1.1 菱形的性质与判定 同步练习（解析版）

初中数学北师大版九年级上学期 第一章 1.1 菱形的性质与判定
一、单选题
1.菱形不具备的性质是（?? ）
A.?是轴对称图形???????????????B.?是中心对称图形???????????????C.?对角线互相垂直???????????????D.?对角线一定相等
2.下列说法正确的是(?? ?)
A.?一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B.?对角线相等的平行四边形是菱形C.?三个角都是直角的四边形是矩形D.?一组邻边相等的平行四边形是正方形www.21-cn-jy.com
3.在数学课拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长是1，且一个内角是60°的小菱形拼成的图形，P是其中4个小菱形的公共顶点，小新在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是(??? ) 【来源：21·世纪·教育·网】
A.?2 ???????????????????????????????????B.?3 ???????????????????????????????????
C.????????????????????????????????????D.?
4.在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上两点连接BE、BF、DE、DF，则A添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF是菱形（ ??） 21·世纪*教育网
A.?∠1=∠2???????????????????????? ?????B.?BE=DF?????????????????????????????
C.?∠EDF=60°?????????????????????????????D.?AB=AF
5.如图，在四边形 中， ， 是对角线， 分别是 的中点，连接 ，则四边形 的形状是（ ??） 2-1-c-n-j-y
A.?平行四边形????????????????????????????????
B.?矩形????????????????????????????????
C.?菱形????????????????????????????????
D.?正方形
6.一个菱形的边长为 ，面积为 ，则该菱形的两条对角线的长度之和为( ??)
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
7.如图，正方形ABCD的边长为3，点EF在正方形ABCD内若四边形AECF恰是菱形连结FB，DE，且AF2-FB2=3，则菱形AECF的边长为(??? )． 【出处：21教育名师】
A.?????????????????????????????????????????
B.?????????????????????????????????????????
C.?2????????????????????????????????????????
D.?
8.如图，在菱形 中，E,F分别是 的中点，若∠B=50°，则∠AFE的度数为（ ??）
A.?50°??????????????????????????????????????
B.?60°???????????????????????????????????????
C.?65°???????????????????????????????????????
D.?70°
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A( ，0)，B(1，1).若平移点A到点C，使以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是(??? )
A.?向左平移1个单位，再向下平移1个单位??????????????
B.?向左平移(2 -1个单位，再向上平移1个单位C.?向右平移 个单位，再向上平移1个单位?????????
D.?向右平移1个单位，再向上平移1个单位
二、填空题
10.如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点C，D的对应点C',D'都落在直线AB上，折痕为EF，若EF=6．AC'=8，则阴影部分(四边形ED'BF)的面积为________?。
11.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则AH=________?.
12.如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是________.
13.如图， ， 是正方形 的对角线 上的两点， ， ，则四边形 的周长是________．
三、作图题
14.如图，在正方形方格纸中，线段AB的两个端点和点P都在小方格的格点上，分别按下列要求画格点四边形． www-2-1-cnjy-com
（1）在图甲中画一个以AB为边的平行四边形，使点P落在AB的对边上(不包括端点)．
（2）在图乙中画一个以AB为对角线的菱形，使点P落在菱形的内部(不包括边界)．
(注：图甲、图乙在答卷纸上)
四、综合题
15.如图，矩形 中， ， ，点 、 分别在 、 上，且 .
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）求线段 的长.
16.如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．
（1）求证：AC⊥EF；
（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG= ，求AO的长．
17.如图，已知在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E、F分别在边CD、AB上，且DE=BF．
（1）? 求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若□AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长．
18.如图，矩形 中，点 在边 上，将 沿 折叠，点 落在 边上的点 处，过点 作 交 于点 ，连接 ． 21教育网
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ，求四边形 的面积．
答案解析部分
一、单选题
1. D
解析：A、是轴对称图形，故正确，但不符合题意；
B、是中心对称图形，故正确，但不符合题意；
C、对角线互相垂直，故正确，但不符合题意；
D、对角线不一定相等，故不正确，符合题意。
故答案为：D。
【分析】根据菱形的性质即可一一判断得出答案。
2. C
解析：A、 一组对边平行且相等，或两组对边分别相等的的四边形是平行四边形?， 不符合题意； B、 对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意； C、三个角都是直角的四边形是矩形，符合题意； D、 一组邻边相等的平行四边形是菱形, 不符合题意. 故答案为：C 【分析】分别根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理分析即可判断。21教育名师原创作品
3. D
解析：如图据题意，剪痕是连接两个菱形的对角线的交点的直线， 作OH⊥AC，PG⊥BC，OM⊥PG， ∵在小菱形中，∠OAC=30°，∠AOC=90°， ∴OC=， 又∵∠OCH=60°， ， 同理PG=?， ?， 由图可得：?, , ∵菱形是中心对称图形， ∴LO=JO, KP=JP， ∴LO+KP=JO+JP， ∴剪痕：?. 故答案为：D 【分析】先根据题意找出折痕，因为折痕同时平分两个菱形的面积，则折痕是两个菱形对角线的交点连线。作垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求出有关线段的长，现知OP的长，由于菱形是中心对称图形，所以折痕是OP长的2倍，从而求出折痕的长。21*cnjy*com
4. B
解析：可添加条件BE=BF， ∵AB=AD, ∠ DAE= ∠ BAE,AE=AE ∴A△ADEQ≌△ABE(SAS) 所以ED=EB,DF=EF,EB=FB, ∴四边形BEDF是菱形. 【来源：21cnj*y.co*m】
故答案为：B.
