27.2.1相似三角形的判定 第3课时相似三角形的判定定理3 同步课件

(共25张PPT)
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定




课程讲授





















新知导入







随堂练习




课堂小结
第2课时 相似三角形的判定定理3
第二十七章 相似
知识要点
1.两角分别相等的两个三角形相似
2.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似
新知导入
看一看：观察大家手中的三角板，试着发现它们的规律。
课程讲授
1
两角分别相等的两个三角形相似
问题1：我们通过观察三角板发现，其中有同样两个锐角（30°与60°，或45°与45°）的两个三角板大小可能不相同，但它们看起来是相似，你能给出一个较为确定的推论吗？


45°
45°


45°
45°


30°
60°


30°
60°
两个对应相等的两个三角形相似
1
两角分别相等的两个三角形相似
问题2：根据所学知识，试着证明你的推论.
B
A
C
C′
A′
B′
证明：在 △ABC 的边 AB（或 AB 的延长线）上，截取 AD=A′B′，过点 D 作 DE // BC，交 AC 于点 E，
已知：如图，△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'
求证：△ABC∽△A'B'C'.
E
D
1
两角分别相等的两个三角形相似
B
A
C
C′
A′
B′
E
D
则有△ADE ∽△ABC，∠ADE =∠B.
∵∠B=∠B′，
∴∠ADE=∠B′.
又∵ AD=A′B′，∠A=∠A′，
∴ △ADE ≌ △A'B'C，
∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
1
两角分别相等的两个三角形相似
B
A
C

C′
A′
B′



相似三角形判定的定理3(利用两角判定三角形相似)：
两角分别______的两个三角形相似．
相等
1
两角分别相等的两个三角形相似
例 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. 求AD的长.
D


A
B
C
E

解：∵ ED⊥AB，
∴∠EDA=90 ° .
又∠C=90 °，∠A=∠A，
∴ △AED ∽△ABC.
AB
AD
AC
AE
=
∴
AB
AD
AC·AE
=
∴
=
10
8×5
=4.
1
两角分别相等的两个三角形相似
归纳：由相似三角形的条件可知，如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似.
1
两角分别相等的两个三角形相似
练一练：有一个角为30°的两个直角三角形一定( )
A.全等
B.相似
C.既全等又相似
D.无法确定
B
2
斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似
问题1：我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定，那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？

B′
A′
C′

C
A
B
相似
2
斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似
问题2：根据所学知识，试着证明你的推论.

B′
A′
C′

C
A
B
已知：如图，Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
∠C=∠C'=90°，
求证：Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.
AB
A'B'
=
C'A'
CA
提示：构已知夹角相等，可以试着证明两条夹角边对应成比例，也可根据已知的一组对边成比例，寻找另一组对边的比例关系，从而证明相似.
2
斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似

B′
A′
C′

C
A
B
由勾股定理，得
证明：设 = k ，
AB
A'B'
=
C'A'
CA
则AB=kA′B′，AC=kA′C′.
BC
B'C'
=
B'C'
=
B'C'
k·B′C′
=
B'C'
=
k
B'C'
AB
A'B'
BC
=
=
C'A'
CA
∴
∴ Rt△A′B′C′ ∽ Rt△ABC.
2
斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似

B′
A′
C′

C
A
B


∠C=∠C'=90°
AB
A'B'
=
C'A'
CA

△ABC∽△A'B'C'
直角三角形相似的判定方法：
斜边和一直角边_______的两个直角三角形相似．
成比例
2
斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似
练一练：在△ABC和△A1B1C1中，∠A=∠A1=90°,添加下列条件不能判定两个三角形相似的是( )
A.∠B=∠B1
B.
C.
D.
D
随堂练习
1.下列图形中，△ABC与△DEF不一定相似的是（ ）
A
2.如图，在△ABC中，∠AED=∠B，则下列等式成立的是( )
A.
B.
C.
D.
C
3.如图，在△ABC中,D为AB边上一点，且∠BCD=∠A,已知BC= ,AB=3，则BD=__________.
3
8
是
4.已知Rt△ABC中，∠C=90°,AB=15 cm,BC=8 cm，另一个Rt△DEF中，∠D=90°,EF= cm,DE=6 cm,则△ABC与△DEF______（填“是”或“不是”）相似的两个三角形.
4
45
5.如图，已知∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，当AB的长为________时，△ACB与△ADC相似.
4
6.如图，AB∥DE，AC∥DF，点B,E,C,F在一条直线上，求证：△ABC∽△DEF.
∴△ABC∽△DEF.
证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
∠ACB=∠F，
AC∥DF，
7.已知，AB是半圆的直径，AC,BC分别与半圆相交于点E,D，BE与AD相交于点F，求证：EF·BF=AF·DF.
证明：由题意，得∠AEF=∠BDF.
又∵∠AFE=∠BFD，
∴△AEF∽△BDF，
即EF·BF=AF·DF.
∴ = ,
AF
EF
BF
DF
课堂小结

直角三角形相似的判定
两角分别相等的两个三角形相似．
两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似.
相似三角形的判定

判定定理3

斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似．
谢谢
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