2019-2020学年苏教版数学必修1 第1章 集合 考点真题解读（含答案）

集　合
最新考纲　1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；
3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
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知 识 梳 理
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和?.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
2.集合间的基本关系
(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A?B或B?A.
(2)真子集：若A?B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A?B或
B?A.
(3)相等：若A?B，且B?A，则A＝B.
(4)空集的性质：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为?UA
图形表示 INCLUDEPICTURE "../../../共享文件/李书营（方正转word）/（完）2020版%20创新设计%20高考总复习%20学生用书%20数学%20人教A版%20理科%20全国%20转word/SW1.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../共享文件/李书营（方正转word）/（完）2020版%20创新设计%20高考总复习%20学生用书%20数学%20人教A版%20理科%20全国%20转word/SW2.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../共享文件/李书营（方正转word）/（完）2020版%20创新设计%20高考总复习%20学生用书%20数学%20人教A版%20理科%20全国%20转word/SW3.tif" \* MERGEFORMAT
集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x?A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A.
[微点提醒]
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.
2.子集的传递性：A?B，B?C?A?C.
3.A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.
4. ?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB).
基 础 自 测
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1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(　　)
(2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.(　　)
(3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)?(A∪B)恒成立.(　　)
(4)含有n个元素的集合有2n个真子集.(　　)
解析　(1)错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线y＝x2＋1上的点集.
(2)错误.当x＝1时，不满足集合中元素的互异性.
(4)错误.含有n个元素的集合有2n－1个真子集.
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
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2.(必修1P12A5改编)若集合P＝{x∈N|x≤}，a＝2，则(　　)
A.a∈P B.{a}∈P
C.{a}?P D.a?P
解析　因为a＝2不是自然数，而集合P是不大于的自然数构成的集合，所以a?P，只有D正确.
答案　D
3.(必修1P12B1改编)已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，则集合M∪N的子集的个数为________.
解析　由已知得M∪N＝{0，1，2，3，4，5}，所以M∪N的子集有26＝64(个).
答案　64
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4.(2018·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则?RA＝(　　)
A.{x|－1B.{x|－1≤x≤2}
C.{x|x<－1}∪{x|x>2}
D.{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
解析　法一　A＝{x|x2－x－2>0}＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，所以?RA＝{x|－1≤x≤2}.
法二　因为A＝{x|x2－x－2>0}，所以?RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}.
答案　B
5.(2019·南昌模拟)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}.若P∪M＝P，则实数a的取值范围为(　　)
A.[－1，1] B.[1，＋∞)
C.(－∞，－1] D.(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析　∵P＝{x|－1≤x≤1}，且P∪M＝P，
∴M?P，∴a∈P，因此－1≤a≤1.
答案　A
6.(2017·全国Ⅲ卷改编)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B中元素的个数为________.
解析　集合A表示圆心在原点的单位圆上所有点的集合，集合B表示直线y＝x上所有点的集合，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素.
答案　2
INCLUDEPICTURE "../../../共享文件/李书营（方正转word）/（完）2020版%20创新设计%20高考总复习%20学生用书%20数学%20人教A版%20理科%20全国%20转word/考点聚焦突破.tif" \* MERGEFORMAT
考点一　集合的基本概念
【例1】 (1)(2019·湖北四地七校联考)若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则(　　)
A.M＝N B.M?N
C.M∩N＝? D.N?M
(2)若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝
的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是(　　)
A.1 B.3 C.7 D.31
解析　(1)易知M＝{x|－1≤x≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}＝{y|0≤y≤1}，∴N?M.
(2)具有伙伴关系的元素组是－1，，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，，.
答案　(1)D　(2)B
规律方法　1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
【训练1】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)
A.9 B.8 C.5 D.4
(2)设集合A＝{x|(x－a)2<1}，且2∈A，3?A，则实数a的取值范围为________.
解析　(1)由题意知A＝{(－1，0)，(0，0)，(1，0)，(0，－1)，(0，1)，(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}，故集合A中共有9个元素.
(2)由题意得解得
所以1答案　(1)A　(2)(1，2]
考点二　集合间的基本关系
【例2】 (1)已知集合A＝{x|y＝，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则(　　)
A.A?B B.B?A
C.A?B D.B＝A
(2)(2019·郑州调研)已知集合A＝{x|x2－5x－14≤0}，集合B＝{x|m＋1解析　(1)易知A＝{x|－1≤x≤1}，
所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}.
因此B?A.
(2)A＝{x|x2－5x－14≤0}＝{x|－2≤x≤7}.
当B＝?时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.
当B≠?时，若B?A，如图.
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则
解得2综上，m的取值范围为(－∞，4].
答案　(1)B　(2)(－∞，4]
规律方法　1.若B?A，应分B＝?和B≠?两种情况讨论.
2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.
【训练2】 (1)(2018·唐山模拟)设集合M＝{x|x2－x>0}，N＝，则(　　)
A.M?N B.N?M
C.M＝N D.M∪N＝R
(2)若将本例(2)的集合A改为A＝{x|x2－5x－14>0}.其它条件不变，则m的取值范围是________.
解析　(1)集合M＝{x|x2－x>0}＝{x|x>1或x<0}，N＝＝{x|x>1或x<0}，所以M＝N.
(2)A＝{x|x2－5x－14>0}＝{x|x<－2或x>7}.
当B＝?时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.
当B≠?时，若B?A，
则或
解之得m≥6.
综上可知，实数m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞).
答案　(1)C　(2)(－∞，2]∪[6，＋∞)
考点三　集合的运算　 INCLUDEPICTURE "../../../共享文件/李书营（方正转word）/（完）2020版%20创新设计%20高考总复习%20学生用书%20数学%20人教A版%20理科%20全国%20转word/箭头.TIF" \* MERGEFORMAT 多维探究
角度1　集合的基本运算
【例3－1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则(　　)
A.A∩B＝ B.A∩B＝?
C.A∪B＝ D.A∪B＝R
(2)(2018·天津卷)设全集为R，集合A＝{x|0A.{x|0C.{x|1≤x<2} D.{x|0解析　(1)因为B＝{x|3－2x>0}＝，A＝{x|x<2}，所以A∩B＝，A∪B＝{x|x<2}.
(2)因为B＝{x|x≥1}，所以?RB＝{x|x<1}，因为A＝{x|0答案　(1)A　(2)B
角度2　抽象集合的运算
【例3－2】 设U为全集，A，B是其两个子集，则“存在集合C，使得A?C，B??UC”是“A∩B＝?”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　由图可知，若“存在集合C，使得A?C，B??UC”，则一定有“A∩B＝?”；反过来，若“A∩B＝?”，则一定能找到集合C，使A?C且B??UC.
INCLUDEPICTURE "../../../共享文件/李书营（方正转word）/（完）2020版%20创新设计%20高考总复习%20学生用书%20数学%20人教A版%20理科%20全国%20转word/4S237A.TIF" \* MERGEFORMAT
答案　C
规律方法　1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.
2.注意数形结合思想的应用.
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；
(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.
【训练3】 (1)(2019·延安模拟)若全集U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，2}，B＝{x|x2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为(　　)
INCLUDEPICTURE "../../../共享文件/李书营（方正转word）/（完）2020版%20创新设计%20高考总复习%20学生用书%20数学%20人教A版%20理科%20全国%20转word/4S237B.TIF" \* MERGEFORMAT
A.{－1，0，1} B.{－1，0}
C.{－1，1} D.{0}
(2)(2019·新乡模拟)已知集合A＝{x|x2－x≤0}，B＝{x|a－1≤xA.0 B.1 C.2 D.1或2
解析　(1)B＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，阴影部分所表示的集合为
?U(A∪B).A∪B＝{－2，－1，1，2}，全集U＝{－2，－1，0，1，2}，所以?U(A∪B)＝{0}.
(2)易知A＝[0，1]，因为A∩B只有一个元素，所以a－1＝1，解得a＝2.
答案　(1)D　(2)C
INCLUDEPICTURE "../../../共享文件/李书营（方正转word）/（完）2020版%20创新设计%20高考总复习%20学生用书%20数学%20人教A版%20理科%20全国%20转word/反思与感悟A.TIF" \* MERGEFORMAT
[思维升华]
1.在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕之时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确.
2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.
3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.
[易错防范]
1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.
2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.
3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.
4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.
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基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1.(2018·全国Ⅲ卷)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝(　　)
A.{0} B.{1} C.{1，2} D.{0，1，2}
解析　由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1，2}.
答案　C
2.设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
解析　因为A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，
又M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，
∴M＝{5，6，7，8}，即M中有4个元素.
答案　B
3.(2019·佛山质检)已知全集U＝{0，1，2，3，4}，若A＝{0，2，3}，B＝{2，3，4}，则(?UA)∩(?UB)＝(　　)
A.? B.{1} C.{0，2} D.{1，4}
解析　因为全集U＝{0，1，2，3，4}，A＝{0，2，3}，B＝{2，3，4}，所以?UA＝{1，4}，?UB＝{0，1}，因此(?UA)∩(?UB)＝{1}.
