27.2.1相似三角形的判定 第2课时相似三角形的判定定理1,2 同步课件

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27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定




课程讲授





















新知导入







随堂练习




课堂小结
第2课时 相似三角形的判定定理1,2
第二十七章 相似
知识要点
1.三边成比例的两个三角形相似
2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
新知导入
试一试：根据所学知识，完成下列内容。
图中全等的三角形有哪些？

①
③

⑤


④

②
①和③
你的判断依据是什么？
三条边对应相等的两个三角形全等
课程讲授
1
三边成比例的两个三角形相似
问题1：我们学习过判定三角形全等的SSS方法，能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？
画 △ABC 和 △A′B′C′，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？
B
A
C
C′
A′
B′
∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，
1
三边成比例的两个三角形相似
B
A
C
C′
A′
B′
B'C'
AB
A'B'
BC
=
=
C'A'
CA

△ABC∽△A'B'C'
1
三边成比例的两个三角形相似
问题2：运用所学知识，证明你的结论.
B
A
C
C′
A′
B′
已知：如图，△ABC和△A'B'C'中，
B'C'
AB
A'B'
BC
=
=
C'A'
CA
求证：△ABC∽△A'B'C'.
证明：在线段 A'B '(或延长线) 上截取 A'D=AB，过点 D 作 DE∥B'C' ，交A'C'于点 E.
E
D
B'C'
A'D
A'B'
DE
=
=
A'C'
A'E
∴
又∵
B'C'
AB
A'B'
BC
=
=
C'D'
CD
，A'D=AB，
1
三边成比例的两个三角形相似
B
A
C
C′
A′
B′
E
D
∴
B'C'
DE
=
B'C'
BC
A'C'
A'E
=
A'C'
AC
∴ DE=BC，A'E=AC.
∴△A′DE≌△ABC，
∴△ABC∽△A'B'C'
1
三边成比例的两个三角形相似
B
A
C
C′
A′
B′
相似三角形判定的定理1(利用三边判定三角形相似)：
三边_______的两个三角形相似．
成比例
例 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由：
AB =4cm， BC =6cm， AC＝8cm，
A'B' =12cm， B'C' =18cm， A'C'＝24cm，；
1
三边成比例的两个三角形相似
解：∵
AB
A'B'
=
4
12
=
1
3
BC
B'C'
=
6
18
=
1
3
AC
A'C'
=
8
24
=
1
3
B'C'
AB
A'B'
BC
=
=
C'A'
CA
∴
∴△ABC∽△A'B'C'
1
三边成比例的两个三角形相似
练一练：有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1， ， ，乙三角形木框的三边长分别为5， ， ，则甲、乙两个三角形（ ）
A.一定相似
B.一定不相似
C.不一定相似
D.无法判断
A
2
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
问题1：我们学习过判定三角形全等的SAS方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？
画 △ABC 和 △A′B′C′，使∠A=∠A′，夹角的两边边长都是原来三角形边长的k倍，度量这两个三角形的另外的两个角，它们分别相等吗？
B
A
C

C′
A′
B′

∠B=∠B'，∠C=∠C'，
∠A=∠A'
2
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
B
A
C

C′
A′
B′

∠A=∠A'
AB
A'B'
=
C'A'
CA

△ABC∽△A'B'C'
2
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
问题2：运用所学知识，证明你的结论.
已知：如图，△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'

AB
A'B'
=
C'A'
CA
求证：△ABC∽△A'B'C'.
B
A
C

C′
A′
B′

证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D，使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.
E
D
∵ DE∥B′C′，
∴ △A′DE∽△A′B′C′.
2
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
B
A
C

C′
A′
B′

E
D
∴
A'C'
A'E
=
A'B'
A'D
∵ A′D=AB，
AB
A'B'
=
C'A'
CA
∴
A'B'
A'D
=
A'C'
A'E
=
C'A'
CA
又∵ ∠A′ = ∠A.
∴ A′E = AC .
∴ △A′DE ≌ △ABC，
∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
2
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
B
A
C

C′
A′
B′

相似三角形判定的定理2(利用两边和夹角判定三角形相似)：
两边_______且夹角______的两个三角形相似．
成比例
相等
2
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
例 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由：
∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm，
∠A′=120°，A′B′=3 cm ，A′C′=6 cm．
解：∵
AB
A'B'
=
7
3
AC
A'C'
=
14
6
=
7
3
A'C'
AB
A'B'
AC
=
∴
又∵ ∠A′ = ∠A.
∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
2
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
练一练：如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ ）
A.
B.
C.
D.
C
随堂练习
1.已知△ABC的三边长分别为6 cm,7.5 cm,9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当另两边的长是下列哪一组时，这两个三角形相似( )
A.2 cm,3 cm
B.4 cm,5 cm
C.5 cm,6 cm
D.6 cm,7 cm
C
2.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
B
3.在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
D
4.如图，在△ABC中，AB=25，BC=40，AC=20；在△ADE中，AE=12，AD=15，DE=24.试判断这两个三角形是否相似，并说明理由.
解：相似.
理由如下：
∵ = = ，
AC
20
5
AE
12
3
= = ，
AB
25
5
AD
15
3
= = ，
BC
40
5
DE
24
3
∴△ABC∽△ADE.
∴ = = ，
AC
AE
AB
AD
BC
DE
5.如图，已知AD·AC=AB·AE.
（1）求证：△ADE∽△ABC;
∴△ADE∽△ABC.
证明：∵AD·AC=AB·AE，
在△ADE与△ABC 中，
∴ = .
AD
AE
AB
AC
∵ = ,
AD
AE
AB
AC
∠A=∠A，
5.如图，已知AD·AC=AB·AE.
（2）若∠A=45°,∠C=95°，求∠ADE的度数.
∴∠ADE=40°.
解：∵△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B.
∵∠A=45°，∠C=95°,
∴∠B=180°-∠A-∠C
=40°,
课堂小结
相似三角形的判定

判定定理1

判定定理2

三边成比例的两个三角形相似．
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
谢谢
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