北师大版初中数学九年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第20讲 反比例函数(提高)含答案

反比例函数（提高）
【学习目标】
1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．
2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．
3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．
4. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题．
【要点梳理】
要点一、反比例函数的定义
一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.
要点诠释：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是/，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点.
　　（2） (/)可以写成/(/)的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数/这一条件.
（3） (/)也可以写成/的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.
要点二、确定反比例函数的关系式
确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.
　　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
　 （1）设所求的反比例函数为： ()；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；
（3）解方程求出待定系数的值；
（4）把求得的值代回所设的函数关系式 中.
要点三、反比例函数的图象和性质
/　　1、 反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
要点诠释：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；
（2）在反比例函数/(为常数，) 中，由于/，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．
2、画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；
（4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
3、反比例函数的性质
（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；
　 （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；
要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.
要点四：反比例函数/(/)中的比例系数的几何意义
/
过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.
过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.
【典型例题】
类型一、反比例函数定义
/1、当为何值时是反比例函数？
【思路点拨】根据反比例函数解析式，也可以写成的形式，后一种表达方法中的次数为-1，由此可知函数是反比例函数，要具备的两个条件为且，二者必须同时满足，缺一不可．
【答案与解析】
解：令由①得，＝±1，由②得，≠1．
综上，＝－1，即＝－1时，是反比例函数．
【总结升华】反比例函数解析式的三种形式：①；②；③．
类型二、确定反比例函数解析式
/2、（2019春?裕民县校级期中）正比例函数y=2x与双曲线/的一个交点坐标为A（2，m）．
（1）求出点A的坐标；
（2）求反比例函数关系式．
【答案与解析】
解：（1）将A点坐标是（2，m）代入正比例y=2x中，得：m=4，
则A（2，4）；
（2）将A（2，4）代入反比例解析式中，得：4=/，即k=8，
则反比例函数解析式y=/．
【总结升华】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
举一反三：
【变式】已知，与成正比例，与成反比例，且当＝1时，＝7；当＝2时，＝8．
(1) 与之间的函数关系式；
(2)自变量的取值范围；
(3)当＝4时，的值．
【答案】
解：(1)∵ 与成正比例，
∴ 设．
∵ 与成反比例，
∴ 设．
∴ ．
把与分别代入上式，得
∴
所以与的函数解析式为．
(2)自变量的取值范围是≠0．
(3)当＝4时，．
类型三、反比例函数的图象和性质
/3、（2019?宁夏）正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=/的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）
/
A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2
【思路点拨】由正、反比例函数的对称性结合点B的横坐标，即可得出点A的横坐标，再根据两函数图象的上下关系结合交点的横坐标，即可得出结论．
【答案】B．
【解析】解：∵正比例和反比例均关于原点O对称，且点B的横坐标为﹣2，
∴点A的横坐标为2．
观察函数图象，发现：
当x＜﹣2或0＜x＜2时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜2．
【总结升华】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数的性质以及正比例函数的性质，解题的关键是求出点A的横坐标．本题属于基础题，难度不大，根据正、反比例的对称性求出点A的横坐标，再根据两函数的上下位置关系结合交点坐标即可求出不等式的解集．
举一反三：
【变式】（2019春?邓州市校级期中）已知四个函数y=﹣x+1，y=2x﹣1，y=﹣/，y=/，其中y随x的增大而减小的有（　　）个．
A.4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】D；
提示：解：y=﹣x+1中k=﹣1＜0，所以y随x的增大而减小，正确；
y=2x﹣1中k=2＞0，所以y随x的增大而增大，故本选项，错误；
y=﹣/是反比例函数，其增减性必须强调在双曲线的每一支上，故错误；
y=/是反比例函数，其增减性必须强调在双曲线的每一支上，故错误．
故选D．
类型四、反比例函数综合
/4、如图所示，反比例函数的图象与一次函数的图象交于M(2，)，N(－1，－4)两点.