【分析】根据三角形全等的判定定理判定全等，利用性质和添加的条件可证得菱形。
5. C
解析：∵ 分别是 的中点，
∴在 中， 为 的中位线，所以 且 ；同理 且 ，同理可得 ，
则 且 ，
∴四边形 为平行四边形，又 ，所以 ，
∴四边形 为菱形．
故答案为：C． 【分析】根据三角形中位线定理可得且 ， 且 ?，?，从而可得EH∥FG且EH=FG，利用一组对边平行且相等可证四边形EFGH为平行四边形，由AB=CD，即得EF=EH，利用一组邻边相等的平行四边形是菱形即证.
6. C
解析：如图所示：
四边形 是菱形，
， ， ，
面积为 ，
? ①
菱形的边长为 ，
②，
由①②两式可得： ，
，
，
即该菱形的两条对角线的长度之和为 ，
故答案为：C． 【分析】根据菱形的面积=对角线乘积的一半=底×高，可得2OD·OA=28.利用菱形的性质及勾股定理可得OD2+OA2=36，从而求出OD+OA的长，继而求出菱形的两条对角线的长度之和.21*cnjy*com
7. A
解析：如图，连接AC、EF，
则AC垂直平分BD，也垂直平分EF， ∵AB=3，AC= 则OA=OB=， AF2=OA2+OF2=OA2+(OA-FB)2 ， AF2=+(-FB)2 ， AF2=+-3FB+FB2 ， AF2-FB2=9-?3FB=3, 3FB=6, 则FB=， 故答案为：A. 【分析】连接AC、EF，利用勾股定理先求出AC，则得OA和OB的长度，再根据已知条件 AF2-FB2=3 列式，求解FB即可。【版权所有：21教育】
8. C
解析：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠B=50°，∴∠BCA=, ∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，∴∠AFE=∠ACB=65°.故答案为：C【分析】因为EF是中位线，根据两直线平行同位角相等，把∠AEF转化为∠ACB， 由四边形ABCD是菱形，得到AB=BC，再由三角形内角和定理得到∠ACB=65°，即可求出∠AFE。
9. D
解析：过B作射线BD∥OA，在射线BC上截取BC＝OA，则四边形OACB是平行四边形， 过B作BH⊥x轴于H， ∵B（1，1）， ∴BH=OH=1 ∴OB＝ ∵A（， 0）， ∴OA= ∴OA=OB， ∴四边形OACB是菱形 ∴点C的横坐标为OA+OH=+1 ∴C（1＋， 1） ∵A（， 0）， ∴点A平移到点C，是向右平移1个单位，再向上平移1个单位而得到。 故答案为：D
【分析】过B作射线BC∥OA，在BC上截取BC＝OA，则四边形OACB是平行四边形，过B作BH⊥x轴于H，在Rt△OBH中，利用勾股定理可求出OB的长，再根据点A的坐标可得到OA的长，就可证得OA=OB，可知四边形OACB是菱形，利用菱形的性质，可得到点C的坐标，然后根据点A、C的坐标变化，可得到点A向左或向右平移的距离，及向上或向下平移的距离。
二、填空题
10. 10
解析：如图，过E作EH⊥AC’,? 由对称图形的特征可知: EF=AB=D'C'， ∴AD'+D'B=D'B+BC'， ∴AD'=BC’， ∵AB+BC‘=AC'=8， ∴BC'=8-6=2=AD'， ∴BD'=AB-AD'=6-2=4， 又∵EA=ED'， ∴， , 故答案为： 10?， 【分析】根据对称图形的特点，算出BC和AD’的长，则D'B的长可求，然后过E作EH垂直AB， 由勾股定理求出EH的长，将所求线段代入梯形面积公式即可求出阴影部分的面积。
11.
