人教A版高中数学必修一1.3.2函数的奇偶性教案

1.3.2函数的奇偶性
一、教学目标：
知识与技能：
（1）理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、
归纳问题的能力．
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数
学思想．
过程与方法：
从已有知识出发，通过学生的观察、归纳、抽象和推理论证培养学生的数学能力，进一步领会数形结合和分类的思想方法。
3.情感态度价值观：
通过知识的探究过程，突出学生的主观能动性，培养学生认真分析、科学论证的数学思维习惯.
二．重点难点?
重点：函数的奇偶性及其几何意义．
难点：判断函数的奇偶性的方法与格式．
三、教材分析及教学方法
本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的．教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇(偶)函数的概念．因此教学时，充分利用信息技术创设教学情境，会使数与形的结合更加自然．
值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念．教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数y＝与y＝2x－1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明．
四、教学过程
（1）情景导入
同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？(学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……)今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？(学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志)生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立平面直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？(学生发现：图象关于y轴对称)数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y轴对称的函数展开研究．
（2）探究新知
(1)如图1所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．
图1
(2)如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？
表1
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
f(x)＝x2
表2
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
f(x)＝|x|
(3)请给出偶函数的定义． (4)偶函数的图象有什么特征？
(5)函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函数吗？ (6)偶函数的定义域有什么特征？
(7)观察函数f(x)＝x和f(x)＝的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？
讨论结果：(1)这两个函数之间的图象都关于y轴对称．
(2)
表1
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
f(x)＝x2
9
4
1
0
1
4
9
表2
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
f(x)＝|x|
3
2
1
0
1
2
3
这两个函数的解析式都满足：
f(－3)＝f(3)；f(－2)＝f(2)；f(－1)＝f(1)．
可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任一个x，都有f(－x)＝f(x)．
(3)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
(4)偶函数的图象关于y轴对称． (5)不是偶函数．
(6)偶函数的定义域关于原点对称．
(7)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点对称．
三、学以致用
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x4；(2)f(x)＝x5；
(3)f(x)＝x＋； (4)f(x)＝.
解：(1)函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，
所以函数f(x)＝x4是偶函数．
(2)函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x)，
所以函数f(x)＝x5是奇函数．
(3)函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－x＋＝
－＝－f(x)，所以函数f(x)＝x＋是奇函数．
(4)函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝＝＝f(x)，
所以函数f(x)＝是偶函数．
总结归纳：本题主要考查函数的奇偶性．函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x，其相反数－x也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称．
利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；
③作出相应结论：若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数；
若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．
跟踪训练1设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是(　　)
A．f(x)f(－x)是奇函数 B．f(x)|f(－x)|是奇函数
C．f(x)－f(－x)是偶函数 D．f(x)＋f(－x)是偶函数
答案：D
例2 已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数．当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，则当
x∈(0，＋∞)时，f(x)＝__________.
解析：当x∈(0，＋∞)时，则－x＜0.又∵当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，
∴f(x)＝f(－x)＝(－x)－(－x)4＝－x－x4.
答案：－x－x4
总结归纳：本题主要考查函数的解析式和奇偶性．已知函数的奇偶性，求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性，将所求解析式的区间上自变量对应的函数值转化为已知解析式的区间上自变量对应的函数值．
跟踪训练2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2＋，求f(x)．
解：当x＝0时，f(－0)＝－f(0)，则f(0)＝0；
当x＜0时，－x＞0，由于函数f(x)是奇函数，则f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋]
＝－x2＋，综上所得，f(x)＝
五、当堂检测
1．设函数y＝f(x)是奇函数．若f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，则f(1)＋f(2)＝__________.
解析：∵函数y＝f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(2)，f(－1)＝－f(1)．
∴－f(2)－f(1)－3＝f(1)＋f(2)＋3.∴2[f(1)＋f(2)]＝－6.∴f(1)＋f(2)＝－3.
答案：－3
2．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝__________，b＝__________.
解析：∵偶函数的定义域关于原点对称，∴a－1＋2a＝0.∴a＝.
∴f(x)＝x2＋bx＋1＋b.又∵f(x)是偶函数，∴b＝0.
答案：　0
3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为(　　)
A．－1　　 　B．0　　　 C．1　　 　D．2
解析：f(6)＝f(4＋2)＝－f(4)＝－f(2＋2)＝f(2)＝f(2＋0)＝－f(0)．
又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.∴f(6)＝0.故选B.
答案：B
4. 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝2x4，x∈[－1,2]； (2)f(x)＝；
(3)f(x)＝＋； (4)f(x)＝.
解：(1)∵它的定义域关于原点不对称，∴函数f(x)＝2x4，x∈[－1,2]既不是奇函数也不是偶函数．
(2)∵它的定义域为{x|x∈R，且x≠1}，并不关于原点对称，∴函数f(x)＝既不是奇函数也
不是偶函数．
(3)∵x2－4≥0且4－x2≥0，∴x＝±2，即f(x)的定义域是{－2,2}．∵f(2)＝0，f(－2)＝0，
∴f(2)＝f(－2)，f(2)＝－f(2)．∴f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)．∴f(x)既是奇函数也是偶函数．
(4)函数的定义域是R.∵f(－x)＋f(x)＝＋
＝＝＝0，
∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．
5.已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
且当x＞1时f(x)＞0，f(2)＝1，
(1)求证：f(x)是偶函数；
(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(3)试比较f与f的大小．
(1)证明：令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.
令x1＝x2＝－1，得f(1)＝f[(－1)× (－1)]＝f(－1)＋f(－1)，∴2f(－1)＝0.
∴f(－1)＝0.∴f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)．∴f(x)是偶函数．
(2)证明：设x2＞x1＞0，则f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)＝f(x1)＋f－f(x1)＝f.
∵x2＞x1＞0，∴＞1.∴f＞0，即f(x2)－f(x1)＞0.
∴f(x2)＞f(x1)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)解：由(1)知f(x)是偶函数，则有f＝f.
由(2)知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则f＞f.∴f＞f.
六、课堂小结
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．
七、课后作业
课时练与测
八、教学反思