新课标人教A版必修五第一章解三角形（复习教案 ）

第一章 解三角形教学设计
本章复习?
从容说课
本章主要学习了正弦定理和余弦定理、应用举例以及实习作业．?
正弦定理、余弦定理是反映三角形边、角关系的重要定理．利用正弦定理、余弦定理，可以将三角形中的边的关系与角的关系进行相互转化，许多几何问题也可以转化为解三角形的问题来研究．?
本节课是人教版数学必修五第一章解三角形的全章复习.?
教学重点 1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形.?
2.三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用.?
3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．?
教学难点 定理及有关性质的综合运用．?
教具准备 多媒体投影仪??
三维目标
一、知识与技能?
1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形确良；
2.三角形各种类型的判定方法；?
3.三角形面积定理的应用.??
二、过程与方法?
通过引导学生分析，解答典型例题，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．??
三、情感态度与价值观?
通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系．??
教学过程
导入新课
师 本章我们共学习了哪些内容？?
生 本章我们学习了正弦定理与余弦定理.?
师 你能讲出正弦定理、余弦定理的具体内容吗？?
生 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即；?
余弦定理: a2=b2+c2-2bccosA，?
b2=a2+c2-2accosB，?
c2=b2+a2-2bacosC;?
.?
师 很好！哪位同学来说说运用正弦定理、余弦定理可以解决哪些类型的问题？?
生 正弦定理可以解决以下两类问题：（1）已知两角和一边解三角形；（2）已知两边及其中一边的对角解三角形.余弦定理可以解决以下两类问题:(1)已知三边解三角形；（2）已知两边及其夹角解三角形.?
生 老师，我来补充.利用正弦定理的解题的类型（1）在有解时只有一解，类型（2）可有解、一解和无解；利用余弦定理的解题的两种类型有解时只有一解.?
师 very good！除了以上这些，我们还学习了什么？?
生 除了正弦定理、余弦定理我们还学习了三角形面积公式：
C，利用它我们可以解决已知两边及其夹角求三角形的面积.?
师 你说的非常完善，你是我们全班同学学习的榜样.希望我们全班同学都向他学习.??
推进新课?
多媒体投影
解斜三角形时可用的定理公式
适用类型
备注
余弦定理
a2=b2+c2-2bccosA
b2=a2+c2-2accosB
c2=b2+a2-2bacosC
已知三边
（2）已知两边及其夹角
类型（1）（2）有解时只有一解
正弦定理
（3）已知两角和一边
（4）已知两边及其中一边的对角
类型（3）在有解时只有一解，类型（4）可有解、一解和无解
三角形面积公式S＝bcsinA= acsinB=absinC
(5)已知两边及其夹角
生 老师，我也来补充.利用正弦定理、余弦定理我们还可以解决实际生活中的一些问题:有关测量距离、高度、角度的问题．?
师 看来同学们对解三角形这一章掌握得都不错．下面，我们来看一下例题与练习．?
［例题剖析］?
【例１】在△ABC中，若sinA＞sinB，则A与B的大小关系为_________.?
生 这个题目以前做过的，A与B的大小关系不定．?
师 对吗？?
生 我认为不对．我以前做过的题目中没有“在△ABC中”这个条件．?
（其他学生一致认可）?
师 那本题应该怎么做呢？?
生 我觉得答案应该是A＞B，但是理由我说不上来．?
生 我来说．因为在△ABC中，由正弦定理得,所以a =2RsinA,B=2RsinB.又因为sinA＞sinB，所以A＞B．?
又因为在三角形中，大边对大角，所以A＞B．?
师 好，你解得非常正确．?
【例２】在△ABC中，若△ABC的面积为S，且2S=(a+b)2-C2，求tanC的值．?
师 拿到题目你怎么考虑，从哪里下手？?
生 利用三角形的面积公式，代入已知条件2S=(A+B)2-C2中，再化简.?
师 用面积公式S= bcinA=acsinB=absinC中的哪一个呢？?
生 用哪一个都可以吧.?
