【备考2020】高考二轮复习 数列知识点总结以及解题技巧 学案

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数列问题知识点总结以及解题技巧
等差数列
等差数列、公差的概念：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差．
根据公差的范围可把等差数列分为以下三种类型：
公差范围 d ＞ 0 d ＜ 0 d = 0
类 型 递增数列 递减数列 常数列
2．等差数列的性质：
①定义公式：an－ an-1（n≥2）= an+1－ an = d ．
②通项公式：an=a1+（n－1）d=ak+（n－k）d ．
注：a是关于n的一次型代数式，即可写成an= kn+b ，其中k的系数为公差．
③公差公式：．公差是等差数列的图象的斜率．
④中项公式：2an=an-1+an+1（n≥2）．（存在性与唯一性）
⑤换和公式：m、n、p、qN， m+n=p+qam+an=ap+aq（可推广）．
⑥求和公式：．
注：Sn是关于n的 二次型 代数式，且无 常数项 ，即可写成Sn= an2+bn ，
其中n2的系数为 公差的一半 ．
3．子数列：若{an},{bn}是等差数列，公差分别为d1、d2，则以下数列为{an}的子数列：
子数列 {akn+b} {pan+qbn} {an*bn}
公 差 kd1 p d+qd 无
首 项 a p a+qb 无






等比数列
等比数列，公比的概念：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比（在等比数列中，各项与公比都不为0）．
根据公比和首项的范围可把等比数列分为以下四种类型：
类 型 公比 首项 q＜0 0＜q＜1 q=1 q＞1
a>0 摆动数列 递减数列 常数列 递增数列
a<0 摆动数列 递增数列 常数列 递减数列
2．等比数列的性质：
①定义公式：（n≥2）== q．
②通项公式：a=a1 qn-1 = ak qn-k．
注：an是关于n的指数式与非零常数的乘积，即可写成an=a·bn（ab≠0），其中指数式的底数为 数列的公比 ．
③中项公式：a、b、c成等比数列b是a与c的等比中项，b2=ac
；（存在性与唯一性）
{an}为等比数列=an+1an-1．
④换积公式：m、n、p、qN，m+n=p+qaman=apaq（可推广）．
⑤求和公式：当，时；
当时．
注：公比不为1时，Sn是关于n的指数式与与非零常数的乘积，再减去该常数，即可写成Sn= a·bna （ab≠0），指数的底数为 数列的公比 ．




3．子数列：若{an},{bn}是等比数列，公比分别为q1、q2，则以下数列为{an}的子数列：
子数列 {ank} {|an|} {panbn}
公 比 q1 q1 q1q2
首 项 a a pab
（k、b、p为常数，p，k、bZ，k2+b2，S0=0，有时要规定q或q）
常见题型及处理方法
1．判断和证明数列是等差（等比）数列常用四种方法：
（1）定义法：对于的任意自然数，验证为同一常数；
（2）通项公式法：验证对都成立；
（3）中项公式法：验证对都成立；
（4）求和公式法：验证对都成立．
例：已知数列{an}的首项 a1＝5，前n项和为Sn, 且Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*)．求 证：数列{an＋1}是等比数列．
[答案]数列{an＋1}是首项为6，公比为2的等比数列.
2．求数列通项公式的常用方法
（1）观察归纳法：由特殊到一般．
例：数列，，，1，，，…的一个通项公式为________．
[答案]　an＝
（2）公式法：等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列.
例：在等差数列{an}中，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列的通项公式．
[答案]an＝2n－7，或an＝－2n＋13.
（3）累和法：若anan-1=f（n）（n≥2），a1=a，求an．（其中f（n）可以为等差、等比）
例：已知数列{an}，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，求数列{an}的通项公式．
[答案]an＝(n∈N*)．
（4）叠乘法：若=f（n）（n≥2），a1=a，求an．
例：已知数列{an}，a1＝1，(n＋1)an＋1＝nan，求通项公式an.
[答案]an＝(n∈N*)．
3. 数列求和的常用方法：
（1）公式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列；
裂项相消法：适用于数列（其中是各项不为0的等差数列，c为常数）及部分无理数列等；
例： 求数列的前n项和．
[答案]Sn＝.
（3）错位相减法：适用于，其中是等差数列，是各项不为0的等比数列；
例： 求数列，，，，…，的前n项和．
[答案]Sn＝3－.
（4）倒序相加法：
①类似于等差数列前n项和公式的推导方法；
②适用于求（其中a0,a1，…，an成等差数列）的和．
（5）{|an|}的前n项的和：若等差数列{an}的前n项和为Sn，用Tn表示{|an|}的前n项和，则：
①当ak≥0＞ak+1时，；当an≥0时，Tn= Sn ．
②当ak≤0＜ak+1时，；当an≤0时，Tn=－Sn ．
例：在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和．
[答案]数列{|an|}的前n项和S′n＝

数列求通项解题技巧
遇到形如“”（其中p、k为常数）的数列，可将其转化为“”（其中c为常数，待求）的形式，证明{}为等比数列
Eg.，求{}的通项

递推公式中含有或常数时，再列一个关于（n-1）的递推公式，然后两式相减消去或常数。
Eg.已知，求{}的通项

类似“=n”或“”的递推公式，可看作前n项和或前n项积，再列一个（n-1）的递推公式，两式相减即可求。

递推公式中含有“n(n+1)”或“”时，可等式两边同除“n(n+1)”或“”
Eg.，求{}的通项
类似于“”，即所给地推公式为分式的，一般取倒数，先求。
Eg.已知，求{}

题目中需要证明新数列是等差或等比时，把递推公式凑成新数列。注意，有新数列构成时，尽量使与n对应，与（n+1）对应。
Eg.已知，求证{}

当题目中出现和或和时，①两式相减，类似于平方差公式；②解一元二次方程。
常见裂项公式





最后，记住三句话：
求某一数列的前n项和之前，先求其通项
等差乘以等比数列求和，用错位，
分式形式的数列求前n项和用裂项，裂项的时候前面保留第几项，后面就对应保留倒数第几项；一般保留第1项和倒数第1项，或者第1、3项，倒数第1、3项。









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