名师】
A.?0???????????????????????????????????????????
B.?4???????????????????????????????????????????
C.?6???????????????????????????????????????????
D.?8
6.已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点 按逆时针依次排列，若点 的坐标为 ，则 点与 点的坐标分别为（??? ） 【版权所有：21教育】
A.????????????????????????????????????????????B.?C.????????????????????????????????????????????D.?21*cnjy*com
7.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为(????? )
A.??????????????????????????????????????????
B.?3????????????????????????????????????????
C.??????????????????????????????????????????
D.?5
8.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4 ， 则S1+S2+S3+S4等于（?? ）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?5???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?14
9.将正方形纸片按如图折叠，若正方形纸片边长为4，则图片中MN的长为 　　

A.?1???????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
二、填空题
10.平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点D，且AC⊥BD，请添加一个条件： ________，使得平行四边形ABCD为正方形．
11.如图,点E在正方形ABCD的边AB上,若EB=1,EC=2,那么正方形ABCD的面积为________.
12.如图，在正方形ABCD中，BE=1，将BC沿CE翻折，使B点对应点刚好落在对角线AC上，将AD沿AF翻折，使D点对应点刚好落在对角线AC上，求EF=________?．
13.图中两个正方形的中心重合，小正方形的顶点A、C两点在大正方形的对角形上，△HAC是等边三角形，若AB＝2，则大正方形的边长为________．
三、解答题
14.如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG垂直AE，垂足分别为F,G.求证：BF-DG=FG.
15.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作 ，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证： ．
四、综合题
16.如图,已知线段 AC=4,线段BC绕点C旋转,且BC=6,连结AB,以AB为边作正方形ADEB,连结CD.

（1）若∠ACB=90°,则AB的值是________；
（2）线段CD长的最大值是________．
17.如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，点G是BC，AE延长线的交点，AG与CD相交于点F．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）当AE＝3EF，DF＝1时，求GF的值．
答案解析部分
一、单选题
1. C
解析：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项不符合题意；
C、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以C选项符合题意；
D、四边相等的菱形是正方形，所以D选项不符合题意．
故答案为：C． 【分析】直接根据矩形的判定定理和正方形的判定定理得出答案
2. D
解析：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD=,∠DCB=∠COD=∠BOC=90°，OD=OC， ∴BD=, ∴OD=BO=OC=1， ∵将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处， ∴DE=DC=,DF⊥CE， ∴OE=DE-OD=-1, ∠EDF+∠FED=∠ECO+∠OEC=90°， ∴∠ODM=∠ECO， 在△OEC与△OMD中， ∵∠EOC＝∠DOC＝90°,OD＝OC,∠OCE＝∠ODM ∴△OEC≌△OMD（ASA）， ∴OM=OE=-1。 故答案为：D。 【分析】根据正方形的性质得出BC=CD=,∠DCB=∠COD=∠BOC=90°，OD=OC，根据勾股定理算出BD的长，从而得出OD的长，根据翻折的性质得出DE=DC=,DF⊥CE，从而根据线段的和差由OE=DE-OD算出OE的长；根据同角的余角相等得出∠ODM=∠ECO，然后根据ASA判断出△OEC≌△OMD，根据全等三角形的对应边相等得出OM=OE，从而得出答案。21cnjy.com
