北师大版初中数学九年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第9讲 一元二次方程的应用(提高)含解析

一元二次方程的应用—知识讲解（提高）

【学习目标】
1. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤；
2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.
【要点梳理】
要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤
1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：　　　审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；　　　设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；　　　列(根据题目中的等量关系，列出方程)；　　　解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）　　　答(写出答案，切忌答非所问).要点诠释：
列方程解实际问题的三个重要环节： 　　　一是整体地、系统地审题；　　　二是把握问题中的等量关系；　　　三是正确求解方程并检验解的合理性. 要点二、一元二次方程应用题的主要类型
1.数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、　　　 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字
只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用
其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位
数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：　　　　　 100c+10b+a.　　(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.　　　 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.　　　 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.　　　 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.平均变化率问题　　列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：　　平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)(2)降低率问题：　　平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 3.利息问题(1)概念：　　本金：顾客存入银行的钱叫本金.　　利息：银行付给顾客的酬金叫利息.　　本息和：本金和利息的和叫本息和.　　期数：存入银行的时间叫期数.　　利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式:　　利息=本金×利率×期数　　利息税=利息×税率　　本金×(1+利率×期数)=本息和　　本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 4.利润(销售)问题　　利润(销售)问题中常用的等量关系：　　利润=售价-进价(成本)　　总利润=每件的利润×总件数　　 5.形积问题　　此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
要点诠释：
列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.
【典型例题】
类型一、数字问题
1.（2018春?兴化市校级期末）两个连续负奇数的积是143，求这两个数．
【答案与解析】
解：设这两个连续奇数为x，x+2，
根据题意x（x+2）=143，
解得x1=11（不合题意舍去），x2=﹣13，
则当x=﹣13时，x+2=﹣11．
答：这两个数是﹣13，﹣11．
故答案为：﹣13，﹣11．
【总结升华】得到两个奇数的代数式是解决本题的突破点；根据两个数的积得到等量关系是解决本题的关键．
　
类型二、平均变化率问题
2. （2019?衡阳）随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2018年底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2018年底该市汽车拥有量为10万辆，设2018年底至2018年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得（　　）
A．10（1+x）2=16.9 B．10（1+2x）=16.9 C．10（1﹣x）2=16.9 D．10（1﹣2x）=16.9
【思路点拨】根据题意可得：2018年底该市汽车拥有量×（1+增长率）2=2018年底某市汽车拥有量，根据等量关系列出方程即可．
【答案】A．
【解析】
解：设2018年底至2018年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，
根据题意，可列方程：10（1+x）2=16.9，
故选：A．　　　
【总结升华】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
举一反三：
【变式】有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，按照这样的速度，第三轮传染后，患流感的人数是( )
A．1331 B．1210 C．1100 D．1000
【答案】
设每人每轮传染x人，则(1+x)2＝121，x1＝10，x2＝-12舍去，
第三轮传染后患流感人数为121(1+10)＝1331人．
类型三、利润（销售）问题
