北师大版数学九年级上册同步课时训练
第四章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件
第4课时 黄金分割
自主预习 基础达标
要点 黄金分割
一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(如图)，如果 ，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的 点， 叫做黄金比.其中AC∶BC＝ ≈0.618.
课后集训 巩固提升
1. 已知点C是线段AB上的一个点，且满足AC2＝BC·AB，则下列式子成立的是( )
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
2. 已知点P是线段MN的黄金分割点，MP>NP，且MP＝(－1)cm，则MN等于( )
A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 无法计算
3. 如图所示，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，AC＝mBC，则m的值是( )
A. B. C. D. －2
4. 点M在线段AB上，且是线段AB的黄金分割点，如果MB为较长的线段，MB＝2，那么AM等于( )
A. B. 1＋ C. －1 D. 2
5. 已知线段AB，点C是它的黄金分割点(AC>BC).设以AC为边的正方形的面积为S1，分别以AB，CB的长和宽的矩形的面积为S2，则( )
A. S1>S2 B. S1＝S2 C. S16. 如图，已知AB＝2，C是AB的黄金分割点，点D在AB上，且AD2＝BD·AB，则＝ .
7. 如图是一种贝壳的示意图，点C分线段AB近似于黄金分割.已知AB＝10cm，则AC的长约为
cm.(结果精确到0.1cm)
8. 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体.若舞台AB长为20m，主持人应走到离点A至少 m处.如果他向点B再走 m，也处在较得体的位置.(结果精确到0.1m)
9. 如图扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，为了使扇子的外形美观，通常情况下α与β的比按黄金比例设计，则α≈ .(结果精确到1°)
第9题 第10题
10. 为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2m的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案.小琦同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中.如图是小琦同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，则雷锋人体雕像下部的设计高度为 m.(结果精确到0.01m，参考数据≈1.414，≈1.732，≈2.236)
11. 已知线段AB＝6，点C为线段AB的黄金分割点，求下列各式的值：
(1)AC－BC；
(2)AC·BC.
12. 人体下半身(脚底到肚脐的长度)与身高的比例越接近0.618，越给人美感.遗憾的是，即使是身材修长的芭蕾舞演员也达不到如此的完美.某女士，身高1.68m，下半身1.02m，她应该选择多高的高跟鞋看起来更美呢？
13. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝－1，∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于点D，试说明点D是线段AC的黄金分割点.
14. 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，心理学家测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感，现将同学们在教学活动中折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤(如图所示)：
第一步：作一个任意正方形ABCD；
第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；
第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；
第四步：过E作EF⊥AD交AD的延长线于F.
请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形.
15. 如图，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上.
(1)求AM，DM的长.
(2)点M是AD的黄金分割点吗？为什么？
参考答案
自主预习 基础达标
要点 ＝ 黄金分割 AC与AB的比
课后集训 巩固提升
1. B 2. A 3. A 4. C 5. B
6.
7. 6.2
8. 7.6 4.8
9. 138°(或137°)
10. 1.24
11. 解：若AC＞BC，则AC＝AB＝×6＝3－3.∴BC＝6－(3－3)＝9－3.此时，(1)AC－BC＝3－3－(9－3)＝6－12.(2)AC·BC＝(3－3)×(9－3)＝27－27－45＋9＝36－72.若AC＜BC，则BC＝AB＝×6＝3－3，∴AC＝6－(3－3)＝6－3＋3＝9－3.此时，(1)AC－BC＝9－3－(3－3)＝12－6.
(2)AC·BC＝(9－3)(3－3)＝36－72.
12. 解：设应该选择高跟鞋的高度为xcm，则有＝0.618，x＋1.02＝0.618x＋0.618×1.68，x≈0.048，∴应选择4.8cm高的高跟鞋更美.
13. 证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°.∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2＝36°.∴∠1＝∠A.∴AD＝BD.∴∠BDC＝∠1＋∠A＝72°.∴∠BDC＝∠C.从而有BC＝BD＝AD＝－1.∴＝，即点D为线段AC的黄金分割点.
14. 证明：设AB＝2，则CN＝1，DN＝EN＝，∴EC＝－1，∵DC＝AB＝2，∴矩形宽与长之比为＝，∴矩形DCEF为黄金矩形.
15. 解：(1)∵正方形ABCD的边长是2，点P是AB的中点，∴AB＝AD＝2，AP＝1，∠BAD＝90°.∴PD＝＝.∵PF＝PD，∴AF＝－1.在正方形AMEF中，AM＝AF＝－1，DM＝AD－AM＝3－.
(2)点M是线段AD的黄金分割点.理由如下：由(1)得AD·DM＝2(3－)＝6－2，AM2＝(－1)2＝6－2，∴AM2＝AD·DM.∴点M是AD的黄金分割点.