3. A
解析：
∵∠CHG=∠DHA，∠HCG=∠ADH
∴△ADH∽△GCH
∴
即
解得DH=
∴阴影部分面积=1× × =
【分析】根据已知条件判定△ADH∽△GCH，对应边成比例，即可求解DH，从而求出阴影部分的面积。
4. C
解析： ∵四边形 是正方形，
， ，
∵ ，
，
，
在 与 中，
，
，
；故①符合题意；
∵ ，
，
∵ ，
，
，
，
∵ ，
，
；故②符合题意；
作 于 ，设 ， ，则 ， ，
由 ，可得 ，
由 ，可得 ，
，
∵ ，
，
，
∵ ， ，
，
∵ ，
；故③符合题意，
设 的面积为 ，
∵ ，
， ，
的面积为 ， 的面积为 ，
的面积 的面积 ，
，故④不符合题意，
故答案为：C． 【分析】先利用正方形的性质和已知条件证出△ADF≌△DCE，然后利用全等三角形的性质可得DE=AF;在正方形ABCD中，AC= AB，又证得△AFN∽△CDN，由相似的性质可得AN= ；根据三线合一的性质和余角关系得∠ADF=∠GMF；分别求出△ANF与四边形CNFB的面积，即可判断面积之比。
5. D
解析：如图，过E点作关于AB的对称点E’，则当E’，P，F三点共线时PE+PF取最小值，
∵∠EAP=45°，
∴∠EA E’=90°，
又∵AE=EF=A E’=4，
∴PE+PF的最小值为E’F= ，
∵满足PE+PF=9= ，
∴在边AB上存在两个P点使PE+PF=9，
同理在其余各边上也都存在两个P点满足条件，
∴满足PE+PF=9的点P的个数是8，
故答案为：
D.【分析】如图，过E点作关于AB的对称点E’，则当E’，P，F三点共线时PE+PF取最小值，即是E’F的长.利用勾股定理可求出E’F=， 即得在边AB上存在两个P点使PE+PF=9，同理可得在其余各边上也都存在两个P点满足条件，即得点P的总个数.21·cn·jy·com
6. B
解析：如图，连接 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
易证 ，
， ，
，
关于原点对称，
，
故答案为： ． 【分析】如图中，证明。根据其性质，对应边相等 OE=AF，DE=OF，即可求出点D的坐标，又已知BD关于原点对称，根据关于原点对称的 点的特点，即可求出点D的坐标。
7. B
解析：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3，
∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3，
故答案为：B。
【分析】根据正方形的四个角都是直角得出∠B＝90°，从而利用勾股定理得出BC2 ， 最后根据正方形ABCD的面积等于BC2即可得出答案。2·1·c·n·j·y
8. A
解析：在△ABC和△CDE中， ，
∴△ABC≌△CDE，∴AB=CD，BC=DE，
∴AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=3，
同理可证FG2+LK2=HL2=1，
∴S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=1+3=4.
故答案为：A. 【分析】由图可知，水平放置面积为 S1、S2的正方形与斜放置面积为1的正方形所围成的两个三角形全等， 根据勾股定理可得 S1+S2 =1 ， 同理可得 S3+S4 =4，进而可求出S1+S2+S3+S4.21教育网
9. D
解析：如图所示：则四边形FNCM为正方形．
依据勾股定理可知：AC= =4 ．
由翻折的性质可知：AF=AB=4，
∴FC=4 -4．
由正方形的性质可知：MN=FC=4 -4．
故答案为：D．
【分析】有折叠可知四边形FNCM为正方形．根据正方形的边长求出对角线的长AC，由AF=AB可求FC,根据正方形的对角线相等即可求出MN=FC，从而得出答案.21·世纪*教育网
二、填空题
10. AC=BD
解析：∵四边形 ABCD平行四边形，对角线互相平分， 又∵ AC⊥BD， ∴根据对角线特征来判断，需添加的一个条件是AC=BD。 故答案为：AC=BD 2-1-c-n-j-y
【分析】根据正方形判定定理之一，即对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
11. 3
解析：在△EBC中，由勾股定理得BC2=22-12=3, 则正方形的面积为BC2=3 【分析】要求正方形的面积，只要求出正方形的边长即可，正方形的边长在Rt△BEC中由勾股定理求得。
12.
解析：如图， 设正方形边长为x,∴AC= 由折叠知，△BCE≌△MCE≌NFA≌DFA， ∴CM=CB=x，DF=BE=EM=1,AM=AC-CM=-x，AE=x-1,∠EMA=90°， 在Rt△AEM中，EM2+AM2=AE2 ， 即12+（-x）2=（x-1）2, ∴x=+1, 过点F作FH⊥AB，可得FH=x=+1,EH=AE-FD=-1, ∴EF2=FH2+EH2=（+1）2+（-1）2=6， ∴EF=. 故答案为：. 【分析】设正方形边长为x,可得AC=.根据折叠及正方形的性质，可得CM=CB=x，DF=BE=EM=1,AM=AC-CM=-x，AE=x-1,∠EMA=90°.在Rt△AEM中,利用勾股定理即可求出x的值即得正方形的边长.过点F作FH⊥AB，可得FH=x=+1,EH=AE-FD=-1,在Rt△EFH中，利用勾股定理，可得EF2=FH2+EH2=（+1）2+（-1）2=6，从而求出EF的长.21*cnjy*com
