北师大版初中数学九年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第15讲 相似三角形判定定理的证明(提高)含答案

相似三角形判定定理的证明(提高)
【学习目标】
1.熟记三个判定定理的内容.
2.三个判定定理的证明过程.
3.学选会用适当的方法证明结论的成立性.
【要点梳理】
要点一、两角分别相等的两个三角形相似
已知：如图,在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′D′,过点D作BC的平行线，交AC于点E,则∠ADE=∠B，∠AED=∠C,
过点D作AC的平行线，交BC与点F,则
∴
∵DE∥BC,DF∥AC,
∴四边形DFCE是平行四边形.
∴DE=CF.
∴.
而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED==∠C,
∴△ADE∽△ABC.
∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′,
∴△ADE∽△A′B′C′.
∴△ABC∽△A′B′C′.
要点诠释：证明这个定理的正确性，是把它转化为平行线分线段成比例来证明的，注意转化时 辅助线的做法.
要点二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
已知，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′, ,求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D作BC的平行线，交AC于点E,则
∠B=∠ADE,∠C=∠AED,
∴△ABC∽△ADE(两个分别相等的两个三角形相似).
∴.
∵ ,AD=A′B′,
∴
∴
∴AE=A′C′
而∠A=∠A′
∴△ADE≌△A′B′C′.
∴△ABC∽△A′B′C′.
要点诠释：利用了转化的数学思想，通过添设辅助线，将未知的判定方法转化为已知两组角对应相等推得相似或已知平行推得相似的.
要点三、三边成比例的两个三角形相似
已知：在在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′, .
求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明：在△ABC的边AB，AC（或它们的延长线）上截取AD=A′B′,AD=A′B′,连接DE.
∵，AD=A′B′,AE=A′C′,
∴
而∠BAC=∠DAE,
∴△ABC∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).
∴
又，AD= A′B′,
∴
∴
∴DE=B′C′,
∴△ADE≌△A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′.
【典型例题】
类型一、两角分别相等的两个三角形相似
1、（2018?合肥校级四模）如图，己知：Rt△ABC中，∠BAC=9O°，AD⊥BC于D，E是AC的中点，ED交AB延长线于F，求证：
①△ABD∽△CAD；
②AB：AC=DF：AF．
【思路点拨】（1）由Rt△ABC中，∠BAC=9O°，AD⊥BC，易得∠BAD=∠ACD，又由∠ADB=∠ADC，即可证得△ABD∽△CAD；
（2）由△ABD∽△CAD，即可得，易证得△AFD∽△DFB，可得，继而证得结论．
【答案与解析】
证明：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠BAD=∠ACD，
∵∠ADB=∠ADC，
∴△ABD∽△CAD；
（2）∵△ABD∽△CAD，
∴，
∵E是AC中点，∠ADC=90°，
∴ED=EC，
∴∠ACD=∠EDC，
∵∠EDC=∠BDF，∠ACD=∠BAD，
∴∠BAD=∠BDF，
∵∠AFD=∠DFB，
∴△AFD∽△DFB，
∴，
∴,
∴AB：AC=DF：AF．
【总结升华】此题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质，难度适中．
类型二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
2、如图，在△ABC中，M、N分别为AB、AC边上的中点．D、E为BC边上的两点，且DE=BD+EC，ME与ND交于点O，请你写出图中一对全等的三角形，并加以证明．
【思路点拨】因为M、N分别为AB、AC边上的中点，∠A=∠A，可证明△AMN∽△ABC，则MN∥BC，又因为DE=BD+EC，所以有△MON≌△EOD．
【答案与解析】
解：△MON≌△EOD．
证明：∵M、N分别为AB、AC边上的中点，
∴AM：AB=1：2，AN：AC=1：2．
∵∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC．
∴∠AMN=∠ABC，MN=BC．
∴MN∥BC．
∴∠OMN=∠OED，∠ONM=∠ODE．
∵DE=BD+EC，
∴DE=BC．
∴MN=DE．
∴△MON≌△DOE．
【总结升华】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
举一反三
【变式】如图，点O是△ABC的垂心（垂心即三角形三条高所在直线的交点），连接AO交CB的延长线于点D，连接CO交AB的延长线于点E，连接DE．求证：△ODE∽△OCA．
【答案】
证明：∵O是垂心，
∴AO⊥CD，
∴∠CDO=90°，
同理∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠CDO，
在△AEO和△CDO中
，
∴△AEO∽△CDO，
∴，
∴，
在△ODE和△OCA中
，
∴△ODE∽△OCA．
3、（2018?大庆模拟）如图，△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，D为AB的中点，过点D的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE的长是多少？
【答案与解析】解：∵D为AB的中点，
∴BD=AB=，
∵∠DBE=∠ABC，
∴当∠DEB=∠ACB时，△BDE∽△BAC时，如图1，则=，即=，解得DE=2；
当∠BDE=∠ACB时，如图2，DE交AC于F，
∵∠DAF=∠CAB，
∴△ADF∽△ACB，
∴△BDE∽△BCA，
∴=，即=，解得DE=，
综上所述，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE=2或．
【总结升华】本题考查了相似三角形判定和性质，其次要注意分类讨论思想的运用．
举一反三
【变式】如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB=3，BF⊥BP，垂足是B．请在射线BF上找一点M，使以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似．（请注意：全等图形是相似图形的特例）
【答案】解：在射线BF上截取线段，连接M1C，
?，
?∠ABP=∠CBM1，
∴△M1BC∽△ABP．
在射线BF上截取线段BM2=BP=3，连接M2C，
?△CBM2≌△ABP．（全等必相似）
∴在射线BF上取或BM2=3时，M1，M2都为符合条件的M．
类型三、三边成比例的两个三角形相似
4、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）
　
A．
B．
C．
D．
【思路点拨】首先求得△ABC三边的长，然后分别求得A，B，C，D各三角形的三边的长，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案．
【答案与解析】
解：如图：AB==，AC==，BC=2，
A、∵DE==，DF==，EF=1，
∴，
∴△DEF∽△BAC，
故A选项正确；
B、∵MN==，MK==，NK=3，
∴，=1，，
∴△MNK与△ABC不相似，
故B选项错误；
C、∵PQ==2，PR==，QR=1，
∴==，=，=，
∴△PQR与△ABC不相似，
故C选项错误；
D、∵GH==，GL==，HL=2，
∴=，=，=，
∴△GHL与△ABC不相似，
故D选项错误．
故选：A．
【总结升华】此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，三组对应边的比相等的两个三角形相似定理的应用是解此题的关键．
5、如图，若A、B、C、D、E，甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC与△DEF相似，则点F应是甲、乙、丙、丁四点中的（　　）
【思路点拨】令每个小正方形的边长为1，分别求出两个三角形的边长，从而根据相似三角形的对应边成比例即可找到点F对应的位置．
【答案与解析】
解：根据题意，△ABC的三边之比为 1：：，
要使△ABC∽△DEF，则△DEF的三边之比也应为1：：，
经计算只有甲点合适，
故选A．
【总结升华】本题考查了相似三角形的判定定理：
（1）两角对应相等的两个三角形相似．
（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
（3）三边对应成比例的两个三角形相似．
举一反三
【变式】如图，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF与△ABC相似，则点F应是G，H，M，N四点中的（　　）
A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M
【答案】C.
解：设小正方形的边长为1，则△ABC的各边分别为3、、，只能F是M或N时，其各边是6、2 ，2 ．与△ABC各边对应成比例，故选C．
【巩固练习】
一、选择题1. （2018?深圳校级模拟）若△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，则S△ABC：S△DEF=（　　）
A．1：3 　 B．1：9　 C．1： 　　D．1：1.52．已知如图：（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于0点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（　　）?
A．都相似 B．都不相似 C．只有（1）相似 D．只有（2）相似
3．如图，G是平行四边形ABCD的边CD延长线上一点，BG交AC于E，交AD于F，则图中与△FGD相似的三角形有（　　）
　 A． 0对 B． 1对 C． 2对 D． 3对
4．如图，分别以下列选项作为一个已知条件，其中不一定能得到△AOB∽△COD的是（　　）
A． ∠BAC=∠BDC B． ∠ABD=∠ACD C D
5．如果一个三角形能够分成两个与原三角形都相似的三角形，我们把这样的三角形称为孪生三角形，那么孪生三角形是（　　）
　 A． 不存在 B． 等腰三角形 C． 直角三角形 D． 等腰三角形或直角三角形
6．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：（1）；（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有多少组（　　）
　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
二、填空题
7．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，连接DE，要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件　 （只需写一个）．
8．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．则图中相似三角形（相似比为1除外）有　 ．
9．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与△ABC相似，写出所有符合条件的三角形　 　．
10．如图，∠1=∠2=∠3，有几对三角形相似，请写出其中的两对　 　．

