新课标人教A版必修二第三章直线与方程章末归纳提升（教案）

第三章　直线与方程 章末归纳提升
直线的倾斜角和斜率问题
倾斜角和斜率分别从“形”和“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度．倾斜角α与斜率k的对应关系和单调性是解题的易错点，应引起特别重视．
(1)对应关系
①α≠90°时，k＝tan α.②α＝90°时，斜率不存在．
(2)单调性
当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时,k由0(含0)逐渐增大到＋∞，然后由－∞逐渐增大到0.
经过A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)两点的直线的斜率公式k＝(x1≠x2)，应注意其适用的条件x1≠x2，当x1＝x2时，直线斜率不存在．
　已知直线l过点P(－1,2)，且与以A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交．求直线l的斜率的取值范围．
【思路点拨】　本题主要考查斜率公式及数形结合思想．根据题意知l介于PA和PB之间，由数形结合知kl≤kPB或kl≥kAP，故由斜率公式求出kPA，kPB即可解决问题．
【规范解答】　∵P(－1,2)，A(－2，－3)，B(3,0)，
∴kPA＝＝5，kPB＝＝－，
当l由PA变化到与y轴平行时，其倾斜角由α增至90°，斜率变化范围为[5，＋∞)，当l由与y轴平行变化到PB的位置时，其倾斜角由90°增至β，斜率变化范围为，
∴直线l的斜率的取值范围是∪[5，＋∞)．
已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，＋1)．
(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的变化范围．
【解】　(1)由斜率公式得直线AB的斜率kAB＝＝0，
直线BC的斜率kBC＝＝，直线AC的斜率kAC＝＝.
故可得AB的倾斜角为0°，BC的倾斜角为60°，AC的倾斜角为30°.
(2)如图所示，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kAC增大到kBC，故k的取值范围为.
直线的方程
直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都有各自的限制条件，不能表示所有的直线．直线方程的一般式则可以表示所有直线．在解题的时候，如果没有特别说明，最后的结果都要化成一般式．
　已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：
(1)AB边所在直线的方程；
(2)AC边与BC边所在直线的方程．
【思路点拨】　利用A、B两点求AB边的方程―→点斜式求AC、BC的方程．
【规范解答】　(1)∵A(1,1)，B(5,1)．∴AB∥x轴，∴AB方程为y＝1.
(2)∵∠A＝60°，∴kAC＝，∴AC方程为y－1＝(x－1)，即x－y＋1－＝0.
∵∠B＝45°，∴kBC＝－1，∴BC方程为y－1＝－(x－5)，即x＋y－6＝0.
过点A(4,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是 (　　)
A．x＋y＝5 B．x－y＝5
C．x＋y＝5或x－4y＝0 D．x－y＝5或x＋4y＝0
【解析】　当直线在两坐标轴上的截距a，b都不为零时，可设所求方程为＋＝1，将点A(4,1)代入得：＋＝1，又a＝b，解之得：a＝b＝5，所以所求方程为x＋y－5＝0.当a＝b＝0时直线过原点，又过点A(4,1)，此时所求方程为：y＝x，即x－4y＝0，所以C对．
【答案】　C
直线的平行与垂直问题
利用直线的方程判定两条直线的平行或垂直关系是这部分知识常涉及的题型．求解时，可以利用斜率之间的关系判定；若方程都是一般式，知道平行或垂直关系，求参数的值时也可用如下方法：
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)l1∥l2时，可令A1B2－A2B1＝0，解得参数的值后，再代入方程验证，排除重合的情况；
(2)l1⊥l2时，可利用A1A2＋B1B2＝0直接求参数的值．
　已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m的值，使得：
(1)l1⊥l2；(2)l1∥l2.
【思路点拨】　已知两直线的方程中都含有参数，求不同的位置关系时参数的取值，可以利用平行(或垂直)的条件列方程求解．
【规范解答】　法一　当m＝0或2时，两直线既不平行，也不垂直；
当m≠0且m≠2时，直线l1，l2的斜率分别为：－，.