13. 2
解析：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ABC＝90°，
∴AC＝ ＝ ＝2 ，
∴OA＝OC＝ ，
∵△HAC是等边三角形，
∴∠AHO＝∠CHO＝30°，
在Rt△HOC中，OH＝OC?tan60°＝ ，
∵四边形EFGH是正方形，
∴OH＝OG＝ ，HO⊥OG，
∴在Rt△HOG中，HG＝ ＝ ＝2 ，
故答案为：2 ． 【分析】根据正方形的性质得出AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ABC＝90°，根据勾股定理算出AC的长，根据正方形的对角线互相平分得出OA＝OC＝ ，根据等边三角形的三线合一得出∠AHO＝∠CHO＝30°，在Rt△HOC中，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值，由OH＝OC?tan60°算出OH，再根据正方形的对角线互相垂直平分得出OH＝OG＝ ，HO⊥OG，在Rt△HOG中，根据勾股定理算出HG的长，从而得出答案。【来源：21cnj*y.co*m】
三、解答题
14. 证明：∵正方形ABCD∴∠DAB=90°，AD=AB∵ BF⊥AE，DG⊥AE∴∠AGD-=∠AFB=90°∵∠DAG+∠BAF=90°，∠BAF+∠ABF=90°∴∠DAG=∠ABF在△ADG和△BAF中 ∴△ADG≌△BAF（AAS）∴AF=DG，BF=AG∵BF-DG=AG-AF=FG
解析：利用正方形的性质及垂直的定义，易证∠DAB=90°，AD=AB，∠AGD-=∠AFB=90°，再利用同角的余角相等，可证得∠DAG=∠ABF，利用AAS证明△ADG≌△BAF，利用全等三角形的性质，可证AF=DG，BF=AG，然后由AG-AF=FG，代入即可证得结论。21教育名师原创作品
15. 证明：∵四边形ABCD是正方形．
又 ，
解析：根据正方形的性质可得∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA，利用同角的余角相等，可得∠MEA=∠AFO，根据“AAS”可证△BOE≌△AOF，利用全等三角形的对应边相等，可得OE=OF.
四、综合题
16. （1）（2）6+
解析：（1）在Rt△ACB中，∵AC=4,BC=6,∠ACB=90°，∴AB=；故答案为： ；（2）线段BC绕点C旋转至∠ACB=135°的时候，过点C作MC⊥BC于点C，过点A作DA⊥AB，交CM于点D，此时的CD就是最大；过点D作DE⊥AD，与过点B作BE⊥AB的垂线相交于点E，再以点A为圆心AC为半径画弧交CD于点F，连接AF； ∵MC⊥BC，∴∠MCB=90°,又∠ACB=135°，∴∠ACM=∠ACB-∠MCB=45°,∵AC=AF,∴∠ACM=∠AFC=45°,∴∠CAF=90°,∠AFD=180°-∠AFC=135°,∴CF=;∵DA⊥AB,DE⊥AD,BE⊥AB,∴∠BAD=∠ADE=∠EBA=90°∴四边形ABED是矩形,∠CAB=∠DAF,在△ACB与△AFD中∵∠AFD=∠ACB=135°,AC=AF,∠CAB=∠DAF，∴△ACB≌△AFD，∴DF=BC=6,AB=AD,∴矩形ABED是正方形，CD=CF=DF= 6+ 。故答案为： 6+ 。【分析】（1）在Rt△ACB中，利用勾股定理算出AB的长即可；（2）线段BC绕点C旋转至∠ACB=135°的时候，过点C作MC⊥BC于点C，过点A作DA⊥AB，交CM于点D，此时的CD就是最大；过点D作DE⊥AD，与过点B作BE⊥AB的垂线相交于点E，很容易判断四边形ABED是矩形，再以点A为圆心AC为半径画弧交CD于点F，连接AF，很容易判断出三角形ACF是等腰直角三角形，根据勾股定理算出CF的长，再利用ASA判断出△ADF≌△ABC即可得出DF=BC=6,AB=AD，从而判断出四边形ABED是正方形，进而根据线段的和差算出CD的长度得出答案案。
17. （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∵∠BAE＝∠BCE，
∴∠BAD﹣∠BAE＝∠BCD﹣∠BCE，
即∠DAE＝∠DCE，
在△AED和△CED中，
，
∴△AED≌△CED（AAS），
∴AD＝CD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；（2）解：在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴△AEB∽△FED，
∴ ，
∵AE＝3EF，DF＝1，
∴AB＝3DF＝3，
∴CD＝AD＝AB＝3，
∴CF＝CD﹣DF＝3﹣1＝2，
∵AD∥CG，
∴△ADF∽△GCF，
∴ ，
∴CG＝2AD＝6，
在Rt△CFG中，GF＝ ．
解析：（1）利用矩形的性质结合已知条件去证明 ∠DAE＝∠DCE，再利用AAS证明△AED≌△CED，利用全等三角形的性质，可证得AD=CD，然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形，即可证得结论。 （2）由AB∥CD， 可证△AEB∽△FED，利用相似三角形的性质，可证得对应边成比例，就可求出CF的长，再由AD∥CG，可证得△ADF∽△GCF，利用相似三角形的性质，就可求出CG的长，然后根据勾股定理求出GF的长。www.21-cn-jy.com