人教A版高中数学选修1-13.3.2函数的极值与导数教案
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学选修1-13.3.2函数的极值与导数教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 101.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-28 08:28:07 | ||
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文档简介
函数的极值与导数
一、教学目标
1、知识技能目标：掌握函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学
生的数形结合意识，提升思维水平；掌握利用导数求可导函数的极值的一般方法及步骤；了解可导函数极值点与=0的逻辑关系；培养学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力.
2、过程与方法目标：培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。
3、情感与态度目标：培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神；
体会数学中的局部与整体的辨证关系.
二、教学重点.难点
教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤；
教学难点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤．
三、学情分析
在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值。在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫。
四、教学方法
师生互动探究式教学
五、教学过程
新课引入
观察图3.3-8，我们发现，时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？
放大附近函数的图像，如图3.3-9．可以看出；在，当时，函数单调递增，；当时，函数单调递减，；这就说明，在附近，函数值先增（，）后减（，）．这样，当在的附近从小到大经过时，先正后负，且连续变化，于是有．
对于一般的函数，是否也有这样的性质呢？
附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号
六、自主学习
探究问题：图1.3-8（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图1.3-8（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像．
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
（1）通过观察图像，我们可以发现：运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数．相应地，．
（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而减少，即是减函数．相应地，．
分析归纳，抽象概括
我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值;点b叫做函数y=f(x)的极小值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极小值.极大值点与极小值点统称极值点，极大值与极小值统称极值.
注意以下几点：
（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
知识应用，深化理解
例1．（课本例4）求的极值
解： 因为，所以。
下面分两种情况讨论：
（1）当>0,即，或时；
（2）当<0,即时.
当x变化时， ，的变化情况如下表：
-2
(-2,2)
2
+
0
－
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
因此，当时，有极大值，并且极大值为；
当时，有极小值，并且极小值为。
函数的图像如图所示。
总结：（1）. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:
若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值
(2). 求可导函数f(x)的极值的步骤:
①确定函数的定义区间，求导数f′(x)
②求方程f′(x)=0的根
③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值
如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点
七、当堂检测
1、函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的（ ）
A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 必要非充分条件
2、函数有（ ）
A 极大值，极小值 B 极大值，极小值
C 极大值，无极小值 D 极小值，无极大值
3、函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A 个 B 个 C 个 D 个
4、函数，已知在时取得极值，则a=( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5、若函数在处有极大值，则常数的值为________；
6、函数在处取得极值，则m=_______
7、已知函数，当时，有极大值；
求的值；（2）求函数的极小值
设计意图：目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律。
六、课堂小结
1.知识建构
2.能力提高
3.课堂体验
七、课时练与测
八、教学反思
一、教学目标
1、知识技能目标：掌握函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学
生的数形结合意识，提升思维水平；掌握利用导数求可导函数的极值的一般方法及步骤；了解可导函数极值点与=0的逻辑关系；培养学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力.
2、过程与方法目标：培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。
3、情感与态度目标：培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神；
体会数学中的局部与整体的辨证关系.
二、教学重点.难点
教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤；
教学难点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤．
三、学情分析
在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值。在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫。
四、教学方法
师生互动探究式教学
五、教学过程
新课引入
观察图3.3-8，我们发现，时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？
放大附近函数的图像，如图3.3-9．可以看出；在，当时，函数单调递增，；当时，函数单调递减，；这就说明，在附近，函数值先增（，）后减（，）．这样，当在的附近从小到大经过时，先正后负，且连续变化，于是有．
对于一般的函数，是否也有这样的性质呢？
附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号
六、自主学习
探究问题：图1.3-8（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图1.3-8（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像．
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
（1）通过观察图像，我们可以发现：运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数．相应地，．
（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而减少，即是减函数．相应地，．
分析归纳，抽象概括
我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值;点b叫做函数y=f(x)的极小值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极小值.极大值点与极小值点统称极值点，极大值与极小值统称极值.
注意以下几点：
（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
知识应用，深化理解
例1．（课本例4）求的极值
解： 因为，所以。
下面分两种情况讨论：
（1）当>0,即，或时；
（2）当<0,即时.
当x变化时， ，的变化情况如下表：
-2
(-2,2)
2
+
0
－
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
因此，当时，有极大值，并且极大值为；
当时，有极小值，并且极小值为。
函数的图像如图所示。
总结：（1）. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:
若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值
(2). 求可导函数f(x)的极值的步骤:
①确定函数的定义区间，求导数f′(x)
②求方程f′(x)=0的根
③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值
如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点
七、当堂检测
1、函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的（ ）
A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 必要非充分条件
2、函数有（ ）
A 极大值，极小值 B 极大值，极小值
C 极大值，无极小值 D 极小值，无极大值
3、函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A 个 B 个 C 个 D 个
4、函数，已知在时取得极值，则a=( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5、若函数在处有极大值，则常数的值为________；
6、函数在处取得极值，则m=_______
7、已知函数，当时，有极大值；
求的值；（2）求函数的极小值
设计意图：目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律。
六、课堂小结
1.知识建构
2.能力提高
3.课堂体验
七、课时练与测
八、教学反思