新课标人教A版必修二第一章空间几何体（复习教案）

第一章 空间几何体
空间几何体的三视图与直观图
　三视图和直观图是空间几何体的不同表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由空间几何体可以画出它的三视图，同样，由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化．
　若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(　　)
A　　　　　B　　　　　　C　　　　　D　
【思路点拨】　
【解析】　所给选项中，A、C选项的正视图、俯视图不符合，D选项的侧视图不符合，只有B选项符合．
【答案】　B
如图1－2，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为(　　)
A．6　　　　　　B．9
C．12 D．18
【解析】　由三视图可知该几何体为一个平行六面体(如图)，
其底面是边长为3的正方形，高为＝，所以该几
何体的体积为9，故选B.
【答案】　B
空间几何体的表面积、体积
1.几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用．
2．常见的计算方法
(1)公式法：根据题意直接套用表面积或体积公式求解．
(2)割补法：割补法的思想是：通过分割或补形，将原几何体分割成或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积．
(3)等体积变换法：等积变换法的思想是：从不同的角度看待原几何体，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，来求原几何体的体积．
　已知三棱锥A－BCD的表面积为S，其内有半径为r的内切球O(球O与三棱锥A－BCD的每个面都相切，即球心O到A－BCD每个面的距离都为r)，求三棱锥A－BCD的体积．
【思路点拨】　分析三棱锥A－BCD的体积与以O为顶点，各个面为底面的4个小棱锥体积间的关系．
【规范解答】　连接AO，BO，CO，DO，则三棱锥A－BCD被分割成为四个小三棱锥：O－ABC，O－ABD，O－ACD，O－BCD，
并且这四个小三棱锥的顶点都为O，高都为r，底面分别为△ABC，△ABD，△ACD，△BCD.
故有VA－BCD＝VO－ABC＋VO－ABD＋VO－ACD＋VO－BCD
＝S△ABC·r＋S△ABD·r＋S△ACD·r＋S△BCD·r
＝(S△ABC＋S△ABD＋S△ACD＋S△BCD)r＝Sr.
某三棱锥的三视图如图1－3所示，该三棱锥的表面积是 (　　)
图1－3
A．28＋6 B．30＋6
C．56＋12 D．60＋12
【解析】　由三棱锥的三视图可得三棱锥的直观图如图(1)所示．
图(1) 图(2)
S△ACD＝×AC×DM＝×5×4＝10.S△ABC＝×AC×BC＝×5×4＝10.
在△CMB中，∠C＝90°，∴|BM|＝5.
∵DM⊥面ABC，∴∠DMB＝90°，∴|DB|＝＝，
∴△BCD为直角三角形，∠DCB＝90°，∴S△BCD＝×5×4＝10.
在△ABD中，如图(2)，S△ABD＝×2×6＝6，∴S表＝10＋10＋10＋6＝30＋6.故选B.
【答案】　B
思想方法
1.转化与化归思想
转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，所谓转化与化归思想是指把待解决的问题(或者说未知解的问题)转化归结为已有知识范围内可解的问题的一种数学意识．立体几何中的有关问题，一般转化为平面问题来解决，其途径主要有以下两种：一是多面体常转化到它的底面、侧面、对角面内，而旋转体主要是利用轴截面；二是将多面体的表面或旋转体的侧面展开．
　如图1－4，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b，BB1＝c，并且a＞b＞c＞0.求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长．
图1－4
【思路点拨】　→
【规范解答】　将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图．
三个图形(1)(2)(3)中AC1的长分别为：
＝，
＝，
＝.
∵a＞b＞c＞0.
∴ab＞ac＞bc＞0.
故最短线路的长为.
圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，从A到C圆柱侧面上的最短距离为(　　)
A．10 cm　　　　　　　B.  cm
C．5 cm D．5  cm
【解析】　如图所示，沿母线BC展开，曲面上从A到C的最短距离为平面上从A到C的线段的长．
∵AB＝BC＝5，∴A′B＝＝×2π×＝π.
∴A′C＝＝＝5＝ .
【答案】　B
2．函数与方程思想
函数与方程思想是指将抽象的数学问题转化为函数的性质或解方程(组)等问题解决，在立体几何中求几何体的高、棱长、侧面积、体积等往往利用这一思想方法．
一个圆锥底面半径为R，高为R，求圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值．
【思路点拨】　画出该几何体组合体的轴截面，利用相似三角形的知识建立等量关系，借助函数的知识求其最值．
【规范解答】　如图所示，△SAB为圆锥的一个轴截面，且该轴截面经过正四棱柱的对角面，DF为棱柱的底面对角线．
设正四棱柱的高为h，底面正方形边长为a，则DE＝a.
∵△SDE∽△SAO，∴＝.
∵AO＝R，SO＝R，∴＝，
∴h＝R－a.∴S表＝2a2＋4ah＝2a2＋4a.
整理得S表＝(2－2)2＋(0∵2－2<0，<R，∴当a＝时，S表有最大值，为，
即圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值为，即R2.
将一个底面圆的直径为2，高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱(如图1－5)，设这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为2，截面的面积为A.
图1－5
(1)求面积A以x为自变量的函数式；
(2)求出截得棱柱的体积的最大值．
【解】　(1)横截面如图，由题意得A＝x·(0 (2)棱柱的体积V＝A·h＝x·＝，
由(1)知03．数形结合思想
数形结合思想的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过对图形的认识，实现数与形的转化，使问题化抽象为具体，化难为易．
　求函数f(x)＝＋的最小值．
【思路点拨】　结合函数解析式的结构特征，将代数问题转化为几何问题．
【规范解答】　依题意：f(x)＝＋，构造长方体ABCD－A1B1C1D1，其三条棱长分别为AB＝2，BC＝3，BB1＝5(如图(1))，设BE＝x.
(1)　　　　 (2)　　
则AE＝，EC1＝，所以f(x)＝AE＋EC1.
这样，原题求函数f(x)的最小值，就转化为在长方体AC1的棱BB1上找一点E，使折线AEC1的长度最短．将长方体侧面展开(如图(2))．连接AC1，显然AE＋EC1≥AC1且AC1＝＝5，即f(x)min＝5. 即函数f(x)＝＋的最小值是5.
若半球内有一内接正方体，则这个半球的表面积与正方体的表面积之比为________．
【解析】　设半球的半径为R，内接正方体的棱长为a，过正方体的对角面作出它的截面图，如图．
OE＝OF＝OD＝R，BC＝AD＝a，
AB＝CD＝a，所以OA＝a.
在△OAD中，OD2＝OA2＋AD2，
即R2＝＋a2＝a2，所以＝.
又＝＝·＝×＝，所以应填3π∶4.
【答案】　3π∶4