(1)若l1⊥l2，则－·＝－1，解得m＝.
(2)若l1∥l2，则由－＝得m＝－1或m＝3.
又当m＝3时，l1与l2重合，故m＝3舍去．故l1∥l2时，m＝－1.
法二　(1)∵l1⊥l2，∴m－2＋3m＝0，∴m＝.
(2)∵l1∥l2，∴3－m(m－2)＝0且2m≠6(m－2)，故m＝－1.
已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，分别求满足下列条件直线l′的方程．
(1)过点(－1,3)，且与l平行；
(2)过点(－1,3)，且与l垂直．
【解】　法一　由题设l的方程可化为y＝－x＋3，∴l的斜率为－.
(1)由l′与l平行，∴l′的斜率为－.又∵l′过(－1,3)，
由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，∴l′的斜率为，又过(－1,3)，
由点斜式可得方程为y－3＝(x＋1)，即4x－3y＋13＝0.
法二　(1)由l′与l平行，可设l′方程为3x＋4y＋m＝0.
将点(－1,3)代入上式得m＝－9.∴所求直线方程为3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，可设其方程为4x－3y＋n＝0.
将(－1,3)代入上式得n＝13.∴所求直线方程为4x－3y＋13＝0.
对称问题
在解析几何中，对称问题主要分为两类：一是中心对称，二是轴对称．在本章中，对称主要有以下四种：点点对称、点线对称、线点对称、线线对称，其中后两种可以化归为前两种类型，所以“点关于直线对称”是最重要的类型．
转化思想是解决对称问题的主要思想方法，其他问题如角的平分线、光线反射等也可转化成对称问题．
　光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇到直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．
【思路点拨】　本题用光学原理得入射光线与反射光线关于直线l对称，用求对称点的方法求出入射线上一点P关于l的对称点，再由两点式写出方程．
【规范解答】　法一　由得即反射点M的坐标为(－1,2)．
又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5,0)，
设点P关于直线l的对称点为P′(x0，y0)，由PP′⊥l，可知kPP′＝－＝，
而PP′的中点Q的坐标为，又Q点在l上，∴3·－2·＋7＝0.
联立解得即P′点坐标为.
反射光线过M(－1,2)和P′.
根据直线的两点式方程可得反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.
法二　设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点P′(x，y)，
则＝－.又PP′的中点Q在l上，∴3×－2×＋7＝0，
由得
代入直线x－2y＋5＝0整理得29x－2y＋33＝0即为所求的直线方程．
求直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0的对称直线l2的方程．
【解】　解方程组得
所以直线l1与l相交，且交点为E(3，－2)，E也在直线l2上，
在直线l1：2x＋y－4＝0上取点A(2,0)，设点A关于直线l的对称点为B(x0，y0)，
于是有解得即B.
故由两点式得直线l2的方程为2x＋11y＋16＝0.
分类讨论思想
分类讨论思想其实质就是将整体问题化为部分问题来解决．在解题过程中，需选定一个标准，根据这个标准划分成几个能用不同形式解决的小问题，从而使问题得到解决．
在本章中涉及到分类讨论的问题主要是由直线的斜率是否存在及直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式的局限性引起的分类讨论问题．
　设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
【思路点拨】　分截距为零和不为零两类求解．
【规范解答】　①当2－a＝0，即a＝2时，直线经过原点，满足条件，此时直线的方程为：3x＋y＝0.
②当a＝－1时，直线在x轴上无截距，不符合题意，故当a≠－1且a≠2时，由题意得：
＝a－2，解得：a＝0.此时直线的方程为：x＋y＋2＝0.
综上，所求直线方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
过点P(－1,0)，Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上的截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．
【解】　(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，符合题意．
(2)当两条直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y－2＝kx.令y＝0，得x＝－1，x＝－.
由题意，得＝1，即k＝1.所以所求直线的方程为y＝x＋1，y＝x＋2，即为x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.
综上可知，所求的直线方程为x＝－1，x＝0或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.