专项提优2 数轴与绝对值
类型一：利用数轴解决问题
1．在数轴上，与表示数—5的点的距离是2的点表示的数是 （ ）
A．—3 B．—7 C． D．—3或—7
2．有理数在数轴上的位置如图所示，则下列关系正确的是 （ ）
A． B． C． D．
3．如图，数轴上有A，B，C，D四个整数点（即各点均表示整数），且3AB＝BC＝2CD．若A，D两点所表示的数分别是—6和5，则线段AC的中点表示的数是 （ ）
A．—3 B．—1 C．3 D．—2
4．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位长度，点A，B，C，D对应的数分别是整数，且，则数轴的原点应是 （ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
5．如图，有一个直径为1个单位长度的圆片，把圆片上的点A放在数轴上—1处，然后将圆片沿数轴向右
滚动一周，点A到达点A＇位置，则点A＇表示的数是 （ ）
B． C． D．
6．如图，点A，B，C在数轴上表示的数分别为，O是原点，且OA+OB＝OC，给出下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
类型二：绝对值的化简和计算
7．若，，且，则的值是 （ ）
A．—78或116 B．78或116 C．—78或—116 D．78或—1
8．已知，求的值．
9．已知，．
（1）当时，求的值；
（2）求的最大值．
10．已知，其中且．
（1）根据绝对值的意义化简：=______________，=______________________；
（2）请分析的正负性，并求出的值．
11．对于有理数，定义一种新运算“⊙”，规定：⊙=．
（1）计算2⊙（—4）的值；
（2）若在数轴上的位置如图所示，化简：⊙．
类型三:绝对值的非负性
12．若，则的值是 （ ）
A．48 B．—48 C．0 D．24
13．已知，求的值．
类型四：绝对值的几何意义
14．已知互不相等的三个有理数在数轴上的对应点分别为A、B，C．若，则点B （ ）
A．在点A和点C的右边 B．在点A和点C的左边
C．在点A和点C之间 D．以上三种位置都有可能
15．在数轴上，表示数的点与表示数1的点的距离等于1，用等式可表示为，这样的数可以
是0或2．
（1）等式的几何意义可仿上解释如下：在数轴上，______________________________________，
其中的值可以是___________________________；
（2）等式的几何意义可仿上解释如下：在数轴上，______________________________________，
其中的值可以是___________________________．
16．如图，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别是，其中AB＝BC．若，则该数轴的原点O的位置应该在_______________________________________________．
17．（1）的最小值为________________；（2）的最小值为__________．
（3）的最小值为________，此时的取值为_________．（为整数）
18．（1）如图，点A，B所代表的数分别为—1，2，在数轴上画出与A，B两点的距离和为5的点，并标上
字母；
（2）若数轴上点A，B所代表的数分别为，则A，B两点之间的距离可表示为AB＝，那么当
时，=_____________；当时，数的取值范围为_______________．
类型五：数轴上的规律探索
19．数轴上到2和6表示的点距离相等的点表示的数是4，有这样的关系：，那么到100和999表示的点距离相等的点表示的数是_____________________________；到和表示的点距离相等的点表示的数是___________________________．
20．如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿轴做如下移动：第一次将点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点A，如果点A与原点的距离不小于20，那么的最小值是_________________．
专项提优3 有理数的简便运算
类型一：应用运算律进行简便计算
1．计算的结果是 （ ）
A．1 B．—1 C．2012 D．1006
2．计算：___________________________．
3．计算：_______________________________．
4．用简便方法计算：
（1） （2）
计算：
6．计算：
计算：
类型二：应用拆项法进行简便计算
8．计算：_______________________．
9．计算：________________________．
10．计算：
类型三：应用换元法进行简便计算
11．计算：
类型四：应用错位加减法进行简便计算
12．计算：
（1） （2）
13．计算：
类型五：探索规律进行简便计算
14．探索规律：观察下面由组成的图案和算式，解答问题：
（1）试猜想：__________________________；
（2）试猜想：=____________________________；
（3）请用上述规律计算：．
15．【问题情境】在一次自主学习中，老师给同学们留下了一个问题：计算的值．小芳对这个问题进行了探索研究．
【体验创新】受“细胞分裂”的启发，小芳拿出1张长方形纸片按如图方式进行操作．
①如图①，先按水平的折痕对折纸片，撕开，并把其中一半扔在一边，完成第1次操作；
②如图②，再按竖直的折痕对折余下纸片，撕开，并把其中一半扔在一边，完成第2次操作；
③在余下纸片上依次重复上述两种操作．
当完成第次操作后，设余下纸片面积为1，请你帮助小芳回答下列问题：
（1）第一次扔在一边的纸片面积为________________，它的2倍即原纸片的面积为____________________；
（2）若把扔在一边的纸片都按原位置放回，则小芳发现原纸片的面积还可以表示为____________________．
（3）利用小芳发现的结论计算：．
专项提优2数轴与绝对值
1.D解析:①-5+2=-3;②-5-2=-7
2.C解析:由数轴可知a>0,b<0且a|<|b,故选项A
错误;因为a>0,一b>0,|a|<|-b,所以a<一b,故
选项B错误;因为
<0,b<0,|-a|<|b|,所以
b<一a,故选项C正确;由数轴可知a十b<0,故选项D
错误
3.D解析:因为3AB=BC=2CD,所以设BC=x,则
AB- I
3,CD=2因为AB+BC+CD=AD,所以
x+x2x≈5-(-6),解得x=6,所以AB=2,
BC=6,CD=3,所以点C表示的数是一6+2+6=2,所
以线段AC的中点表示的数是
6+2
4.B解析:由数轴可知d-a=7.因为d-2a=10,所以
d-a-a=10,即7-a=10,解得a=-3,所以点A表
示的数是-3,所以数轴上的原点是点B
5.D解析:因为圆片的周长为π,所以AA'=x因为点A
表示的数为-1,所以点A表示的数为-1+π
6.B解析:由数轴可知a<0,c<0,b>0,所以abc>0,故
①错误;由b十c<0,a<0可得a(b十c)>0,故②正确;
由OA十OB=OC可得a-c=b,故③正确;由a<0,
c0可那!,b+c=-1+1+(-1)
6l
1,故④错误综上所述,正确结论的个数是
7.B解析:由|a十b|≠a+b,得a+b<0,则b=-97,
a=士19,所以a-b=78或116.
