北师大版初中数学九年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第14讲 探索三角形相似的条件(提高)含答案

探索相似三角形相似的条件(提高)
【学习目标】
1.相似三角形的概念.
2.相似三角形的三个判定定理.
3.黄金分割.
4. 进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.
【要点梳理】
要点一、相似三角形的概念
相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
要点诠释：
(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即/∽/，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；
(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.
要点二、相似三角形的三个判定定理
定理：两角分别相等的两个三角形相似.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
三边成比例的两个三角形相似.
要点诠释：
（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
要点三、相似三角形的常见图形及其变换：
/
要点四、黄金分割
1.定义： 一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
要点诠释：
≈0.618AB(0.618是黄金分割的近似值，/是黄金分割的准确值).
2.作一条线段的黄金分割点：
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.
（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.
（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
要点诠释：
一条线段的黄金分割点有两个.
【典型例题】
类型一、相似三角形的概念
/1、买西瓜为什么挑大个？思驰是一个好奇心很强的女孩，凡事都喜欢问个为什么．一天，思驰跟爸爸上街买西瓜．见爸爸选中的全是大个西瓜，她的小脑袋瓜又转开了：买西瓜为什么挑大个？“你这个沈老师的得意门生，能用学过的数学知识解决吗？”，爸爸“将”了思驰一军．回到学校，思驰就找来远兮一起商量．两人便开始了一番精彩对话．思驰：西瓜可以近似看成球体，可以应用球的体积公式．远兮：大西瓜和小西瓜的皮厚几乎相等．思驰：人们买瓜是为了吃瓤．远兮：瓤的体积在整个西瓜体积中占的比越大越好．思驰：两者的体积比如何求呢？经过一段时间的商讨，她们提出了解决方案：设瓜瓤（视为球体）的半径为r，瓜皮厚度为a，则瓤和整个瓜的体积比为：＜1当a一定时，r值越大，（的值越接近于1，即西瓜越大，瓤与整个瓜的体积比越接近于1．思驰把解决方案讲给父亲听后，父亲充满了赞许之意，但父亲同时又提出了：你能用你正在学习的相似图形知识解决问题吗？等你学完图形的相似这一章后，我相信你还能找出新的方法的．问题：你认为生活中还有哪些与它类似的情形？
【思路点拨】通过选西瓜的方法学会分析解决生活中简单的实际问题，将西瓜沿球心所在直线切开，得到瓤和皮两个圆，根据相似形的性质，计算其半径的比，得到面积比，从而得出正确结果．
【答案与解析】
解：如图，设西瓜外径为R，西瓜内径为r，瓜皮厚度为a，于是两圆面积比为，当r越大时，Sr：SR越接近与1，故西瓜越大越合算．与此类似，买鸡蛋也应挑大个的．
【总结升华】此题是一道材料分析题，通过题目信息所给出的研究方法，进行探究是解答此类题目的基本思路．
类型二、相似三角形的三个判定定理
/2.（2019?湖州模拟）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，/，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
/
【思路点拨】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得/，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；
（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．
【答案与解析】（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，
∴/，
∵DF=/DC，
∴/，
∴/，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴/，
又∵DF=/DC，正方形的边长为4，
∴ED=2，CG=6，
∴BG=BC+CG=10．
【总结升华】此题考查了相似三角形的判定、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用，解题的关键是数形结合思想的应用．
举一反三
【变式】如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C=54°，∠A=47°，∠F=54°，∠E=79°，求证：△ABC∽△DEF．
/
【答案】
解：在△ABC中，∠B=180°-∠A-∠C=79°，在△ABC和△DEF中，
，∴△ABC∽△DEF．
/3、（2019?大庆模拟）如图，△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，D为AB的中点，过点D的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE的长为多少？
/
【答案与解析】解：∵D为AB的中点，
∴BD=/AB=/，
∵∠DBE=∠ABC，
∴当∠DBE=∠ACB时，△BDE∽△BAC时，如图1，则/=/，即/=/，解得DE=2；
/
当∠BDE=∠ACB时，如图2，DE交AC于F，
/
∵∠DAF=∠CAB，
∴△ADF∽△ACB，
∴△BDE∽△BCA，
∴/=/，即/=/，解得DE=/，
综上所述，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE=2或/．
【总结升华】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，注意分类讨论思想在本题的应用，避免漏解．
举一反三
【变式】如图，在△ABC于△ADE中,，要使△ABC于△ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是___________．
/
【答案】∠B=∠E．
/4、如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．（1）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；（2）P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似（要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由）
/
【思路点拨】（1）首先根据小正方形的边长，求出△ABC和△DEF的三边长，然后判断它们是否对应成比例即可．（2）只要构成的三角形与△ABC的三边比相等即可（答案不唯一）．
【答案与解析】
解：（1）△ABC和△DEF相似； 根据勾股定理，得AB=2 ，AC= ，BC=5；DE=4 ，DF=2 ，EF=2 ；∵,∴△ABC∽△DEF． （2）答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可；
△DP2P5，△P5P4F，△DP2P4，△P5P4D，△P4P5P2，△FDP1．
【总结升华】此题主要考查的是相似三角形的判定方法：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．（SSS）
举一反三
【变式】如图，已知每个小正方形的边长均为1，△ABC与△DEF的顶点都在小正方形的顶点上，那么△DEF与△ABC相似的是（　　）
/
/ / / /
【答案】B.
由勾股定理求得各三角形的三边长，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用．
类型三、黄金分割
/折纸与证明---用纸折出黄金分割点：第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）
/
【思路点拨】连接GF，设正方形的边长为1，由折纸第一步，可知DF=，在Rt△BCF中，根据勾股定理得出BF，在Rt△A′GF和Rt△DGF中，根据勾股定理由GF不变列出关于AG的方程，解方程求出AG的长，即可说明点G是AD的黄金分割点．
【答案与解析】
证明：如图，连接GF，设正方形ABCD的边长为1，则DF=．在Rt△BCF中，BF=，则A′F=BF-BA′=-1．设AG=A′G=x，则GD=1-x，在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F2+A'G2=DF2+DG2，即(-1)2+x2=()2+(1-x)2，解得x=，即点G是AD的黄金分割点（AG＞GD）．
【总结升华】本题考查黄金分割的概念：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
举一反三：
【变式】（2012?恩施州）如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．
/
【答案】设正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1∴AE=，又∵B′E=BE=1，∴AB′=AE-B′E=，∴AB″：AB=()：2∴点B″是线段AB的黄金分割点．
【巩固练习】
一、选择题1. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（　　）
/
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
2．（2018?黄浦区一模）在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，下列条件中不能判定△AED∽△ABC是（　　）
A．∠ADE=∠C B． ∠AED=∠B C. D.
3．如图，平行四边形ABCD中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于G，则图中的相似三角形对数共有（　　）
/
A． 8对 B． 6对 C． 4对 D． 2对
4．下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC相似的个数有（　　）
/
　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
5.如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示以PA为边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，那么S1（　　）S2．
A.> B.= C.< D.无法确定
/
6.有以下命题：①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有．②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项．③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项．④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=-1．其中正确的判断有（　　）.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
7．如图，添加一个条件：　 　，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）
/
8．在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有　　条．
/

9．如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有　　个．
/
10．如图，点D、E、F在△ABC三边上，EF、DG相交于点H，∠ABC=∠EFC=70°，∠ACB=60°，∠DGB=50°，图中与△GFH相似的三角形的个数是　　．
/
11．（2019?六合区一模）如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，直线l经过C，且l∥AB，P为l上一个动点，若△ABC与△PAC相似，则PC=　　．
/
12.如图所示，顶角A为36°的第一个黄金三角形△ABC的腰AB=1，底边与腰之比为K，三角形△BCD为第二个黄金三角形，依此类推，第2008个黄金三角形的周长为____________．
/
三、解答题
13. 如图，点P在平行四边形ABCD的CD边上，连接BP并延长与AD的延长线交于点Q．
（1）求证：△DQP∽△CBP；
（2）当△DQP≌△CBP，且AB=8时，求DP的长．
/
14（2019春?成武县期末）如图，已知△ABC中，AB=/，AC=/，BC=6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．
/
15.如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点．/
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】C；
【解析】∵AB⊥BC，
∴∠B=90°．
∵AD∥BC，
∴∠A=180°﹣∠B=90°，
∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4，
设AP的长为x，则BP长为8﹣x．
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8﹣x）=3：4，解得x=/；
②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8﹣x），解得x=2或x=6．
∴满足条件的点P的个数是3个，
故选：C．
/
2.【答案】D;
【解析】A、有条件∠ADE=∠C，∠A=∠A可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似证明△AED和△ABC相似；
B、有条件∠AED=∠B，∠A=∠A可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似证明△AED和△ABC相似；
C、根据两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似证明△AED和△ABC相似；
D、不能证明△AED和△ABC相似；
故选：D．
3.【答案】C；
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△BEC∽△GEA，△ABE∽△CEF，△GDF∽△GAB，△DGF∽△BCF，
∴△GAB∽△BCF，
还有△ABC≌△CDA（是特殊相似），
∴共有6对．
故选：C．
4.【答案】B；
【解析】观察可以发现AC=/，BC=2/，AB=/，故该三角形中必须有一条边与邻边的比值为2，且为直角三角三角形，
第1个图形中，有两边为2，4，且为直角三角三角形，
第2，3图形中，两边不具备2倍关系，不可能相似，
第4个图形中，有两边为/，2/，且为直角三角三角形，
∴只有第1，4个图形与左图中的△ABC相似．
故选：B．
5．【答案】B．
【解析】根据黄金分割的概念得：，则==1，即S1=S2．故选B．
6．【答案】B．
【解析】①、根据第四比例项的概念，显然正确；②、如果点C是线段AB的中点，AB：AC=2，AC：BC=1，不成比例，错误；③、根据黄金分割的概念，正确；④、根据黄金分割的概念：AC=，错误．故选B．
二、填空题
7．【答案】∠ADE=∠ACB；
【解析】由题意得，∠A=∠A（公共角），
则可添加：∠ADE=∠ACB，利用两角法可判定△ADE∽△ACB．
故答案可为：∠ADE=∠ACB．
8．【答案】3；
【解析】当PD∥BC时，△APD∽△ABC，
当PE∥AC时，△BPE∽△BAC，
连接PC，
∵∠A=36°，AB=AC，点P在AC的垂直平分线上，
∴AP=PC，∠ABC=∠ACB=72°，
∴∠ACP=∠PAC=36°，
∴∠PCB=36°，
∴∠B=∠B，∠PCB=∠A，
∴△CPB∽△ACB，
故过点P的△ABC的相似线最多有3条．
故答案为：3．
9．【答案】3；
【解析】设AP为x，
∵AB=10，
∴PB=10﹣x，
①AD和PB是对应边时，
∵△APD与△BPC相似，
∴/=/，
即/=/，
整理得，x2﹣10x+16=0，
解得x1=2，x2=8，
②AD和BC是对应边时，
∵△APD与△BPC相似，
∴/=/，
即/=/，
解得x=5，
所以，当AP=2、5、8时，△APD与△BPC相似，
满足条件的点P有3个．
故答案为：3．
10．【答案】3;
【解析】①∵∠ABC=∠EFC=70°，
∴HF∥DB；
∴△GBD∽△△GFH；
②∵在△BDG中，∠B=∠EFC=70°，∠DGB=50°，则∠GDB=60°；
在△ABC中，∠B=70°，∠ACB=60°，则∠A=50°；
∴△ABC∽△GFH．
③∵△DGB=∠A=∠FEC=50°，∠EFC为公共角
∴△EFC∽△GFH；
综上所述，图中与△GFH相似的三角形的个数是3．
故答案是：3．
11.【答案】4.8或/.【解析】∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∴AB=/=10，
当△ABC∽△PCA时，则AB：PC=BC：AC，
即10：PC=6：8，解得：PC=/，
当△ABC∽△ACP时，则AB：AC=BC：PC，
即10：8=6：PC，解得：PC=4.8．
综上可知若△ABC与△PAC相似，则PC=4.8或/．
12.【答案】K2007（K+2）.
【解析】第一个三角形的周长为K+2；第二个三角形的周长K+K+K2=K（K+2）；第三个周长为K2+K2+K3=K2（K+2）…所以第2008个三角形的周长为K2007（K+2）.
三、解答题
13.【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AQ∥BC，
∴∠QDP=∠BCP，
又∠QPD=∠CPB，
∴△DQP∽△CBP；
（2）解：∵△DQP≌△CBP，
∴DP=CP=/CD，
∵AB=CD=8，
∴DP=4．
14.【解析】解：①图1，作MN∥BC交AC于点N，则△AMN∽△ABC，
有/，
∵M为AB中点，AB=/，
∴AM=/，
∵BC=6，
∴MN=3；
②图2，作∠ANM=∠B，则△ANM∽△ABC，
有/，
∵M为AB中点，AB=/，
∴AM=/，
∵BC=6，AC=/，
∴MN=/，
∴MN的长为3或/．
15.【解析】（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：设△ABC的边AB上的高为h．则S△ADC=AD?h，S△BDC=BD?h，S△ABC=AB?h，∴=，=．又∵点D为边AB的黄金分割点，∴=，∴=．故直线CD是△ABC的黄金分割线．（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，∴s1=s2=s，即，故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．（3）∵DF∥CE，∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，∴S△DFC=S△DFE，∴S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC．又∵=，∴=．因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线．（4）画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．/