11．如图，在3×4的方格上，每个方格的边长为1个单位，△ABC的顶点都在方格的格点位置．若点D在格点位置上（与点A不重合），且使△DBC与△ABC相似，则符合条件的点D共有　　个．
12.（2018?六合区一模）如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，直线l经过C，且l∥AB，P为l上一个动点，若△ABC与△PAC相似，则PC=　　．

三、解答题
13. 如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）
（1）当t=1秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；
（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．

14.（2018春?成武县期末）如图，已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．

15．如图，在△ABC和△ADE中，==，点B、D、E在一条直线上，求证：△ABD∽△ACE．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】B.
【解析】∵△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，
∴S△ABC：S△DEF=1：9．故选B．
2.【答案】A;
【解析】如图（1）∵∠A=35°，∠B=75°，∴∠C=180°-∠A-∠B=70°，∵∠E=75°，∠F=70°，∴∠B=∠E，∠C=∠F，∴△ABC∽△DEF； 如图（2）∵OA=4，OD=3，OC=8，OB=6，∴，∵∠AOC=∠DOB，∴△AOC∽△DOB．故选A．
3.【答案】C；
【解析】∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC，
∴△GFD∽△GBC，△GFD∽△BFA，
∴图中与△FGD相似的三角形有2对，
故选C．

