《平行线的判定》培优练习
1. 如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠E．求证：AD∥BC．
2. 如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD∥CE．
3. 如图：已知BC平分∠ACD，且∠1=∠2，求证：AB∥CD．
4. 如图，已知∠AED=60°，∠2=30°，EF平分∠AED，可以判断EF∥BD吗？为什么？
5. 已知：如图，∠A=∠F，∠C=∠D．求证：BD∥CE．
答案和解析
【解析】
1. 解：
答案：证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∵AB∥CD，∠CFE=∠E，
∴∠1=∠CFE=∠E，
∴∠2=∠E，
∴AD∥BC．
解析：分析：首先利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于AD∥BC的条件，内错角∠2和∠E相等，得出结论．
2. 解：
答案：解答：
∵∠A=∠F（已知），
∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行），
∴∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等），
∵∠C=∠D（已知），
∴∠D=∠CEF（等量代换），
∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）．
解析：分析：由∠A=∠F，根据内错角相等，得两条直线平行，即AC∥DF；根据平行线的性质，得∠C=∠CEF，借助等量代换可以证明∠D=∠CEF，从而根据同位角相等，证明BD∥CE．
3.解：
答案：证明：∵BC平分∠ACD，
∴∠1=∠BCD，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠BCD，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
解析：分析：根据BC平分∠ACD，∠1=∠2，求证∠2=∠BCD，然后利用同位角相等两直线平行即可证明AB∥CD．
4. 解：
答案：解答：
EF∥BD；理由如下：
∵∠AED=60°，EF平分∠AED，
∴∠FED=30°，
又∵∠FEB=∠2=30°，
∴EF∥BD（内错角相等，两直线平行）．
解析：分析：本题可通过证直线EF与BD的内错角∠1和∠2相等，来得出EF∥BD的结论．
5. 解：
答案：证明：∵∠A=∠F，
∴AC∥DF，
∴∠C=∠FEC，
∵∠C=∠D，
∴∠D=∠FEC，
∴BD∥CE．
解析：分析：由∠A=∠F，根据内错角相等，两直线平行，即可求得AC∥DF，即可得∠C=∠FEC，又由∠C=∠D，则可根据同位角相等，两直线平行，证得BD∥CE．
《平行线的判定》基础练习
1. 下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2. 如图，下列说法错误的是（ ）
A．若a∥b，b∥c，则a∥c
B．若∠1=∠2，则a∥c
C．若∠3=∠2，则b∥c
D．若∠3＋∠5=180°，则a∥c
3. 如图，直线a、b被直线c所截，下列条件不能保证a、b平行的是（ ）
A．∠1=∠2
B．∠2=∠3
C．∠3=∠4
D．∠1＋∠4=180°
4. 如图，能判定EC∥AB的条件是（ ）
A．∠B=∠ACE
B．∠A=∠ECD
C．∠B=∠ACB
D．∠A=∠ACE
5. 如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1=120°，∠2=40°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（ ）
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
6. 如图，直线a与直线b被直线c所截，b⊥c，垂足为点A，∠1=70°．若使直线b与直线a平行，则可将直线b绕着点A顺时针旋转（ ）
A．70°
B．50°
C．30°
D．20°
7. 如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3=∠4
B．∠1=∠2
C．∠D=∠DCE
D．∠D＋∠ACD=180°
8. 下列命题：①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等．其中错误的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9. 如图，下列不能判定AB∥CD的条件是（ ）
A．∠B＋∠BCD=180°
B．∠1=∠2
C．∠3=∠4
D．∠B=∠5
10. 如图，有以下四个条件：①∠B＋∠BCD=180°，②∠1=∠2，③∠3=∠4，④∠B=5，其中能判定AB∥CD的条件的个数有（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
11．如图，直线a，b与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠5＝∠6；③∠4＋∠7＝180°；④∠5＋∠3＝180°.其中能判定a∥b的是( )
