北师大版初中数学九年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第16讲 相似三角形的性质及应用(提高)含答案

相似三角形的性质及应用--知识讲解（提高）

【学习目标】
1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；
2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.
【要点梳理】
要点一、相似三角形的应用
1.测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.
要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
2.测量距离
测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.
2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.　　
要点诠释：　
1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;　　2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;　　3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;
4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
要点二、相似三角形的性质
1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
3. 相似三角形周长的比等于相似比.
∽，则
由比例性质可得：
4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
∽，则分别作出与的高和，则
要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
【典型例题】
类型一、相似三角形的应用
1. 在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上。已知铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（ ）.
A.24m B.22m C.20m D.18m

【答案】 A.
【解析】过点D做DN⊥CD交光线AE于点N，则,DN=14.4，
又∵AM:MN=1.6:1，∴AM=1.6MN=1.6BD=1.6×6=9.6(m).
∴塔高AB=AM+DN=14.4+9.6=24(m)，所以选A.
【总结升华】解决本题的难点是把塔高的影长分为在平地和斜坡上两部分；关键是利用平地和斜坡上的物高与影长的比得到相应的部分塔高的长度．
举一反三：【变式】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高度BC. 　　　　　　　
【答案】作EF⊥DC交AD于F.
∵AD∥BE，∴
又∵，　　　 ∴，
∴.　　　 ∵AB∥EF， AD∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴EF=AB=1.8m.　　　 ∴m.
2. （2019春?江津区校级月考）如图，直立在B处的标杆AB=2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD=8m，FB=2.5m，人高EF=1.5m，求树高CD．
【答案与解析】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，如下图所示：
由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴四边形EFDH为矩形，
∴EF=GB=DH=1.5米，EG=FB=2.5米，GH=BD=8米，
∴AG=AB﹣GB=2.4﹣1.5=0.9米，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴AG∥CH，
∴△AEG∽△CEH，
∴=，
∴=，
解得：CH=3.78米，
∴DC=CH+DH=3.78+1.5=5.28米．
答：故树高DC为5.2米．
【总结升华】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形．
类型二、相似三角形的性质3.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（ ）.　　A. 2：5　　　 B．14:25　　　 C．16:25　　　 D. 4:21　　　　　　　 【思路点拨】相似三角形的面积比等于相似比的平方，但是一定要注意两个三角形是否相似.
【答案】B.
【解析】由已知可得AB=10，AD=BD=5，设AE=BE=x, 则CE=8-x,　　　　在Rt△BCE中，x2-(8-x)2=62,x=,　　　　由△ADE∽△ACB得，　　　　S△BCE：S△BDE=（64-25-25）：25=14:25，所以选B.
【总结升华】关键是要确定哪两个是相似三角形.
举一反三
【变式】在锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2,求AC边上的高.
【答案】过点B做BF⊥AC,垂足为点F，
∵AD,CE分别为BC,AB边上的高，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴Rt△ADB∽Rt△CEB,
∴,
且∠B=∠B，
∴△EBD∽△CBA,
∴,
∴,
又∵DE=2，
∴AC=6，
∴
4.（2019?齐齐哈尔）如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则A2019A2019=　 　．
【思路点拨】本题考查相似三角形的判定与性质以及正方形的性质，根据已知条件得到A1B1=，AA1=2，同理：A2A3=2（）2，A3A4=2（）3，从而找出规律答案即可求出．
【答案与解析】2（）2019
解：∵四边形ABCB1是正方形，
∴AB=AB1，AB∥CB1，
∴AB∥A1C，
∴∠CA1A=30°，
∴A1B1=，AA1=2，
∴A1B2=A1B1=，
∴A1A2=2，
同理：A2A3=2（）2，
A3A4=2（）3，
…
∴AnAn+1=2（）n，
∴A2019A2019=2（）2019，
故答案为：2（）2019．
【总结升华】本题是相似性质的运用与找规律相结合的一道题，要注意从特殊到一般形式的变换规律.