4.【答案】C；
【解析】A、若∠BAC=∠BDC，结合∠AOB=∠COD，可得△AOB∽△COD，故本选项错误；
B、若∠ABD=∠ACD，结合∠AOB=∠COD，可得△AOB∽△COD，故本选项错误；
C、若=，因为只知道∠AOB=∠COD，不符合两边及其夹角的判定，不一定能得到△AOB∽△COD，故本选项正确．
D、若=，结合∠AOB=∠COD，根据两边及其夹角的方法可得△AOB∽△COD，故本选项错误；
故选C．
5.【答案】C；
【解析】∵△ABD∽△CBD，
∴∠ADB=∠BDC
又∵∠ADB+∠BDC=180°，
∴∠ADB=∠BDC=×180°=90°，
∵△ADB∽△ABC，ABC△∽△BDC，
∴∠ABC=∠ADB=∠BDC=90°，
∴△ABC为直角三角形．
故选：C．
6.【答案】C；
【解析】能判断△ABC∽△A′B′C′的有：（1）（2），（2）（4），（3）（4），
∴能判断△ABC∽△A′B′C′的共有3组．
故选C．
二、填空题
7．【答案】如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD：AC=AE：AB或AD?AB=AE?AC等；
【解析】∵∠A是公共角，
∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B时，△ADE∽△ACB（有两角对应相等的三角形相似），
当AD：AC=AE：AB或AD?AB=AE?AC时，△ADE∽△ACB（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），
∴要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件：答案不唯一，如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD：AC=AE：AB或AD?AB=AE?AC等．
故答案为：此题答案不唯一，如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD：AC=AE：AB或AD?AB=AE?AC等．
8．【答案】△PCQ∽△RDQ∽△PAB；
【解析】∵CP∥ER，
∴△BCP∽△BER；
∵CP∥DR，
∴△PCQ∽△RDQ；
∵CQ∥AB，
∴△PCQ∽△PAB；
∴△PCQ∽△RDQ∽△PAB．
9．【答案】△DP2P5、△DP2P4、△DP4P5；
【解析】设网格的边长为1．
则AC=，AB=，BC=．
连接DP2P5，
DP5=，DP2=，P2P5=．
∵==，
∴△ACB∽△DP5P2．
同理可找到△DP2P4，DP4P5和△ACB相似．
故答案为：△DP2P5，DP2P4，DP4P5．
10．【答案】△CDE∽△CAB；△EDA∽△AEB;
【解析】∵∠2=∠3，∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∵∠2=∠3，
∴∠DEA=∠EAB，
∵∠1=∠3，
∴△EDA∽△AEB，
故答案为：△CDE∽△CAB；△EDA∽△AEB．
11．【答案】4;
【解析】∵方格中小正方形的边长为1，
∴AB=1、BC=、AC=，
∵△DBC与△ABC相似，
∴BC=、CD=2、BD=，
如图可知这样的点D如图：
故答案为：4．

12.【答案】4.8或.【解析】∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∴AB==10，
当△ABC∽△PCA时，则AB：PC=BC：AC，
即10：PC=6：8，解得：PC=，
当△ABC∽△ACP时，则AB：AC=BC：PC，
即10：8=6：PC，解得：PC=4.8．
综上可知若△ABC与△PAC相似，则PC=4.8或．
三、解答题
13.【解析】
解：（1）如图1，当t=1秒时，AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2
由S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG
=×﹣
=×（10+2）×8﹣×10×4﹣
=24.
（2）①如图1，当0≤t≤2时，点E、F、G分别在边AB、
BC、CD上移动，
此时AE=2t，EB=12﹣2t，BF=4t，FC=8﹣4t，CG=2t
S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG
=×（EB+CG）?BC﹣EB?BF﹣FC?CG
=×8×（12﹣2t+2t）﹣×4t（12﹣2t）﹣×2t（8﹣4t）
=8t2﹣32t+48．
②如图2，当点F追上点G时，4t=2t+8，解得t=4
当2＜t＜4时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，此时CF=4t﹣8，CG=2t
FG=CG﹣CF=2t﹣（4t﹣8）=8﹣2t
S=FG?BC=（8﹣2t）?8=﹣8t+32．
即S=﹣8t+32
（3）如图1，当点F在矩形的边BC上的边移动时，0≤t≤2
在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°
1若=，即=，
解得t=．
又t=满足0≤t≤2，所以当t=时，△EBF∽△FCG
2若=即=，解得t=．
又t=满足0≤t≤2，所以当t=时，△EBF∽△GCF
综上所述，当t=或t=时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似．
14.【解析】解：①图1，作MN∥BC交AC于点N，则△AMN∽△ABC，
有，
∵M为AB中点，AB=，
∴AM=，
∵BC=6，
∴MN=3；
②图2，作∠ANM=∠B，则△ANM∽△ABC，
有，
∵M为AB中点，AB=，
∴AM=，
∵BC=6，AC=，
∴MN=，
∴MN的长为3或．
15.【解析】
证明：∵在△ABC和△ADE中，==，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵，
∴，
∴△ABD∽△ACE．