解析：∵四边形ABCD是菱形 ∴BD=2OB=2×4=8， ∵S菱形ABCD= 解之：AC=6 ∴OC=AC=×6=3 在Rt△OBC中 BC= ∵ S菱形ABCD=24， AH⊥BC ∴BC·AH=24=5AH 解之：AH= 故答案为： 【分析】利用菱形的性质，可求出BD的长，再根据菱形的面积等于两对角线之积的一半，就可求出AC的长，从而可得OC的长，利用勾股定理求出BC，然后利用菱形的面积等于底乘以高，就可求出AH的长。
12. ﹣1
解析：连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC＝ ∠BAD＝30°，OA＝OC，AC⊥BD，
∴OB＝ AB＝1，
∴OA＝ OB＝ ，
∴AC＝2 ，
由旋转的性质得：AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°，
∴CE＝AC﹣AE＝2 ﹣2，
∵四边形AEFG是菱形，
∴EF∥AG，
∴∠CEP＝∠EAG＝60°，
∴∠CEP+∠ACD＝90°，
∴∠CPE＝90°，
∴PE＝ CE＝ ﹣1，PC＝ PE＝3﹣ ，
∴DP＝CD﹣PC＝2﹣（3﹣ ）＝ ﹣1。
故答案为 ﹣1。
【分析】连接BD交AC于O，如图所示：根据菱形的性质得出CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC＝ ∠BAD＝30°，OA＝OC，AC⊥BD，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出OB、OA的长，进而得出AC的长，由旋转的性质得：AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°，根据线段的和差得出CE的长，根据二直线平行，同位角相等得出∠CEP＝∠EAG＝60°，进而根据三角形的内角和得出∠CPE＝90°，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出PE,PC的长，最后根据DP＝CD﹣PC算出答案。
13.
解析：如图，连接 交 于点 ，
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴四边形 为平行四边形，且 ，
∴四边形 为菱形，
∴ ，
∵ ， ，
由勾股定理得： ，
∴四边形 的周长 ，
故答案为： . 【分析】根据正方形的对角线相等且互相垂直平分得到=， 且， 则可得OE=OF，由对角线互相垂直平分的四边形为菱形可得四边形 为菱形，在Rt△DOE中根据勾股定理可得DE的长，则四边形 的周长=4DE。21世纪教育网版权所有
三、作图题
14. （1）解：如下图

（2）解：如下图

解析：（1）根据一组对边平行且相等是平行四边形，过P作AB的平行线，使其作为平行四边形的一边，并且使这条边等于AB，端点在格点上即可。方案不唯一。 （2）根据四条边相等的四边形是菱形，由三角形全等的性质构造菱形的四条边，且使P点在菱形的内部即可。方案不唯一。
四、综合题
15. （1）证明：∵在矩形 中， ， ，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形（2）解：过 作 于 ，
则四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴
解析：（1）根据矩形的性质得出 ， ， ， ， 根据线段的和差得出 ， 根据勾股定理得出AF=CE=,故 ，根据四边相等的四边形是菱形得出结论： 四边形 是菱形 ；（2） 过 作 于 ， 很容易得知 四边形 是矩形 根据矩形的性质得出 ， ，进而利用勾股定理即可算出EF的长。21cnjy.com
16. （1）证明：∵四边形ABCD为菱形? ∴AB=AD，AC平分∠BAD
∵BE=DF， ∴ ? ， ∴AE=AF
∴△AEF是等腰三角形， ∵AC平分∠BAD， ∴AC⊥EF（2）解：如图2所示：
∵四边形ABCD为菱形，∴CG∥AB，BO= BD=2，∵EF∥BD
∴四边形EBDG为平行四边形，∴∠G=∠ABD，∴tan∠ABD=tan∠G=
∴tan∠ABD= ，∴AO=1
解析：（1）根据菱形的性质，即可判断三角形AEF为等腰三角形，即可求出答案。 （2）根据菱形的性质，证明四边形EBDG为平行四边形，得到答案即可。
17. （1）证明：在矩形ABCD中，
∴AB//CD，AB=CD，
∵DE=BF，
∴CE=AF,且CE//AF，
∴四边形AFCE是平行四边形.（2）解：∵平行四边形AFCE是菱形，
∴AE=CE，
设AE=CE=x，
∵AB=CD=8,AD=6,∴DE=8-x，
在矩形ABCD中，∠D=90°，
∴AD2+DE2=AE2 ，
（8-x）2+62=x2，
解得 .
∴菱形的周长为25.
解析：（1）矩形的对边互相平行且相等，由DE=BF，等量代换得EC=AF，根据一组对边平行且相等求得 四边形AFCE是平行四边形。 （2）设菱形的边长为x,把DE、AE用含x的代数式表示，在Rt△ADE中，用勾股定理列式，求出x. 则菱形的周长可求。21·cn·jy·com
18. （1）证明：由题意可得，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵
∴四边形 是菱形（2）解：∵矩形 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
∴ ，
∴四边形 的面积是：
解析：（1）根据折叠的性质，可得∠BEC=∠BEF，EF=CE.根据两直线平行，内错角相等，可得∠FGE=∠BEF，即得∠FGE=∠FEG，由等角对等边，可得FG=EF，即得FG=EC，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形CEFG是平行四边形，由CE=EF，即证四边形CEFG是菱形。 （2）根据矩形的矩形的性质及折叠的性质，可得∠BAF=90°，AD=BC=BF=10，由勾股定理可求AF=8，从而可得DF=2，设? ? ， 则? ?，在Rt△DEF中，可得22+（6-x）2=x2,求出x的值，即得CE的长，利用平行四边形的面积公式计算即可.2·1·c·n·j·y