生 不对，应该先化简等式右边，得?(A+B)?2-C2=A2+2AB+B2-C2，出现了A与B的乘积：AB，而2abcosC=a2+b2-c2，因此面积公式应该用S=absinC，代入等式得?
absinC=a2+b2+2ab-C2=2ab-2abcosC.化简得tan =2．?
从而有．?
师 思路非常清晰，请同学们思考本题共涉及到了哪些知识点？?
生 正弦定理、余弦定理与三角形面积公式．?
生 还有余切的二倍角公式．?
师 你能总结这类题目的解题思路吗？?
生 拿到题目不能盲目下手，应该先找到解题切入口．?
师 对，你讲得很好．?
生 正弦定理、余弦定理都要试试．?
【例3】 将一块圆心角为120°，半径为20 cm的扇形铁片裁成一块矩形，有如图（1）、（2）的两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径OA上，或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？并求出这个最大值.?
师 本题是应用题，怎么处理？?
生 由实际问题抽象出数学模型，找到相应的数学知识来解决.?
分析:这是一个如何下料的问题，从图形的特点来看，涉及到线段的长度和角度，将这些量放置在三角形中，通过解三角形求出矩形的边长，再计算出两种方案所得矩形的最大面积，加以比较，就可以得出问题的结论.?
解：?
按图（1）的裁法：矩形的一边OP在OA上，顶点M在圆弧上，设∠MOA=θ，则|MP|=20sinθ,|OP|=20cosθ,
从而S=400sinθcosθ=200sin2θ，?
即当时，Smax=200.?
按图（2）的裁法：矩形的一边PQ与弦AB平行，设∠MOQ=θ，在△MOQ中，∠OQM=90°+30°=120°,由正弦定理，得|MQ|=.?
又因为|MN|=2|OM|sin(60°-θ)，=40sin(60°-θ),所以?
S=|MQ|·|MN|=sinθsin(60°-θ)=｛-［cos60°-cos(2θ-60°)］｝=［cos(2θ-60°)-cos60°］.?
所以当θ=30°时，S max=.?
由于＞200，所以用第二种裁法可裁得面积最大的矩形，最大面积为cm2.?
评注:正弦定理、余弦定理在测量（角度、距离）、合理下料、设计规划等方面有广泛应用.从解题过程来看，关键是要找出或设出角度，实质是解斜三角形，将问题涉及的有关量集中在某一个或者几个三角形中，灵活地运用正弦定理、余弦定理来加以解决.?
【例4】如果一个三角形的三边是连续的三个自然数，求所有这些三角形中的最大角的度数．（精确到0.1°）?
师 已知什么，要求什么？?
生（齐答）已知三角形的三边，要求三角形中的角．?
师 怎么处理呢？?
生用正弦定理或余弦定理实现三角形中边与角的转化，可是三条边的值不知道啊．?
生条件中三角形的三边是连续的三个自然数，那么我们可以设这三个连续的自然数为n-1，n，n+1，最大的角为θ，则.?
师 接下来怎么做呢？?
生 因为cosθ是［0°,180°］内的减函数，所以要求θ的最大值即求cosθ的最小值．?
师cosθ的最小值怎么求呢？?
生 因为cosθ＞－１，从而有＞-1＜n-1＞1n＞2.?
又因为n为自然数，所以当n=3时，（cosθ）min?=-，所以θ的最大值为104.5°．?
（教师用多媒体投影）?
解：设这三个连续的自然数为n-1，n，n+1，最大的角为θ，则?
.?
因为cosθ是［0°,180°］内的减函数，所以要求θ的最大值即求cosθ的最小值，且cosθ＞－１，从而有＞-1＜n-1＞1n＞2．?
因此，当n=3时，（cosθ）min=-，所以θ的最大值为104.5°．?
师 下面我们来看一组练习?
多媒体投影?
1.在△ABC中，若A=30°,B=45°,C =6，则A等于（　　）?
A.　　　　　B.? C. D.?
2.在△ABC中，若a =7,b =4,c =5,
则△ABC的面积为（精确到0.１）（　　）?
