高中数学必修一 1.3.1《单调性与最大（小）值》教案

《单调性与最大（小）值》教案
教学目标
1、理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念.
2、掌握增（减）函数的证明和判别.
3、学会运用函数图像进行理解和研究函数的性质.
教学重难点
重点：判断函数单调性，找出单调区间，熟练求函数的最大（小）值.
难点：理解函数的最大（小）值，能利用单调性求函数的最大(小)值.
教学过程
在教法学法方面，采用启发式、探讨式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流。通过学生身边熟悉的事物，教师创造疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，学生以自己的努力找到了解决问题的方法。
一、情景导入
问题：
1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
（1）随x的增大，y的值有什么变化？
（2）能否看出函数的最大、最小值？
二、新课教学
（一）函数单调性定义
1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）
注意：
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。
必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x12．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
3．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
任取x1，x2∈D，且x1 作差f(x1)－f(x2)；
变形（通常是因式分解和配方）；
定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
4、判定函数单调性的常见方法
（1）定义法：如上述步骤，这是证明或判定函数单调性的常用方法
（2）图象法：根据函数图象的升降情况进行判断。
（3）直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出。直接判定函数的单调性，可用到以下结论：
（3.1）函数y=-f(x)与函数y=-f(x)的单调性相反
（3.2）函数y(x)恒为正或恒为负时，函数与的单调性相反。
（3.3）在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数 等
提醒：书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可；若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间。
（二）典型例题
例1．（教材P29例1）根据函数图象说明函数的单调性．
解：见教材
例2．（教材P29例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．
解：见教材
例3．借助计算机作出函数y =－x2 +2| x | + 3的图象并指出它的的单调区间．
解： 用几何画板画，用A3打印，由学生看图回答。
巩固练习：
证明函数在（1，+∞）上为增函数。
归纳小结，强化思想
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
（三）函数的最大（小）值
画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：
说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；
指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
（1） （2）
（3） （4）
（3.1）函数最大（小）值定义
1．最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．
思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义．（学生活动）
注意：
函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；
函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．
2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
利用图象求函数的最大（小）值
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
（3.2）典型例题
例1．（教材P30例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．
解：（略）
巩固练习：把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x，面积为y试将y表示成x的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯
才能使得截面面积最大？本题是在教材23页练习第一题的增加（正方形）
例2．（新题讲解）
旅 馆 定 价
一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：
房价（元）
住房率（%）
160
55
140
65
120
75
100
85
欲使每天的的营业额最高，应如何定价？
解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．
设y为旅馆一天的客房总收入，x为与房价160相比降低的房价，因此当房价为(160-x)元时，住房率为，于是得
y=150·(160-x)·．
由于≤1，可知0≤x≤90．
因此问题转化为：当0≤x≤90时，求的最大值的问题．
将y的两边同除以一个常数0.75，得y1=－x2＋50x＋17600．
由于二次函数y1在x=25时取得最大值，可知y也在x=25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．
所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）
例2．（教材P31例4）求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．
解：（略）
三、课堂练习
教材32页练习1、2、3、4
四、作业布置：
习题A组1、2、3、4
教学反思
本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识.
考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔.