第二十八章 锐角三角函数 章末复习与小结 课件

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章末复习与小结
第二十八章 锐角三角函数
专题选讲
知识网络
重难突破
课后习题
知识网络
直角三角形中的边角关系
锐角三角函数
解直角三角形
实际问题
方法专题15 求锐角三角函数值常用的方法
本章专题索引
专题选讲
方法专题16 巧用锐角三角函数解决实际问题
专题选讲—— 求锐角三角函数值常用的方法
类型一 回归定义
例 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，tanA= ，求AB的长和sinB的值.
解：∵在Rt△ABC中，
∴AC=12,
∠C=90°，BC=6，tanA= = ,
∴ ,
∴sinB= = = .
类型一 回归定义
在求某一个锐角三角函数值时，应首先考虑锐角三角函数的定义，观察该锐角三角函数应是哪两条边的比，再求对应边的长度.
方法归纳
类型二 巧设参数
例 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AD⊥BC于点D，若BD∶CD=3∶2，则tanB的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
D
类型二 巧设参数
当已知条件是线段之比或某锐角三角函数值时，考虑设一参数，把直角三角形的三边都用该参数的代数式表示出来，然后求解.
方法归纳
类型三 等角代换
例 如图，A,B,C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
B
类型三 等角代换
如果两个锐角相等，那么这两个锐角的三角函数值也相等.当求某个锐角的三角函数值发生困难时，可考虑能否用一个与之相等且易求三角函数值的角来代换.
方法归纳
类型四 构造直角三角形
例 在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，则tanB等于（ ）
A.
B.
C.
D.
B
类型四 构造直角三角形
当所求的锐角不在直角三角形中时，考虑添加辅助线建立直角三角形，把该锐角摆放在直角三角形中，再根据已知条件求解.
方法归纳
专题选讲—— 巧用锐角三角函数解决实际问题
类型一 构造单一直角三角形解决实际问题
例 如图，小明沿着坡比为1∶3的山坡向上走了600 m（即AB的长），则他升高了（ ）
A. m
B. m
C.300 m
D.200 m
C
类型二 构造共直角边的两直角三角形解决实际问题
例 如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=6 km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（ ）
A. km
B. km
C.4 km
D. km
A
类型三 构造不共直角边的两直角三角形解决实际问题
例 如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24米，小明在点E（B，E，D在一条直线上）处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8米到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°.已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB的高度.（结果精确到0.1米）
类型三 构造不共直角边的两直角三角形解决实际问题
解：延长HF交CD于点N，延长FH交AB于点M，
由题意可得MB=HG=FE=ND=1.6米，
HF=GE=8米，
MF=BE，HN=GD，MN=BD=24米.
∵AB=CD，
∴AB-BM=CD-ND，
即AM=CN.
M
N
类型三 构造不共直角边的两直角三角形解决实际问题
答：教学楼AB的高度约为13.3米.
设AM=CN=x米.
在Rt△AFM中，∠AFM=45°,
∴MF=AM=x米.
在Rt△CNH中，∠CHN=30°，
∵HF=MF+HN-MN=8米，
解得x≈11.7，
∴AM≈11.7米.
∴AB=AM+BM=11.7+1.6=13.3（米）.
∴x+ x-24=8，
∴ (米).
M
N
类型三 构造不共直角边的两直角三角形解决实际问题
解直角三角形实际应用题的常见图形类型及辅助线作法如下：
方法归纳
类型四 构造特殊的四边形和直角三角形解决实际问题
例 如图，某水库拦水大坝的横断面为梯形ABCD，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB= 米，背水坡CD的坡度i=1∶ ，则背水坡的坡长CD为________米.
20
类型四 构造特殊的四边形和直角三角形解决实际问题
对于解直角三角形的实际应用题，要灵活运用转化思想，通常是根据以下方法和步骤解决：（1）有图的要首先将题干中的已知量在图中表示出来，找到与已知量和未知量相关联的三角形，弄清楚已知条件中各量之间的关系.
方法归纳
类型四 构造特殊的四边形和直角三角形解决实际问题
（2）若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算；若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决，其中作某边上的高是常用的辅助线.（3）在构造直角三角形时，要注意把所有的特殊角或已知的三角函数值的角、已知条件都能摆在已建立的直角三角形中.
方法归纳
重难突破
锐角三角函数
1
C
例1 △ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于点D，下列四个选项中，错误的是( )
A.sinα=cosα
B.tanC=2
C.sinβ=cosβ
D.tanα=1
解直角三角形
2
例2 （8分）如图，AD是△ABC的中线，tanB= ，cosC= ，AC= .求：
（1）BC的长；
（2）sin∠ADC的值.
解直角三角形
2
（1分）
（2分）
（3分）
（4分）
解：（1）过点A作AE⊥BC于点E．
在Rt△ACE中，cosC= ,AC= ,
∴CE=AC·cosC=1，
∴AE= =1.
在Rt△ABE中，
tanB= = ，
AE
BE
∴BE=3AE=3.
∴BC=BE+CE=3+1=4.
解直角三角形
2
（6分）
（8分）
（2）∵AD是△ABC的中线，
∴CD= BC=2，
∴DE=CD-CE=2-1=1.
∵AE=1,
∴DE=AE.
又∵AE⊥BC，
∴∠ADC=45°，
∴sin∠ADC= ．
解直角三角形的应用
3
例3 （6分）为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶.在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB的距离.（结果保留根号）
解直角三角形的应用
3
（1分）
（3分）
（5分）
（6分）
解：过点P作PC⊥AB于点C.
由题意可知∠PAC=60°，∠PBC=30°.
在Rt△PAC中，
∵ =tan∠PAC，
在Rt△PBC中，
∴AC= PC.
∵ =tan∠PBC，
∴BC= PC.
∵AB=AC+BC=10×40=400(米)，
∴ PC+ PC=400，
∴PC=100 米.
答：建筑物P到赛道AB的距离为100 米.
课后习题
第二十八章 锐角三角函数 复习题28P84—P85
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