举一反三：
【变式】如图，已知中，，，，，点在上， (与点不重合)，点在上.
(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长.　　(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.
【答案】 (1)∵，
.　　　　　? ,?
∽.　　　　　 ??.
.
.　　　 　 (2)∵的周长与四边形的周长相等.　　　　　??,
=6.　　　　　?,?
∽.　　　　　??.
,
,
.　　　　
相似三角形的性质及应用--巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（ ）.
A．只有1个　 B．可以有2个 　　C．有2个以上，但有限　　　 D．有无数个
2. （2019?哈尔滨）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（　　）
　 A．= B． = C． = D．=
3. 如图，已知D、E分别是的AB、 AC边上的点，且?那么等于（ ）.
A．1：9 　　　B．1：3 　　　C．1：8 　　　D．1：2　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．如图G是△ABC的重心，直线过A点与BC平行.若直线CG分别与AB、交于D、E两点，直线BG与AC交于 F点，则△AED的面积 ：四边形ADGF的面积=( ).?　　A．1：2 　　　B．2：1 　　　C．2：3 　　　D．3：2　　　　　　　　　　　　　　　　
5. 如图，将△ABC的高AD四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成四部分S1、S2、S3、S4，则S1︰S2︰S3︰S4等于（　　）. A.1︰2︰3︰4　 B.2︰3︰4︰5 　 C.1︰3︰5︰7 　 D.3︰5︰7︰9 　　
6．如图，在□ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则　　S△DEF：S△EBF：S△ABF等于( ).
A.4：10：25　　　 B.4：9：25　 　　C.2：3：5　 　　D.2：5：25　　　　
二、填空题
7.（2019?自贡）将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于　　．
8.如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ADC=∠ACB,若AC=2，AD=1，则DB=_________.
9.如图，在△PAB中，M、N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB的度数是
_______________.
10.如图，△ABC中，DE∥BC,BE,CD交于点F，且=3，则：=______________.
11. 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是_________________.
12.如图，锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2，
则AC边上的高为______________.
三、解答题
13. 为了测量图（1）和图（2）中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作：图（1）：测得竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米．图（2）：测得落在地面的树影长2.8米，落在墙上的树影高1.2米，请问图（1）和图（2）中的树高各是多少？
14.（1）阅读下列材料，补全证明过程：　　已知：如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连结DE交OC于点F，作FG⊥BC于G．求证：点G是线段BC的一个三等分点．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　证明：在矩形ABCD中，OE⊥BC，DC⊥BC，　　　　　∴　OE∥DC．∵　＝，∴　＝＝．∴　＝．　　　　　……（2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程）．　
15. （2019?滕州市校级四模）某车库出口处设置有“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点，当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图1所示（图2为其几何图形）．其中AB⊥BC，DC⊥BC，EF∥BC，∠EAB=150°，AB=AE=1.2m，BC=2.4m．
（1）求图2中点E到地面的高度（即EH的长．≈1.73，结果精确到0.01m，栏杆宽度忽略不计）；
（2）若一辆厢式货车的宽度和高度均为2m，这辆车能否驶入该车库？请说明理由．
【答案与解析】
一．选择题
1.【答案】B.
【解析】x可能是斜边，也可能是直角边.
2.【答案】C.
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BF，BE∥DC，AD=BC，
∴，，，
故选C．
3.【答案】B.
4.【答案】D.
5.【答案】C.
【解析】本题要求运用相似三角形的面积比等于相似比的平方。由，
所以，又由，可得，下略．
6.【答案】 A.
【解析】 □ABCD中，AB∥DC，△DEF∽△ABF，　　　　　　　　　　　　　　(△DEF与△EBF等高，面积比等于对应底边的比)，所以答案选A.
二、填空题
7.【答案】1：3.
【解析】∵∠ABC=90°，∠DCB=90°
∴AB∥CD，∴∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，
∴△AOB∽△COD；又∵AB：CD=BC：CD= 1：
∴△AOB与△DOC的面积之比等于1：3．
8.【答案】3.
【解析】 ∵∠ADC=∠ACB，∠DAC=∠BAC,∴△ACD∽△ABC,∴AB=
∴BD=AB-AD=4-1=3.
9. 【答案】120°.
【解析】∵ △BPM∽△PAN，∴ ∠BPM＝∠A，
∵ △PMN是等边三角形，∴ ∠A+∠APN＝60°，即∠APN+∠BPM＝60°，
∴ ∠APB＝∠BPM+∠MPN+∠APN＝60°+60°=120°．
10.【答案】1:9 .
【解析】∵=3，∴FC:DF=3:1，又∵DE∥BC,∴△BFC∽△EFD,即BC：DE=FC:FD=3:1，
由△ADE∽△ABC，即：=1:9.
11.【答案】30m.
12.【答案】 6.
【解析】∵AD,CE分别为BC,AB边上的高,
∴∠ADB=∠BEC=90°，∠ABD=∠EBC
∴Rt△ABD∽Rt△CBE.
∴，
∴△ABC∽△DBE.
∵相似三角形面积比为相似比的平方，
∴= 9, ∴=3 ,
∴AC=3DE=3×2=6.
∴h=2S△ABC/AC=2×18/6=6
即AC边上的高是6 .
三、解答题13.【解析】（1）∵△CDE∽△ABE，∴， 又竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米， ∴ AB=1.92米．即图1的树高为1.92米． （2）设墙上的影高落在地面上时的长度为x，树高为h， ∵竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米， ∴.
解得x=1.5（m），∴树的影长为：1.5+2.8=4.3（m），∴
解得h=3.44（m）．14.【解析】（1）补全证明过程:　　　　　　∵　FG⊥BC，DC⊥BC，　　　　　　∴　FG∥DC．　　　　　　∴　＝＝．　　　　　　∵　AB＝DC，　　　　　　∴　＝．　　　　　 又　FG∥AB，　　　　　 ∴　＝＝．　　　　　　∴　点G是BC的一个三等分点．　　　　　（2）如图，连结DG交AC于点H，作HI⊥BC于I，则点I是线段BC的一个四等分点.
15.【解析】解：（1）如图，作AM⊥EH于点M，交CD于点N，
则四边形ABHM和MHCN都是矩形，
∵∠EAB=150°，∴∠EAM=60°，
又∵AB=AE=1.2米，
∴EM=0.6≈0.6×1.73=1.038≈1.04（米），
∴EH≈2.24（米）；
（2）如图，在AE上取一点P，过点P分别作BC，CD的垂线，垂足分别是Q，R，PR交EH于点K，不妨设PQ=2米，
下面计算PR是否小于2米；
由上述条件可得EK=EH﹣PQ=0.24米，AM=0.6米，
∵PK∥AM，∴△EPK∽△EAM，
∴=，即=，
∴PK=0.08（米），
∴PR=PK+MN=PK+BC﹣AM=0.08+2.4﹣0.6
=1.8+0.08
≈1.94（米），
∵PR＜2米，∴这辆车不能驶入该车库．