A．7? B．8.2? C．10.3 D．9.8?
3.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离D1与第二辆车与第三辆车的距离D2之间的关系为（　　）?
A.d1＞d2 B.d1=d2? C.d1＜d2 D.大小确定不了?
4.在△ABC中，若A·cotA=bcotB，则△ABC是_______三角形．?
5.在异面直线A,B上有两点M、N，EF是直线A,B的公垂线段，若EM＝５，EF＝３，FN＝４，MN＝６，则异面直线A,B所成的角为___________．（精确到1°）?
练习题答案：1.C?2.D?　3.C?　4.等腰5.70°???
课堂小结
同学们本节课你的收获是什么？?
生 正弦定理、余弦定理都是联系三角形边和角的关系式.?
生 凡是可用正弦定理的时候，都可以用余弦定理；当关系式中有边的平方项时，可以考虑余弦定理.?
生 已知两边一对角求解三角形时用余弦定理讨论二次方程，更容易判断是无解、一解还是两解的问题.?
生 利用正弦定理和余弦定理解决几何问题的关键还是在于找出图形中的边角关系，然后假设有关的边和角，利用正弦定理和余弦定理建立边或角的关系式.?
生 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.其基本步骤是:?
（1）分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；?
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；?
（3）求解：利用正弦定理、余弦定理解这些三角形，求得数学模型的解；?
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.??
布置作业
1.已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x，则x的取值范围是__________．?
2.在△ABC中，已知tanA=,tanB=，试求最长边与最短边的比．?
3.某人坐在火车上看风景，他看见远处有一座宝塔在与火车前进方向成30°角的直线上，1分钟后，他看见宝塔在与火车前进方向成45°角的直线上，设火车的速度是100 km/h，求宝塔离开铁路线的垂直距离．?
答案：1.(,)?
2.解：因为tanA=,tanB=，所以．?
因为0°＜A＜45°，0°＜B＜45°，所以A +B = 45°．?
所以，所以最长边与最短边的比为．?
３.解：如图，设宝塔在C点，先看时的位置为A，再看时的位置为B，由题意知
∠BAC=45°-30°=15°,AB=（km），?
AC =,?
所以C点到直线AB的距离为d=AC·sin30°=(+1)（km）．??
板书设计
本章复习
例1? 例3
例2　　　　　　　　　 例4
(投影区)
备课资料
解三角形?
三角形的三条边和三个内角是三角形的六个基本元素．已知其中的三个基本元素(至少有一个是边)求其余的基本元素叫做解三角形．?
1.直角三角形的解法?
因为直角三角形中有一个是直角，例如△ABC中，C＝90°，角A、B、C的对边分别是A、B、C．那么利用以下关系式：?
（1）A+B=90°；（2）A 2＋B 2=C 2；（3）A=csinA=ccosB＝B·tanA；（4）B=ccosA=csinB=acxtana．?
可分四种情况来解直角三角形．?
（1）已知斜边和一锐角；?
（2）已知一条直角边和一锐角；?
（3）已知一斜边和一直角边；?
（4）已知两条直角边．?
2.斜三角形的解法?
在一个三角形中，如果没有一个角是直角，那么这个三角形叫做斜三角形．斜三角形的解法可分以下四种情况：（1）已知两角和一边；（2）已知两边和其中一边的对角；（3）已知两边和它们的夹角；（4）已知三边．解斜三角形常常利用以下基本关系式：?
1．三角形内角和为180°，即A＋B＋C=180°；?
2．正弦定理，即
3．余弦定理，即(1)?
(2)?
一般地说，在已知两边和其中一边的对角的情况下，解三角形时，问题不一定有解，如果有解也不一定有唯一解．对这类问题进行讨论，可得如下结论．?
90°≤A＜180°
0°＜A＜90°
a＞b
一解
一解
a=b
无解
一解
a＜b
无解
A＞BsinA
A=BsinA?
A＜BsinA
两解?
一解?
无解