3. 有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也会有一定数量的螃蟹死去，假设放养期间内螃蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活螃蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为30元/kg．据测算此后每千克的活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天各种费用支出400元，且平均每天还有10 kg的蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg，如果经销商将这批蟹出售后能获利6250元，那么他应放养多少天后再一次性售出?
【答案与解析】
解：设经销商放养的活蟹时间定为x天较为合适．
根据题意，得20×10x+(30+x)(1000-10x)-(400x+30×1000)＝6250，
整理，得x2-50x+625＝0，∴ x1＝x2＝25． 答：经销商放养25天后，再一次性售出可获利6250元．
【总结升华】此题牵涉到的量比较多，找等量关系列方程有一定难度．我们可以把复杂问题转化成若干个简单问题分别解决，最后用一根主线连在一起．这里放养的天数x与死蟹销售资金、x天后活蟹的价格、x天后活蟹的剩余量及x天的开支情况等问题都有关系，通过这个“x”把上述几个量联系在一起，列出了方程，使问题得以突破．
举一反三：
【变式】（2018?东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．据此规律计算：每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元．
【答案】
解：∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50﹣x，
由题意得：（50﹣x）（30+2x）=2100，
化简得：x2﹣35x+300=0，
解得：x1=15，x2=20，
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，越吸引顾客，
∴选x=20，
答:每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2100元.
类型四、行程问题
4. 一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹
车后又滑行25m后停车．
（1）从刹车到停车用了多少时间？
（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？
（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）？
【答案与解析】
解：（1）已知刹车后滑行路程为25m，如果知道滑行的平均速度，则根据路程、速度、时间三者
的关系，可求出滑行时间．为使问题简化，不妨设车速从20m/s到0m/s是随时间均匀变化的．这段时间内的平均车速等于最大速度与最小速度的平均值，即，于是刹车到停车的时间为“行驶路程平均车速”， 即．
（2）从刹车到停车平均每秒车速减少值为“（初速度末速度）车速变化时间”，
即．
（3）设刹车后汽车行驶到15m用了 s，由（2）可知，这时车速为．这段路程内的
平均车速为，即．
由速度×时间=路程，得．
解方程，得．
根据问题可知，，即x＜5，又x＜2.5；所以．
刹车后汽车行驶到15m时约用了 0.9 s．
【总结升华】弄清路程、速度、时间三者的关系，即可解答此题.
一元二次方程的应用—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题1. （2019?台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（　　）
A．x（x﹣1）=45 B．x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45
2．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程中正确的是 ( )
A．168(1+a%)2＝128 B．168(1-a%)2＝128 C．168(1-2a%)2＝128 D．168(1-a2%)＝128
3．从一块长30cm，宽12cm的长方形薄铁片的四个角上，截去四个相同的小正方形，余下部分的面积
为296cm2，则截去小正方形的边长为 ( )
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
4．甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（ ）千米/时.?
A．2,6 B．12,16 C．16,20 D．20,24
5．某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％(即每100千克花生可加工成花生油50千克)．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．则新品种花生亩产量的增长率为 ( )　A．20％ 　　　B．30% 　　　C．50%　　　 D．120%
6．从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．则每次倒出溶液的升数为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
二、填空题
7．某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2010年的盈利额为________万元．
8．有一间长20 m，宽15 m的会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空的宽度为________．
9．一块矩形耕地大小尺寸如图1所示，要在这块地上沿东西、南北方向分别挖3条和4条水渠．如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为8700m2，那么水渠应挖的宽度是 米.