A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④
12．如图，∠1＝∠2，则下列结论正确的是( )
A．AD∥BC B．AB∥CD C．AD∥EF D．EF∥BC
13．如图所示，以下条件能判定GE∥CH的是( )
A．∠FEB＝∠ECD B．∠AEG＝∠DCH C．∠GEC＝∠HCF D．∠HCE＝∠AEG
14. 如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是( )
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2＋∠4＝180°
15．两条直线被第三条直线所截，有一对同位角相等，则这一对同位角的角平分线( )
A．互相垂直 B．互相平行 C．相交但不垂直 D．不能确定
答案和解析
【解析】
1. 解：
答案：B
解析：解答：如图所示：
∵∠1=∠2（已知），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
故选B．
分析：利用平行线的判定方法判断即可．
2. 解：
答案：C
解析：解答：A.若a∥b，b∥c，则a∥c，利用了平行公理，正确；
B.若∠1=∠2，则a∥c，利用了内错角相等，两直线平行，正确；
C.∠3=∠2，不能判断b∥c，错误；
D.若∠3＋∠5=180°，则a∥c，利用同旁内角互补，两直线平行，正确；
故选C．
分析：根据平行线的判定方法进行判断即可．
3. 解：
答案：C
解析：解答：A.由∠1=∠2，得到a∥b，所以A选项错误；
B.由∠2=∠3，得到a∥b，所以B选项错误；
C.由∠3=∠4，无法判断a与b的关系所以C选项错误；
D.由∠1=∠3，∠3＋∠4=180°，得到a∥b，所以D选项正确．
故选C．
分析：分别根据同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行进行判断即可．
4. 解：
答案：D
解析：解答：A.两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误；
B.两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误；
C.不是EC和AB形成的同位角、也不是内错角，故选项错误；
D.由上可知，D正确．
故选D．
分析：根据平行线的判定定理即可直接判断．
5. 解：
答案：B
解析：解答：
∵∠1=120°，
∴∠3=180°-120°=60°．
∵∠2=40°，
∴要使b∥c，则∠2=∠3，
∴直线b绕点A逆时针旋转60°-40°=20°．
故选B．
分析：先根据∠1=120°求出∠3的度数，再由平行线的判定定理即可得出结论．
6. 解：
答案：D
解析：解答：
∵b⊥c，
∴∠2=90°．
∵∠1=70°，a∥b，
∴直线b绕着点A顺时针旋转的度数=90°-70°=20°．
故选D．
分析：先根据b⊥c得出∠2的度数，再由平行线的判定定理即可得出结论．
7. 解：
答案：B
解析：解答：A.根据内错角相等，两直线平行可得BD∥AC，故此选项错误；
B.根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，故此选项正确；
C.根据内错角相等，两直线平行可得BD∥AC，故此选项错误；
D.根据同旁内角互补，两直线平行可得BD∥AC，故此选项错误；
故选：B．
分析：根据平行线的判定分别进行分析可得答案．
8. 解：
答案：B
解析：解答：①是正确的，对顶角相等；
②正确，在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；
③错误，角平分线分成的两个角相等但不是对顶角；
④错误，同位角只有在两直线平行的情况下才相等．
故①②正确，③④错误，所以错误的有两个，
故选B．
分析：根据对顶角的性质和平行线的判定定理，逐一判断．
9. 解：
答案：B
解析：解答：A.∵∠B＋∠BCD=180°，∴AB∥CD，故本选项错误；
B.∵∠1=∠2，∴AD∥BC，故本选项正确；
C.∵∠3=∠4，∴AB∥CD，故本选项错误；
D.∵∠B=∠5，∴AB∥CD，故本选项错误．
故选B．
分析：根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
10. 解：
答案：C
解析：解答：①∵∠B＋∠BDC=180°，
∴AB∥CD；
②∵∠1=∠2，
∴AD∥BC；
③∵∠3=∠4，
∴AB∥CD；
④∵∠B=∠5，
∴AB∥CD；
∴能得到AB∥CD的条件是①③④．
故选C．
分析：根据平行线的判定定理求解，即可求得答案．
11. 解：
B
12. 解：
C
13. 解：
C
14. 解：
B
15. 解：
B
《平行线的判定》提高练习
1. 如图，直线a，b都与直线c相交，给出的下列条件：
①∠1=∠7；②∠3=∠5；③∠1＋∠8=180°；④∠3=∠6．
其中能判断a∥b的是（ ）
A．①③
B．②③
C．③④
D．①②③
2. 如图，下列判断正确的是（ ）
A．若∠1＋∠2=180°，则
B．若∠2=∠3，则
C．若∠1＋∠2＋∠3=180°，则
D．若∠2＋∠4=180°，则
3. 如图，点E在DA的延长线上，下列条件中能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠B=∠BAE
