北师大版初中数学七年级下册知识讲解，巩固练习：第7讲 2.1两条直线的位置关系(基础)（含答案）

两条直线的位置关系（基础）知识讲解
【学习目标】
1. 初步理解同一平面内的两直线的位置关系，初步认识相交线和平行线；
2.了解对顶角、补角、余角，知道对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等，并能解决一些实际问题；
3. 理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；
4. 理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.
【要点梳理】
要点一、同一平面内两条直线的位置关系
同一平面内，两条直线的位置关系：相交和平行.
要点诠释：
（1）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.两直线平行，用符号“∥”表示. 如下图，两条直线互相平行，记作AB∥CD或a∥b.
（2）互相重合的直线通常看做一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行.
（3）相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线，这个公共点叫做交点. 两条直线相交只有一个交点.
要点二、对顶角、补角、余角
1.余角与补角
（1）定义：如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．
类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角．
（2）性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等．
要点诠释：
(1)互余互补指的是两个角的数量关系，而与它们的位置无关．
(2)一个锐角的补角比它的余角大90°．
2.对顶角
（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．
要点诠释：
(1)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.
(2)只有两条直线相交时，才能产生对顶角．两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产生邻补角，邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.（3）邻补角一定互为补角，但互为补角的角不一定是邻补角.
（2）性质：对顶角相等．
要点三、垂线
1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．如下图．
要点诠释：
(1)记法：直线a与b垂直，记作：；
直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.
(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：
CD⊥AB．
2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．
要点诠释：
(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．
(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．
3．垂线的性质：
（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
要点诠释：
（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．
（2）性质（2）是“垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．
4．点到直线的距离：
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
要点诠释：
点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；
（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．
【典型例题】
类型一、两条直线的位置关系
1.如图，在正方体中：
（1）与线段平行的线段_________；
（2）与线段相交的线段______；
（3）与线段既不平行也不相交的线段______．
【答案】
（1）CD、A1B1、C1D1；
（2）BC、BB1、A1A、AD；
（2）A1D1、D1D 、B1C1、CC1．
【解析】
（1）与线段AB平行的线段的种类为：①直接与AB平行，②与平行于AB的线段平行．
（2）与线段相交的线段的种类为：①交于B点的线段，②交于A点的线段．
（3）用排除法，在正方体中除了线段AB外还有11条棱，在这11条棱中排除（1）（2）中的线段，便得到与线段既不平行也不相交的线段．
【总结升华】考查平行线与相交线的定义．
类型二、对顶角、补角、余角
2．如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠1＝65°，求∠2、∠3、∠4的度数．
【思路点拨】观察图形可以得到一些角的和差关系．
【答案与解析】
解：∵ ∠1＋∠2＝180°，∠1＝65°，
∴ ∠2＝180°－65°＝115°．
又∵∠3＝∠1＝65°，
同理，∠4＝∠2＝115°．
综上得，∠3＝∠1＝65°， ∠4＝∠2＝115°．
【总结升华】两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角．
举一反三：
【变式】如图所示，两直线相交，已知∠l与∠2的度数之比为3:2，求∠1与∠2的度数．
【答案】
解：设∠1与∠2的度数分别为3x和2x．根据题意，得
3x+2x＝180°．
解这个方程得x＝36°，所以3x＝108°，2x＝72°．
答：这两个角的度数分别是108°，72°．
类型三、垂线
3．下列语句中，正确的有 ( )
①一条直线的垂线只有一条．
②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直．
③两直线相交，则交点叫垂足．
④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】正确的是：②④
【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.
举一反三：
【变式】直线外有一点P，则点P到直线的距离是( ).
A．点P到直线的垂线的长度.
B．点P到直线的垂线段.
C．点P到直线的垂线段的长度.
D．点P到直线的垂线.
【答案】C
4. (山东济宁)如图所示，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB于点O，
∠COE＝55°．则∠BOD的度数为 ( ).
A．40° B．45° C．30° D．35°
【答案】D
【解析】要求∠BOD，只要求出其对顶角∠AOC的度数即可．为此要寻找∠AOC与∠COE的数量关系．因为EO⊥AB，所以∠AOE＝90°，所以∠AOC＝∠AOE－∠COE＝90°－55°＝35°，所以∠BOD＝AOC＝35°．
【总结升华】图形的定义既可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质.
举一反三：
【变式】如图, 直线AB和CD交于O点, OD平分∠BOF, OE ⊥CD于点O, ∠AOC=40(,
则∠EOF=_______.
【答案】130°．
5. 如图所示，要把水渠中的水引到水池C，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短?画出图来，并说明原因．
【思路点拨】两点之间线段最短，而点线之间垂线段最短．
【答案与解析】
解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D．所以在点D沿CD开沟，才能使沟最短，原因是从直线外一点到直线上所有各点的连线中，垂线段最短．
【总结升华】 “如何开沟、使沟最短”，实质上是如何过C点向AB引线段，使线段最短，这就是最熟悉的垂线的性质的应用．
举一反三：
【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线的垂线，这样的垂线能画出几条?
