人教A版高中数学选修1-13.3.1函数的单调性与导数教案

函数的单调性与导数
一、教学目标：
1、知识目标：能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间，能由导数信息绘制函数大致图象。
2、能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。
3、情感目标：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。
二、教学重点.难点
重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区间。
难点：利用导数信息绘制函数的大致图象。
三、学情分析
有利因素：
1、已经学习了函数的单调性，会用图像法、定义法求函数的单调性；
2、在物理学瞬时速度的辅助下掌握了导数概念及几何意义，会求简单函数的导函数；
3、学生好奇心强，探究导数与函数单调性关系对他们而言是一个挑战，更能激发他们学习兴趣。
不利因素：学生发现能力欠缺，对于这两个知识板块的整合，学生存在很大兴趣，但却容易无从下手，所以本节课教师要注意引导学生数形结合去发现规律，总结结论。
四、教学方法
发现式、启发式
五、教学过程
新课引入
1．判断函数的单调性有哪些方法？（引导学生回答“定义法”，“图象法”。）
2．比如，要判断 y=x2 +1的单调性，如何进行？（引导学生回顾分别用定义法、图象法完成。）
3．还有没有其它方法？如果遇到函数：y=x3－x判断单调性呢？（让学生短时间内尝试完成，结果发现：用“定义法”，作差后判断差的符号麻烦；用“图象法”,图象很难画出来。）
4．有没有捷径？（学生疑惑,由此引出课题）这就要用到我们今天要学的导数法。
六、自主学习
问：函数的单调性和导数有何关系呢？
教师仍以y=x2为例，借助几何画板动态演示，让学生记录结果在课前发的表格第二行中：
函数及图象
单调性

线斜率k的正负
导数的正负



问：有何发现？（学生回答）
问：这个结果是否具有一般性呢？
我们来考察两个一般性的例子：
（教师指导学生动手实验：把准备好的牙签放在表中曲线y=f(x)的图象上，作为曲线的切线，移动切线并记录结果在上表第三、四行中。）
问：能否得出什么规律？
让学生归纳总结，教师简单板书：在某个区间(a，b)内，
若f ' (x)>0，则f(x)在(a，b)上是增函数；
若f ' (x)<0，则在f(x)(a，b)上是减函数。
教师说明：
要正确理解“某个区间”的含义，它必需是定义域内的某个区间。
七、典型例题：
例1．已知导函数的下列信息：
当时，；
当，或时，；
当，或时，
试画出函数图像的大致形状．

解：当时，，可知在此区间内单调递增；
当，或时，；可知在此区间内单调递减；
当，或时，，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．
综上，函数图像的大致形状如图3.3-4所示．
例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．
（1）； （2）
解：（1）因为，所以，
因此，在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示．
（2）因为，所以，
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减；
函数的图像如图3.3-5（2）所示．
五、当堂检测
1.函数的单调递增区间是_____________．
2. 已知函数，则函数在（－2，1）内是（ ）
A．单调递减 B．单调递增
C．可能递增也可能递减 D．以上都不成立
3 . 已知函数，则（ ）
A．在上递增 B．在上递减
C．在上递增 D．在上递减
4 . 函数的递减区间是_______________．
5 . 证明函数在区间（0，1）上单调递减，而在区间（1，2）上单调递增．
设计意图：目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律。
六、课堂小结
1.知识建构
2.能力提高
3.课堂体验
七、课时练与测
八、教学反思