B．∠BCA=∠CAD
C．∠BCA＋∠CAE=180°
D．∠D=∠BAE
4. 如图，不能判定AB∥DF的是（ ）
A．∠1=∠2
B．∠A=∠4
C．∠1=∠A
D．∠A＋∠3=180°
5. 如图，已知：∠1=∠2，那么下列结论正确的是（ ）
A．∠C=∠ADC
B．AD∥BC
C．AB∥CD
D．∠3=∠4
6. 如图：PC∥AB，QC∥AB，则点P、C、Q在一条直线上．理由是：______．
7. 如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1=120°，∠2=45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转______．
8. 如图，不添加辅助线，请写出一个能判定AB∥CD的条件______．
9. a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a______c．
10．(1)如图，若∠CBE＝∠A，则____∥____，理由是____________________________________．
(2)若∠CBE＝∠C，则____∥____，理由是________________________．
(3)若∠CDB＋∠DBE＝180°，则____∥____，理由是__________________________________．
答案和解析
【解析】
1. 解：
答案：D
解析：解答：∵∠1=∠7，∠7=∠5，
∴∠1=∠5，
∴a∥b，∴①正确；
∵∠3=∠5，
∴a∥b，∴②正确；
∵∠1=∠3，∠1＋∠8=180°，
∠3＋∠8=180°，
∴a∥b，∴③正确；
∵∠3=∠6，不能推出a∥b，
故选D．
分析：根据对顶角相等，邻补角互补，平行线的判定判断即可．
2. 解：
答案：D
解析：解答：A.∠1＋∠2=180°与无关，故本选项错误；
B.∠2=∠3与无关，故本选项错误
C.∠1＋∠2＋∠3=180°与无关，故本选项错误；
D.∵∠2与∠4是同旁内角，∠2＋∠4=180°，∴，故本选项正确．
故选D．
分析：根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
3. 解： 答案：D
解析：解答：A.∵∠B=∠BAE，∴AD∥BC，故本选项错误；
B.∵∠BCA=∠CAD，∴AD∥BC，故本选项错误；
C.∵∠BCA＋∠CAE=180°，∴AD∥BC，故本选项错误；
D.∵∠D=∠BAE，∴AB∥CD．
故选D．
分析：根据平行线的判定定理对各选项进行逐一分析即可．
4. 解： 答案：C
解析：解答：A.∵∠1=∠2，∴AB∥DF，故本选项错误；
B.∵∠A=∠4，∴AB∥DF，故本选项错误；
C.∵∠1=∠2，∴AC∥DE，不能判定AB∥DF，故本选项正确；
D.∵∠A＋∠3=180°，∴AB∥DF，故本选项错误．
故选C．
分析：根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
5. 解：
答案：C
解析：解答：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD．（内错角相等，两直线平行）
故选C．
分析：∠1和∠2是直线AB、CD被直线DB所截的内错角，若∠1=∠2，则AB∥CD．
6. 解：
答案：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行
解析：解答：∵PC∥AB，QC∥AB，
∵PC和CQ都过点C，
∴P、C、Q在一条直线上（过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行），
故答案为：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．
分析：根据平行线公理的推理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，即可得出答案．
7. 解：
答案：15°
解析：解答：
∵∠1=120°，
∴∠3=60°，
∵∠2=45°，
∴当∠3=∠2=45°时，b∥c，
∴直线b绕点A逆时针旋转60°-45°=15°．
故答案为：15°．
分析：先根据邻补角的定义得到∠3=60°，根据平行线的判定当b与a的夹角为45°时，b∥c，由此得到直线b绕点A逆时针旋转60°-45°=15°．
8. 解： 答案：∠1=∠4或∠B=∠5或∠B＋∠BCD=180°
解析：解答：由“内错角相等，两直线平行”可以添加条件∠1=∠4．
由“同位角相等，两直线平行”可以添加条件∠B=∠5．
由“同旁内角互补，两直线平行”可以添加条件∠B＋∠BCD=180°．
综上所述，满足条件的有：∠1=∠4或∠B=∠5或∠B＋∠BCD=180°
故答案是：∠1=∠4或∠B=∠5或∠B＋∠BCD=180°．
分析：根据平行线的判定定理进行解答．
9. 解：
答案：∥
解析：解答：a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，
则a∥c，
故答案为：∥．
分析：根据平行线判定的推论，可得答案．
10. 解：
(1) AD BC 同位角相等，两直线平行
(2) CD AE 内错角相等，两直线平行
(3) CD AE 同旁内角互补，两直线平行