10．有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和是8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数就得1855，则原来的两位数是 ．
11．某省十分重视治理水土流失问题，2011年治理水土流失的面积为400 km2，为了逐年加大治理力度，计划今、明两年治理水土流失的面积都比前一年增长一个相同的百分数，到2018年年底，使这三年治理水土流失的面积达1324 km2，则该省今、明两年治理水土流失的面积平均每年增长的百分数是 ．
12．（2018?贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t=　 秒时，S1=2S2．
三、解答题
13．（2019?百色）在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA、OB长度不限）中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2．
（1）求这地面矩形的长；
（2）有规格为0.80×0.80和1.00×1.00（单位：m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？
14.（2018?广元）李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．


15．如图所示，AO＝OB＝50cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一只蚂蚁由A点以2cm/s的速度向B爬行，同时另一只蚂蚁由O点以3 cm/s的速度沿OC方向爬行，是否存在这样的时刻，使两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积为450cm2?

【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】A
【解析】∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为x（x﹣1），
∴共比赛了45场，
∴x（x﹣1）=45，
故选A．
2．【答案】B；
【解析】168元降价a%后的价格为168(1-a%)元，再降价a%后为168(1-a%)(1-a%)元．
根据题意可列方程168(1-a%)2＝128．
3．【答案】D；
【解析】设截去小正方形的边长为x，则30×12-4x2＝296，∴ x2＝16，x1＝-4(舍去)，x2＝4．
4.【答案】C；
【解析】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为?（x+4）千米/时.
根据题意，得
解之,得x1=16，x2=－2.
经检验：x1=16，x2=－2都是原方程的根，但x2=－2不合题意，舍去.
∴当x=16时，x+4=20.
5．【答案】A；
【解析】设新品种花生亩产量的增长率为x．
.
6．【答案】D；
【解析】第一次倒出的是纯酒精，而第二次倒出的就不是纯酒精了．
若设每次倒出x升，则第一次倒出纯酒精x升，
第二次倒出纯酒精（·x）升．
根据20升纯酒精减去两次倒出的纯酒精，就等于容器内剩下的纯酒精的升数．
20－x－·x＝5．
二、填空题
7．【答案】220.
【解析】
方法一，设增长的百分率为x，则2010年盈利额为200(1+x)万元，2011年的盈利额为200(1+x)2万元，依题意得200(1+x)2＝242．解得x1＝10%，x2＝-2.1(舍去)，∴ 200(1+x)＝200(1+10%)＝220．
方法二，设2010年的盈利额为x万元，则2010年增长的百分率为，
2011年增长的百分率为，由增长率相同可列方程，
解得x1＝220，x2＝-220(舍去)
8．【答案】2.5m.
【解析】设留空的宽度为x m，则，解得x1＝15(舍去)，．
9．【答案】1.
【解析】如图2所示设水渠的宽度为xm，即可耕土地的长
为(120-4x)m，宽为(78-3x)m．
(120-4x)(78-3x)＝8700，
即x2-56x+55＝0，
解得x1＝1，x2＝55．
当x＝55时，3×55＝165＞78，(不合题意，舍去)．
∴ x＝1．
答：水渠应挖1m宽．
10．【答案】35或53．
【解析】设原两位数的十位数字为x，则个位数字是(8-x)，由题意得
[10x+(8-x)]·[10(8-x)+x]＝1855．
化简得x2-8x+15＝0，
解之得：x1＝3，x2＝5．
经检验，x1＝3，x2＝5都符合题意．
答：原两位数是35或53．
11．【答案】10%．
【解析】设该省今、明两年治理水土流失的面积每年增长的百分数为x，
依题意得：400+400(1+x)+400(1+x)2＝1324．
即100x2+300x-31＝0．
解得x1＝0.1＝10%，x2＝-3.1(不合题意，舍去)．
答：今、明两年治理水土流失的面积每年增长的百分数为10%．
12.【答案】6　.
【解析】∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高，
∴AD=BD=CD=8cm，
又∵AP=t，
则S1=AP?BD=×8×t=8t，PD=8﹣t，
∵PE∥BC，
∴△APE∽△ADC，
∴，
∴PE=AP=t，
∴S2=PD?PE=（8﹣t）?t，
∵S1=2S2，
∴8t=2（8﹣t）?t，
解得：t=6．
三、解答题
13.【答案与解析】
（1）设这地面矩形的长是xm，则依题意得：
x（20﹣x）=96，
解得x1=12，x2=8（舍去），
答：这地面矩形的长是12米；
（2）规格为0.80×0.80所需的费用：96÷（0.80×0.80）×55=8250（元）．
规格为1.00×1.00所需的费用：96÷（1.00×1.00）×80=7680（元）．
因为8250＞7680，
所以采用规格为1.00×1.00所需的费用较少．
14. 【答案与解析】
解：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm，由题意，得
（）2+（）2=58，
解得：x1=12，x2=28，
当x=12时，较长的为40﹣12=28cm，
当x=28时，较长的为40﹣28=12＜28（舍去）．
答：李明应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段；
（2）李明的说法正确．理由如下：
设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm，由题意，得
（）2+（）2=48，
变形为：m2﹣40m+416=0，
∵△=（﹣40）2﹣4×416=﹣64＜0，
∴原方程无实数根，
∴李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2．
15. 【答案与解析】
(1)当蚂蚁在AO段时，设离开A点t s后两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积是450cm2．
根据题意，得．
整理得：，
解得t1＝10，t2＝15．
(2)当蚂蚁爬完AO这段距离用了后，开始由O向B爬行，设从O点开始x s后组成的
三角形的面积是450 cm2，根据题意，得：，
整理得x2+25x-150＝0，解得x1＝5，x2＝-30(舍去)．
当x＝5时，x+25＝30．这时蚂蚁已由A点爬了30s．
答：分别在10s，15s，30s时，两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积是450cm2．