(1)求反比例函数和一次函数的关系式；
(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的的取值范围．
/
【思路点拨】(1)由点N的坐标为(－1，－4)，根据待定系数法可求反比例函数的关系式．从而求出点M的坐标．再根据M、N的坐标，用待定系数法可求出一次函数的关系式；(2)结合图象位置和两交点的坐标，可得到使反比例函数大于一次函数的值的的取值范围．
【答案与解析】
解：(1)设反比例函数的关系式为．
由N(－1，－4)，得，
∴ ＝4．
∴ 反比例函数的关系式为．
∵ 点M(2，)在双曲线上，
∴ ．
∴ 点M(2，2)．
设一次函数的关系式为，由M(2，2)、N(－1，－4)，得
解得
∴ 一次函数的关系式为．
(2)由图象可知，当＜－1或0＜＜2时，反比例函数的值大于一次函数的值．
【总结升华】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式．也考查了待定系数法确定函数解析式以及观察函数图象的能力．
举一反三：
【变式】如图所示，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A(3，2)．
/
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式．
（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）M()是反比例函数图象上的一动点，其中0＜＜3，过点M作直线MB ∥轴，交轴于点B；过点A作直线AC∥轴交轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．
【答案】
解：（1）将A(3，2)分别代入，中，得，3＝2．
∴ ＝6，．
∴ 反比例函数的表达式为，正比例函数的表达式为．
（2）观察图象，在第一象限内，当0＜＜3时，反比例函数的值大于正比例函数的值．
（3）BM＝DM．
理由：∵ ，
∴ ，
即OC·OB＝12．
∵ OC＝3，∴ OB＝4，即＝4．
∴ ．∴ ，．
∴ MB＝MD．
【巩固练习】
一.选择题
1. 在反比例函数/的图象上有两点A/，B/，当/时，有/，则/的取值范围是（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
2. 如图所示的图象上的函数关系式只能是( ) ．
A. B. C. D.
/
3. 已知，点P()在反比例函数的图像上，则直线不经过的象限是( ).
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 在函数（为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（ ）.
A．<< B．<< C．<< D．<<
5. （2019?历下区模拟）如图，直线x=t（t＞0）与反比例函数y=/（x＞0）、y=/（x＞0）的图象分别交于B、C两点，A为y轴上任意一点，△ABC的面积为3，则k的值为（　　）
/
A.2 B.3 C.4 D.5
6. （2019?本溪）如图，点A、C为反比例函数y=/图象上的点，过点A、C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B、D，连接OA、AC、OC，线段OC交AB于点E，点E恰好为OC的中点，当△AEC的面积为/时，k的值为（　　）
/
A．4 B．6 C．﹣4 D．﹣6
二.填空题
7. 如图所示是三个反比例函数、、的图象，由此观察得到、、的大小关系是____________________（用“＜”连接）.
/
8. 如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，2），点B与点D在反比例函数（＞0）的图象上，则点C的坐标为　_________　．
/
9. （2019春?江都市校级期末）已知y1与x成正比例（比例系数为k1），y2与x成反比例（比例系数为k2），若函数y=y1+y2的图象经过点（1，2），（2，/），则8k1+5k2的值为　　．
10.已知A（），B（）都在 图象上．若，则的值为　_________　．
11. 如图，正比例函数的图象与反比例函数（＞0）的图象交于点A，若取1，2，3…20，对应的Rt△AOB的面积分别为，则
＝ ________.
/
12. 如图所示，点，，在x轴上，且，分别过点，， 作轴的平行线，与反比例函数＝（＞0）的图象分别交于点，，,分别过点，，作轴的平行线，分别于轴交于点，，,连接，，,那么图中阴影部分的面积之和为____________.
/
三.解答题
13. （2019?泉州）已知反比例函数的图象经过点P（2，﹣3）．
（1）求该函数的解析式；
（2）若将点P沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴方向平移n（n＞0）个单位得到点P′，使点P′恰好在该函数的图象上，求n的值和点P沿y轴平移的方向．
14. 如图所示，已知双曲线与直线相交于A、B两点．第一象限上的点M(，)(在A点左侧)是双曲线上的动点．过点B作BD∥轴交于x轴于点D．过N(0，－)作NC∥轴交双曲线于点E，交BD于点C．
/
(1)若点D坐标是(－8，0)，求A、B两点坐标及的值．
(2)若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．
15. （2019春?耒阳市校级月考）如图，已知点A（﹣8，n），B（3，﹣8）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积，
（3）求方程kx+b﹣=0的解（请直接写出答案）；
（4）求不等式kx+b﹣＞0的解集（请直接写出答案）．
/
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】C；
【解析】由题意画出图象，只能在一、三象限，故.
