北师大版数学九年级上册同步课时训练
第四章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件
第1课时 相似三角形的定义及其判定定理1
自主预习 基础达标
要点1 相似三角形的定义
三角分别 、三边 的两个三角形叫做相似三角形.
要点2 相似三角形的判定定理1
两角分别 的两个三角形相似. 数学表达式：在△ABC与△A′B′C′中，∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′.
课后集训 巩固提升
1. 下列说法中正确的是( )
A. 两个三角形不全等，那么它们也不相似
B. 两个三角形不相似，那么它们也不全等
C. 两个相似三角形一定不全等
D. 两个全等三角形一定不相似
2. 如图，在△ABC与△ADE相似，∠ADE＝∠B，则下列比例式正确的是( )
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
第2题 第3题
3. 如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有( )
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
4. 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，若∠DBC＝∠A，BC＝，AC＝3，则CD的长为( )
A. 1 B. C. 2 D.
第4题 第5题
5. 如图所示，△AOB和△COD相似，∠A＝∠C，下列各式正确的是( )
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
6. 如图，正方形ABCD的边BC在等腰直角三角形PQR的底边QR上，其余两个顶点A，D分别在PQ，PR上，则PA∶AQ的值是( )
A. 1∶ B. 1∶2 C. 1∶3 D. 2∶3
第6题 第7题
7. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C′处，并且C′D∥BC，则CD的长是( )
A. B. C. D.
8. 如图，在△ABC中，各边互不相等，点P是AC的中点，过点P作一条直线，使截得的三角形与原三角形相似.这样的直线至多可作( )
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
第8题 第9题
9. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，则△ABC∽ .
10. 如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE的长为 .
11. 如图，已知?ABCD中，E为AD延长线上的一点，AD＝AE，BE交DC于F，指出图中各对相似三角形及其相似比.
12. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E，F分别是AB，BC的中点.EF与BD相交于点M.
(1)求证：△EDM∽△FBM；
(2)若DB＝9，求BM.
13. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且∠APB＝∠APC＝135°.
(1)求证：△CPA∽△APB；
(2)求的值.
14. 在矩形ABCD中，E为CD的中点，H为BE上的一点，＝3，连接CH并延长交AB于点G，连接GE并延长交AD的延长线于点F.
(1)求证：＝；
(2)若∠CGF＝90°时，求的值.
15. 如图，在平面直角坐标系内，已知点A(0，6)，点B(8，0)，AB＝10.动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t秒.
(1)求直线AB的函数表达式；
(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并求出此时点P与点Q的坐标.
参考答案
自主预习 基础达标
要点1 相等 成比例
要点2 相等
课后集训 巩固提升
1. B 2. D 3. D 4. C 5. D 6. B 7. A 8. D
9. △BCD
10. 7
11. 解：△DEF∽△CBF，其相似比为；△DEF∽△AEB，其相似比为；△CBF∽△AEB，其相似比为.
12. (1)证明：∵E为AB中点，∴EB＝AB，∵CD＝AB，∴EB＝CD.又AB∥CD，∴四边形EBCD为平行四边形，∴FB∥DE.∴△EDM∽△FBM.
(2)解：由(1)知＝，由题意知，＝＝，DB＝9，故＝，MB＋DM＝9，得BM＝3.
13. (1)证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°.又∵∠APB＝∠APC＝135°，∴∠CAP＋∠ACP＝45°，∴∠ACP＝∠BAP，∴△CPA∽△APB.
(2)解：由△CPA∽△APB，得＝＝.∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AB＝AC，∴＝＝，∴PC＝PA，PB＝PA，∴＝＝.
14. (1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠HBG＝∠HEC，∠HGB＝∠HCE，∴△BHG∽EHC，∴＝＝3.
(2)解：∵∠A＝∠CBG＝90°，又∵∠CGF＝90°，∴∠AGF＋∠BGC＝90°.又∵∠AGF＋∠AFG＝90°，∴∠BGC＝∠AFG，∴△AFG∽△BGC，∴＝.由(1)知，＝＝3，∴BG＝EC＝CD＝AB，∴AG＝AB.又∵△FDE∽△FAG，∴＝＝，∴FA＝AD＝BC，由＝得，＝，∴＝18，∴＝3.
15. 解：(1)直线AB的函数表达式为y＝－x＋6.
(2)由题意，知AP＝t，AQ＝10－2t.可分两种情况讨论：①当∠APQ＝∠AOB时，有△APQ∽△AOB，此时t＝，P(0，)，Q(，).②当∠AQP＝∠AOB时，有△APQ∽△ABO，此时t＝，P(0，)，Q(，).
