北京市第四中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题（Word版）

北京四中2018－2019学年下学期高二年级期中测试数学试卷

试卷分为两卷，卷（I）100分，卷（II）50分，满分共计150分
考试时间：120分钟
卷（I）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分
1. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 下列求导正确的是
A. B.
C. D.
3. 曲线在点P（1，1）处的切线方程是
A. B.
C. D.
4. 函数=3+xlnx的单调递增区间为
A. （0，） B. （0，e）
C. （，+） D. （e，+）
5. 函数在区间（－l，+）上是减函数，则实数b的取值范围是
A. （－，－l] B. [－1，+）
C. （－，－1） D. （－1，+）
6. 当（i为虚数单位）时，的值为
A. 1 B. －1
C. i D. －i
7. 函数在区间[－1，1]上的最大值是
A. 4 B. 2[]
C. 0 D. －2
8. 函数，若其导数的图象如图所示，则函数的极小值是

A. a+b+c
B. 8a+4b+c
C. 3a+2b
D. c
9. 已知复数z满足|z|=1，则|z－i|（i为虚数单位）的最大值是
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
10. 函数=，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是
A. （－，1） B. （－，1]
C. （0，1） D. [0，+）

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分
11. 曲线在x=l处的切线的斜率是_________。
12. 函数的极大值点是_______，极大值是________。
13. 函数在区间（1，+）上是增函数，则实数a的取值范围是_______。
14. 设复数（i为虚数单位），若z为纯虚数，则实数a=_______。
15. 设函数，若的值域为R，则实数a的取值范围是_______。
16. 若函数，且<0，则实数a的取值范围是_______。

三、解答题：本大题共3小题，共36分
17. （本小题满分10分）
已知：复数与在复平面上所对应的点关于y轴对称，且（i为虚数单位），||=。
（I）求的值；
（II）若的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值。
18. （本小题满分12分）
已知：如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图。AB为直径，且AB=2km，O为圆心，C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CD∥AB。现在准备从A经过C到D建造一条观光路线，其中A到C是圆弧，C到D是线段CD。设∠AOC=x（弧度），观光路线总长为y（km）。

（I）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（II）求观光路线总长的最大值。
19. （本小题满分14分）
已知：函数。
（I）若曲线在点（，0）处的切线为x轴，求a的值；
（II）求函数在[0，l]上的最大值和最小值。

卷（II）
一、选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分
1. 设函数，曲线在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线在点（1，f（1））处切线的斜率为
A. 4 B. －
C. 2 D. －
2. 函数的零点的个数是
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
3. 设函数，则
A. 的极大值点在（－1，0）内 B. 的极大值点在（0，1）内
C. 的极小值点在（－1，0）内 D. 的极小值点在（0，1）内

二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分
4. 若复数（i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a=________。
5. 已知函数（m∈R）在区间[－2，2]上有最大值3，那么在区间[－2，2]上，当x=_______时，取得最小值。
6. 已知函数满足：
（1）既有极大值，也有极小值；
（2）∈[0，1]，都有>0。
请你给出一个满足上述两个条件的函数的例子________。

三、解答题：本大题共2小题，共26分
7. （本小题满分12分）
已知函数=
（I）求函数的单调区间；
（II）设函数=（x+1）lnx－x+1，证明：当x>0且x≠1时，x－1与同号。
8. （本小题满分14分）
如果函数在定义域内存在区间[a，b]，使在[a，b]上的值域是[2a，2b]，那么称为“倍增函数”。
（I）判断=是否为“倍增函数”，并说明理由；
（II）证明：函数=是“倍增函数”；
（III）若函数=ln（）是“倍增函数”，写出实数m的取值范围。（只需写出结论）


参考答案
卷（I）
DABC ADBD CA
11. 2e； 12. 2，16： 13. a≥－3； 14. －8；
15. （－，－1][2，+）； 16. （－，－1）；
17. 解：（I）设（x，y∈R），则z2=－x+yi，
∵z1（1－i）=z2（1+i），|z1|=，∴，
∴或，即或 ……………………6分
（II）∵z1的虚部大于零，∴，∴，
则有，∴，∴。………10分
18. 解：（I）由题意知，=，…………………………………2分
CD=2cosx， …………………………………4分
因为C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CD∥AB，
所以0所以y=x+2cosx，x∈（0，） ………………………………6分
（II）记=x+2cosx，则=l－2sinx，………………………………7分
令=0，得x=，………………………………………………8分
当x变化时，与的变化情况如下表：
x （0，） （，）
+ 0 －
↗ 极大值 ↘
…………………………………10分
所以函数在x=处取得极大值，这个极大值就是最大值， …………11分
即（）=+，
答：观光路线总长的最大值为+千米。 ……………………………12分
19. 解：（I）由于x轴为的切线，则，……①……1分
又=0，即3=0， ……②……3分
②代入①，解得=，所以a=。……5分
（II）=，
①当a≤0时，≥0，在[0，1]单调递增，
所以x=0时，取得最小值。
x=1时，取得最大值。 ……7分
②当a≥3时，<0，在[0，1]单调递减，
所以，x=1时，取得最小值。
x=0时，取得最大值。 ……9分
③当0当x变化时，与的变化情况如下表：
x （0，） （，1）
－ 0 +
↘ 极小值 ↗

由上表可知，当时，取得最小值；………12分
由于，，
当0当1≤a<3时，在x=0处取得最大值。 ……14分
卷（Ⅱ）
A B A 4. －1； 5. －2； 6. ，
7. 解：（I）函数的定义域是（0，+），
又=，令=0，得x=1，
当x变化时，与的变化情况如下表：
x （0，1） 1 （1，+）
－ 0 +
↘ ↗

所以，的增区间是（1，+），减区间是（0，1） …………………6分
（II）函数的定义域是（0，+），又=lnx+=lnx+=，
由（I）可知，==1，所以，当x>0时，>0，
所以，在区间（0，+）上单调递增。
因为，
所以当x>1时，>且x－1>0；
当0所以，当x>0且x≠1时，x－1与同号。 …………………………………12分
8. 解：（I）=是“倍增函数”，理由如下：
=的定义域是R，且在[0，+）上单调递增；
所以，当[0，2]时，∈[0，4]，
所以，=是“倍增函数”。 …………………………………4分
（II）=的定义域是R。
当x>0时，=>0，所以在区间（0，+）上单调递增。
设=－2x=，=。
设h（x）==，=>0，
所以，h（x）在区间（－，+）上单调递增。
又h（0）=－2<0，h（1）=e－1>0，
所以，存在唯一的∈（0，1），使得h（）==0，
所以，当x变化时，与的变化情况如下表：
x （－，） （，+）
－ 0 +
↘ ↗
因为g（1）=e－3<0，g（2）=>0，
所以，存在唯一的∈（1，2），使得=0，
又=0，所以函数只有两个零点，即0与。
所以=0，=2。
结合在区间（0，+）上单调递增可知，当x∈[0，]时的值域是[0，2]。
所以，令[a，b]=[0，]，=是“倍增函数”。………………11分
（III）







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