8.因为ab<0,所以a,b异号.当a>0,b<0时,原式=
1-1=-1;当a<0,b>0时,原式=-1+1-1=-1.综
上所述,+0+a6/
b,
b ab
9因为|x|=3,|y|=2所以x=士3,y=士2
(1)当xy<0时,x=3,y=-2或x=-3,y=2若x=
3,y=-2,则x+y=1;若x=-3,y=2,则x+y
1综上所述,x+y的值为1或-1
2)当x=3,y=2时,x-y=1;当x=3,y=-2时,
x-y=5;当x=-3,y=2时,x-y=-5;当x=-3
y=-2时,x-y=-1.因为-5<-1<1<5,所以x
y的最大值为5
10.(1)1-1解析:因为a>0,c<0,所以|a|=a,
ac
ac,所以
lacl=二aC=-1
ac
ac
(2)因为a>0,c<0且{a|<|c|,所以a+c<0.因为
a+b+c=0,所以b=-(a+c),所以b>0,即b为正
数因为b+c=-a,a+c=-b,a+b=-c,所以原
b
式
=1+1+(-1)=1.
b
11.(1)由题意,得2⊙(-4)=|2-4|+|2+4|=2+6=8
(2)由数轴可知a<0|b|,所以a+b<0
a-b<0,所以a⊙b=|a+b|+|a-b|=-(a+b)
专项提优3有理数的简便运算
1.D解析:原式=(-1+2)+(-3+4)+(-5+
6)+…+(-2011+2012)=1006
5
2.10解析:原式=(5
2155)+(167+3
7
10+20=10
3.1544000解析:原式=455×(-211+365)+545×
(-211+365)=(-211+365)×(455+545)=154
1000=154000
4.(1)原式=1
1-+3
3
2
4
4
3-42
4
(12-42)-(4+4
3
3
+(3
4
4
2
(2)原式=12
4
1-+5
3
12
5
1+3=9
5.原式
+3
+(2
(-152+)=0+151-15
6.原式=
×0.75+0.25
1
)+64
3
4)×(0.75+0.35
1+64)=-27
7.原式=[16+1.63×(287+963)-125×0.115]÷
011=[16+(1.63×125-125×1.15)]÷011=(16+
0.48×125)÷0.11=[16+6×(0.08×125)]÷011=
22÷0.11=200.
8.-3解析:原式=743×369-741×369-741=(743
741)×369—741=2×369-741=738-741=-3
19
10
解析:原式=(1-2+3-4+5-6+7-8+9)+
15,119
26+1220+30-4+56-72+90)=5+
2-1++
6+12
1
20301++2
1
5-4
72
l×、日
q×
11
1
十
7+7-8+8
r-+t=(0
919
1
1010
2+4+8
2=(1-2)+(2-4)+
÷十…十=
1
十…
1632
131
同理可得+
4
1632
3232
1023
+÷+…
1024
10241024
1.设a=+2+
2
+-+…
2015
2014
则原式=a(b+1)-(a+1)b=ab+a-ab-b=a-b=
1.1
÷+…+
-+…+
23
2015
20142015
12.(1)设S=1+3+32+33+34+…+30+30,则有
3s=3+32+3+34+…+30+30.两式相减,得
3S-S=(3十32+33+34+…+300+3101)-(1+3+
32+3+3+…+39+310)=301-1,所以S=
(2)设S=-22-23-…-218-219,则2S=-2
2138-219-220.两式相减,得S=-220+4,所以2-22-
23-…-218-21+20=2+S+20=2+4-20+
220=6