答案　B
4.(2018·石家庄质检)设集合A＝{x|－1A.( ?RA)∩B＝{x|x<－1}
B.A∩B＝{x|－1C.A∪(?RB)＝{x|x≥0}
D.A∪B＝{x|x<0}
解析　易求?RA＝{x|x≤－1或x>2}，?RB＝{x|x≥0}，
∴(?RA)∩B＝{x|x≤－1}，A项不正确.
A∩B＝{x|－1答案　B
5.已知集合A＝{x∈N|x2－2x－8≤0}，B＝{x|2x≥8}，则集合A∩B的子集的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析　因为A＝{x∈N|x2－2x－8≤0}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x≥3}，所以A∩B＝{3，4}，所以集合A∩B的子集个数为4.
答案　D
6.(2019·豫北名校联考)已知集合M＝{x|y＝}，N＝{x|y＝log2(2－x)}，则
?R(M∩N)＝(　　)
A.[1，2) B.(－∞，1)∪[2，＋∞)
C.[0，1] D.(－∞，0)∪[2，＋∞)
解析　由题意可得M＝{x|x≥1}，N＝{x|x<2}，∴M∩N＝{x|1≤x<2}，∴?R(M∩N)＝{x|x<1或x≥2}.
答案　B
7.设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M?(A∩B)的集合M的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析　由得
∴A∩B＝{(2，－1)}.
由M?(A∩B)，知M＝?或M＝{(2，－1)}.
答案　C
8.(一题多解)(2018·中原名校联考)已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A?B，则实数c的取值范围为(　　)
A.(0，1] B.[1，＋∞)
C.(0，1) D.(1，＋∞)
解析　法一　由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝{x|00}＝{x|0 INCLUDEPICTURE "../../../共享文件/李书营（方正转word）/（完）2020版%20创新设计%20高考总复习%20学生用书%20数学%20人教A版%20理科%20全国%20转word/4S237.TIF" \* MERGEFORMAT
法二　A＝{x|y＝lg(x－x2)＝{x|x－x2>0}＝{x|0答案　B
二、填空题
9.(2016·全国Ⅲ卷改编)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则(?RS)∩T＝________.
解析　易知S＝{x|x≤2或x≥3}，
∴?RS＝{x|2因此(?RS)∩T＝{x|2答案　{x|210.已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为________.
解析　由A∩B＝{1}知，1∈B，又a2＋3≥3，则a＝1.
答案　1
11.(2019·福州质检)已知集合A＝{1，3，4，7}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈A}，则集合A∪B中元素的个数为________.
解析　∵A＝{1，3，4，7}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈A}，
∴B＝{3，7，9，15}，
∴A∪B＝{1，3，4，7，9，15}，
∴集合A∪B中元素的个数为6.
答案　6
12.集合A＝{x|x<0}，B＝{x|y＝lg[x(x＋1)]}，若A－B＝{x|x∈A，且x?B}，则A－B＝________.
解析　由题意知，B＝{x|y＝lg[x(x＋1)]}＝{x|x(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>0}，则A－B＝{x|－1≤x＜0}.
答案　{x|－1≤x＜0}
能力提升题组
(建议用时：10分钟)
13.(2018·河南百校联盟联考)若集合A＝{x|y＝lg(3x－x2)}，B＝，则A∩(?RB)等于(　　)
A.(0，2] B.(2，3) C.(3，5) D.(－2，－1)
解析　由3x－x2>0，得0∴B＝＝(2，5)，
则?RB＝(－∞，2]∪[5，＋∞)，故A∩(?RB)＝(0，2].
答案　A
14.已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为(　　)
A.(－∞，－3]∪[2，＋∞) 　 B.[－1，2]
C.[－2，1] 　 D.[2，＋∞)
解析　集合A＝{x|y＝}＝{x|－2≤x≤2}，因A∪B＝A，则B?A，又B≠?，所以有所以－2≤a≤1.
答案　C
15.(2019·皖南八校联考改编)已知集合A＝{(x，y)|x2＝4y}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B的真子集个数是________.
解析　由得或即A∩B＝{(0，0)，(4，4)}，∴A∩B的真子集个数为22－1＝3.
答案　3
16.集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分所表示的集合是________.
INCLUDEPICTURE "../../../共享文件/李书营（方正转word）/（完）2020版%20创新设计%20高考总复习%20学生用书%20数学%20人教A版%20理科%20全国%20转word/V3.TIF" \* MERGEFORMAT
解析　易知A＝(－1，2)，B＝(－∞，1)，∴?UB＝[1，＋∞)，A∩(?UB)＝[1，2).因此阴影部分表示的集合为A∩(?UB)＝{x|1≤x<2}.
答案　[1，2)