2.【答案】D；
【解析】画出的图象，再把轴下方的图象翻折上去.
3.【答案】C；
【解析】由题意，故＞0，直线经过一、二、四象限.
4.【答案】D；
【解析】，故图象在二、四象限，画出图象，比较大小得D答案.
5.【答案】D；
【解析】解：由题意得，点C的坐标（t，﹣/），点B的坐标（t，/），
BC=/+/，则/（/+/）×t=3，解得k=5，
故选：D．
6.【答案】C．
【解析】设点C的坐标为（m，/），则点E（/m，/），A（/m，/），
∵S△AEC=/BD?AE=/（/m﹣m）?（/﹣/）=﹣/k=/，∴k=﹣4．
二.填空题
7. 【答案】；
8. 【答案】（3，6）；
【解析】由题意B点的坐标为（1，6），D点的坐标为（3，2），因为ABCD是矩形，故C点的坐标为（3，6）.
9.【答案】9；
【解析】设y1=k1x，y2=/，则y=y1+y2=k1x+/，
将（1，2）、（2，/）代入得：/，
解得：/
∴8k1+5k2=/=9．
故答案为9．
10.【答案】－12；
【解析】由题意所以，因为，所以＝－12.
11.【答案】105；
【解析】△AOB的面积始终为，故＝.
12.【答案】；
【解析】（）第一个阴影部分面积等于4；（），用待定系数法求出直线的解析式，再求出与的交点坐标为（），第二个阴影面积为＝1；（），求出直线的解析式，再求出与的交点坐标为（），第三个阴影部分面积为，所以阴影部分面积之和为.
三.解答题
13.【解析】
解：（1）设反比例函数的解析式为y=/，
∵图象经过点P（2，﹣3），
∴k=2×（﹣3）=﹣6，
∴反比例函数的解析式为y=﹣/；
（2）∵点P沿x轴负方向平移3个单位，
∴点P′的横坐标为2﹣3=﹣1，
∴当x=﹣1时，y=﹣/=6，
∴∴n=6﹣（﹣3）=9，
∴沿着y轴平移的方向为正方向．
14.【解析】
解：(1)∵ D(－8，0)，∴ B点的横坐标为－8，代入中，得＝－2．
∴ B点坐标为(－8，－2)．而A、B两点关于原点对称，∴ A(8，2) ．
从而＝8×2＝16．
(2)∵ N(0，－)，B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，
∴ ，，C(－2，－)，E(－，－)．
，，，
∴ ．∴ ＝4．
由直线及双曲线，
得A(4，1)，B(－4，－1)，∴ C(－4，－2)，M(2，2)．
设直线CM的解析式是，由C、M两点在这条直线上，得
解得．
∴ 直线CM的解析式是．
15.【解析】
解：（1）∵B（3，﹣8）在反比例函数图象上，
∴﹣8=，m=﹣24，反比例函数的解析式为y=﹣/，
把A（﹣8，n）代入y=﹣/，n=3，
设一次函数解析式为y=kx+b，
/，
解得，/，
一次函数解析式为y=﹣x﹣5．
（2）﹣x﹣5=0，x=﹣5，
点C的坐标为（﹣5，0），
△AOB的面积=△AOC的面积+△BOC的面积=/×5×3+/×5×8=/．
（3）点A（﹣8，3），B（3，﹣8）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数图象的两个交点，
方程kx+b﹣=0的解是：x1=﹣8，x2=3，
（4）由图象可知，当x＜﹣8或0＜x＜3时，kx+b＞，
∴不等式kx+b﹣＞0的解集为：x＜﹣8或0＜x＜3．