新课标人教A版必修二第四章圆与方程（教案）

第四章　圆与方程
求圆的方程
求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：
第一步：选择圆的方程的某一形式；
第二步：由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)；
第三步：解出a，b，r(或D，E，F)；
第四步：代入圆的方程．
注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；两圆相切时，连心线过切点等．
　已知圆的半径为，圆心在直线y＝2x上，圆被直线x－y＝0截得的弦长为4，求圆的方程．
【思路点拨】　解题流程可为：
→→→→
【规范解答】　法一　设圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝10.
因为圆心在直线y＝2x上，所以b＝2a.①
由方程组得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0，
所以x1＋x2＝a＋b，x1·x2＝.
由弦长公式得·＝4，化简得(a－b)2＝4.②
解①②组成的方程组，得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.
故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
法二　设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10，则圆心为(a，b)，半径r＝，
圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离d＝.
由半弦长、弦心距、半径组成的直角三角形得d2＋2＝r2，
即＋8＝10，所以(a－b)2＝4.
又因为b＝2a，所以a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.
故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
求圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的方程．
【解】　法一　设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
则有解得a＝1，b＝－4，r＝2.
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
法二 过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1,－4)．
故半径r＝＝2，于是所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
直线与圆、圆与圆的位置关系
直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线．
直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路：
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式Δ>0的前提下，可利用根与系数的关系求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆半径为r，则弦长l＝2.
解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，利用勾股定理．
　已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．
【思路点拨】　分斜率存在与不存在两种情况．
(1)????
(2)?
【规范解答】(1)当直线l存在斜率时，设直线l的方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.
作示意图如图，MC⊥AB于C.
在Rt△MBC中，|BC|＝|AB|＝，|MB|＝2，故|MC|＝＝1，
由点到直线的距离公式得＝1，解得k＝.
故直线l的方程为3x－4y＋6＝0.
(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，且|AB|＝2，所以符合题意．
综上所述，直线l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝2.
已知圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，并且与直线x＋y＝0相切于点Q(3，－)，求圆C的方程．
【解】　设所求圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
圆心C(a，b)与Q(3，－)的连线垂直于直线x＋y＝0，且斜率为.
由题意得解得或
∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
轨迹问题
求轨迹方程的步骤：(1)建系设点；(2)列出动点满足的轨迹条件；(3)把轨迹条件坐标化；(4)化简整理；(5)检验．
在检验中要排除不符合要求的点，或者补充上漏掉的部分．检验一般有两种：一种是文字说明，一种是式子说明．所谓式子说明，就是用式子注明方程中x或y的取值条件(即范围)，由于式子说明的形式往往比文字说明显得清楚，因此一般采用这种方法．
求曲线的方程或者求动点的轨迹方程是解析几何中重要的题型，解答这种问题常用的方法有直接法、定义法、消参法、代入法等．
　如图4－1，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN，(M，N分别为切点)，使得|PM|＝|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．
图4－1
【思路点拨】　由△PMO1与△PNO2均为直角三角形表示出切线长|PM|与|PN|，建立坐标系后，设出P点坐标即可由等式|PM|＝|PN|求出P点的轨迹方程．
【规范解答】　如图，以O1，O2所在直线为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则O1(－2,0)，O2(2,0)，设动点P的坐标为(x，y)．
在Rt△PMO1中，|PM|2＝|PO1|2－1，
在Rt△PNO2中，|PN|2＝|PO2|2－1.
又因为|PM|＝|PN|，所以|PM|2＝2|PN|2，即
|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)，即|PO1|2＋1＝2|PO2|2，
所以(x＋2)2＋y2＋1＝2[(x－2)2＋y2]，
整理得x2＋y2－12x＋3＝0，即为所求点P的轨迹方程．
已知线段AB的长为3,平面上一动点M到A的距离是到B的距离的两倍,求动点M的轨迹方程．
【解】　在线段AB上取一点O，使|AO|＝2|OB|，以O点为坐标原点、AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(－2,0)，B(1,0)．设动点M(x，y)，
则有＝2，整理得x2＋y2－4x＝0.
即动点M的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0.
数形结合思想
1.数形结合思想在解析几何中的应用极其广泛，利用数形结合的思想解题，能把抽象的数量关系与直观的几何图形建立起关系，从而使问题在解答过程中更加形象化、直观化，而本章的相关知识整体体现了这种思想，即把几何问题代数化，同时利用代数(方程)的思想反映几何问题．
2．(1)形如u＝的最值问题，可借助于图形分析转化为直线斜率的最值问题；
(2)形如t＝ax＋by的最值问题，可借助于图形分析动直线斜率的最值问题；
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可借助于图形分析动点到定点距离的最值问题．
　已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点．
(1)求的最大值与最小值；
(2)求x－2y的最大值与最小值．
【思路点拨】　结合几何性质求解式子的最值．
【规范解答】　(1)显然可以看作是点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率．令＝k，如图所示，则其最大、最小值分别是过点Q(1,2)的圆C的两条切线的斜率．
对上式整理得kx－y－k＋2＝0，∴＝1，∴k＝.
故的最大值是，最小值是.
(2)令u＝x－2y，则u可视为一组平行线，当直线和圆C有公共点时，u的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得．依题意，得＝1，解得u＝－2±，
故x－2y的最大值是－2＋，最小值是－2－.
当曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个相异交点时，实数k的取值范围是(　　)
A.　　　　　　 B.
C. D.
【解析】　曲线y＝1＋是以(0,1)为圆心，2为半径的半圆(如图)，直线y＝k(x－2)＋4是过定点(2,4)的直线．
设切线PC的斜率为k0，则切线PC的方程为y＝k0(x－2)＋4，圆心(0,1)到直线PC的距离等于半径2，即＝2，k0＝.
直线PA的斜率为k1＝. 所以【答案】　C
分类讨论思想
分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题增加了题设的条件．在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时都要分类讨论．
　已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l的方程．
【思路点拨】　求直线l的方程时，可分直线l的斜率存在与不存在两种情况求解．
【规范解答】　圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r＝5.
①当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝－4，由题意可知直线x＝－4符合题意．
②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k－3＝0.
由题意可知2＋2＝52，解得k＝－，
即所求直线方程为4x＋3y＋25＝0.
综上所述，满足题设的直线l方程为x＝－4或4x＋3y＋25＝0.
过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程．
【解】　∵(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，∴点A在圆外．
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)．
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以＝1，解得k＝－.
所以切线方程为y＋3＝－(x－4)，即15x＋8y－36＝0.
②若切线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.