(2)经过直线上一点A画的垂线，这样的垂线能画出几条?
(3)经过直线外一点B画的垂线，这样的垂线能画出几条?
【答案】
解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条．
两条直线的位置关系（基础）巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1．下列说法正确的是 ( )
A.不相交的两条直线是平行线.
B.如果线段AB与线段CD不相交,那么直线AB与直线CD平行.
C.同一平面内,不相交的两条射线叫做平行线.
D.同一平面内,没有公共点的两条直线是平行线.
2．点A为直线外一点,点B在直线上,若AB=5厘米,则点A到直线的距离为( )
A. 就是5厘米 B. 大于5厘米 C. 小于5厘米 D.最多为5厘米
3．(湖南邵阳)如图所示，已知O是直线AB上一点，∠1＝40°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是( )
A．20° B．25° C．30° D．70°
4．如图所示，点A到BD的距离是指( )
A．线段AB的长度 B．线段AD的长度 C．线段AE D．线段AE的长度
5．如图所示，∠1和∠2是对顶角的图形共有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6.如图，AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1＝26°，则∠2的度数是（ ）
A．26° B．64° C．54° D．以上答案都不对
二、填空题
7．在平面上，过直线上一点可以画这条直线的垂线的条数为 条．
8．如图，直线a，b相交，∠1＝60°，则∠2＝________，∠3＝________，∠4＝________．
9．如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，CD⊥AB，若∠COE＝30°，则∠AOE＝_____，∠AOF＝______．
10．如图，直线AB与CD的位置关系是________，记作________于点________，此时∠AOD＝______＝______＝______＝90°．
11.如图，∠AOB＝90°，则AB BO；若OA＝3 cm，OB＝2 cm，则A点到OB的距离是________cm，点B到OA的距离是________cm；O点到AB上各点连结的所有线段中________最短．
12．如图所示，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，则∠BOD的度数是 ．
三、解答题
13．如图，三条直线AB、CD和EF相交于一点O，∠COE+∠DOF＝50°，∠BOE＝70°，求∠AOD和∠BOD．
14．如图，OA⊥OB，OC⊥OD，OE是OD的反向延长线．
(1) ∠AOC等于∠BOD吗？请说明理由；
(2) 若∠BOD＝32°，求∠AOE的度数．
15．如图所示，小明家在A处，他要去在同一条路上的小丽家或小红家或小华家或小刚家问作业，则最少要走多少米可以问到作业?
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】D；
【解析】考查平行线的概念．
2．【答案】D；
【解析】点到直线的距离是该点到直线上所有点的距离中最小者．
3. 【答案】D；
【解析】∠1＝40°，∠BOC＝140°，∠2＝∠BOC＝70°．
4. 【答案】D；
5. 【答案】B
【解析】只有（3）中的∠1与∠2是对顶角．
6. 【答案】B；
【解析】∠BOE＝90°－∠1＝64°，又∠AOF＝∠BOE＝64°．
二、填空题
7．【答案】1；
【解析】在平面内过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，“一点”可以在已知直线上，也可以在已知直线外．
8. 【答案】120°， 60°， 120°；
9. 【答案】60°， 120°；
【解析】∠AOE＝90°－∠COE＝60°，
∠AOF＝∠AOD+∠DOF＝90°＋∠EOC＝90°+30°=120°．
10.【答案】垂直，AB⊥CD， O，∠BOD， ∠BOC，∠AOC；
【解析】垂直的定义．
11.【答案】＞， 3， 2， 垂线段；
【解析】点到直线的距离的定义
12.【答案】50°；
【解析】由题意知：∠BOD＝∠AOC=∠EOC＝50°．
三、解答题
13.【解析】
解：∵ ∠COE＝∠DOF(对顶角相等)，∠COE+∠DOF＝50°(已知)，
∴ ∠COE＝．∵ ∠BOE＝70°，
∴ ∠BOC＝∠BOE－∠COE＝70°－25°＝45°．
∵ ∠AOD＝∠BOC(对顶角相等)．
∴ ∠AOD＝45°．∴ ∠BOD＝180°－∠AOD＝180°－45°＝135°．
14.【解析】
解： (1)∠AOC＝∠BOD．
理由：∵ OA⊥OB，OC⊥OD(已知)．
∴ ∠AOB＝90°，∠COD＝90°．
即∠AOC+∠BOC＝90°，∠BOD+∠BOC＝90°，
∴ ∠AOC＝∠BOD(同角的余角相等)．
(2)∵ ∠AOB＝90°，∠BOD＝32°，
∴ ∠AOE＝180°－∠AOB－∠BOD＝180°－90°－32°＝58°．
15.【解析】
解：小明到小红家问作业最近，所以小明至少要走15米．