4.3.2 对数的运算
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解对数的运算性质．(重点)
2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)
3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易混点)
1.借助对数的运算性质化简、求值，培养数学运算素养．
2．通过学习换底公式，培养逻辑推理素养.
1．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
思考：当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？
提示：不一定．
2．对数的换底公式
若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，
则有logab＝.
1．计算log84＋log82等于( )
A．log86 B．8
C．6 D．1
D [log84＋log82＝log88＝1.]
2．计算log510－log52等于( )
A．log58 B．lg 5
C．1 D．2
C [log510－log52＝log55＝1.]
3．log23·log32＝________.
1 [log23·log32＝×＝1.]
对数运算性质的应用
【例1】 计算下列各式的值：
(1)lg －lg ＋lg ；
(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；
(3).
[解] (1)原式＝(5lg 2－2lg 7)－·lg 2＋(2lg 7＋lg 5)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5
＝(lg 2＋lg 5)
＝lg 10
＝.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2
＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
(3)原式＝
＝
＝
＝.
1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．
2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法：
(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；
(2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．
1．求下列各式的值：
(1)lg25＋lg 2·lg 50；
(2)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25.
[解] (1)原式＝lg25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg25＋1－lg25＝1.
(2)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25＝2lg 2＋lg25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5
＝2(lg 2＋lg 5)＋lg2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2＋lg 5＋lg 2＝3.
对数的换底公式
【例2】 (1)计算：
(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)．
(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645(用a，b表示)．
[解] (1)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)＝(log253＋log2252＋log235)·(log5323＋log5222＋log52)＝log25·(1＋1＋1)log52＝·3＝13.
(2)∵18b＝5，∴b＝log185.
又log189＝a，
∴log3645＝＝＝＝.
(变结论)在本例(2)的条件下，求log915(用a，b表示)
[解] ∵log189＝a，∴log183＝.又log185＝b，
∴log915＝＝＝＝.
1．在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式．
2．常用的公式有：logab·logba＝1，loganbm＝logab，logab＝等．
2．求值：
(1)log23·log35·log516；
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
[解] (1)原式＝··＝＝＝4.
(2)原式＝
＝
＝·
＝.
对数运算性质的综合应用
[探究问题]
1．若2a＝3b，则等于多少？
提示：设2a＝3b＝t，则a＝log2t，b＝log3t，∴＝log23.
2．对数式logab与logba存在怎样的等量关系？
提示：logab·logba＝1，
即logab＝.
【例3】 已知3a＝5b＝c，且＋＝2，求c的值．
[思路点拨]
[解] ∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，
∴＝logc3，＝logc5，
∴＋＝logc15.
由logc15＝2得c2＝15，即c＝.
1．把本例条件变为“3a＝5b＝15”，求＋的值．
[解] ∵3a＝5b＝15，∴a＝log315，b＝log515，
∴＋＝log153＋log155＝log1515＝1.
2．若本例条件改为“若a，b是正数，且3a＝5b＝c”，比较3a与5b的大小．
[解] ∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，
∴3a－5b＝3log3c－5log5c
＝－＝
＝<0，
∴3a<5b.
应用换底公式应注意的两个方面
?1?化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.
?2?题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式.
1．应用对数的运算法则，可将高一级(乘、除、乘方)的运算转化为低一级(加、减、乘)的运算．
2．换底公式反映了数学上的化归思想，其实质是将不同底的对数运算问题转化为同底的对数运算．
3．熟练掌握对数的运算法则，注意同指数运算法则区别记忆．
1．思考辨析
(1)log2x2＝2log2x.( )
(2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)．( )
(3)logaM·logaN＝loga(M＋N)．( )
(4)logx2＝.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．计算log92·log43＝( )
A．4 B．2
C. D.
D [log92·log43＝·＝·＝.]
3．设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝( )
A. B.
C．ab D．a＋b
B [∵10a＝2，∴lg 2＝a，
∴log26＝＝＝.]
4．计算：(1)log535－2log5＋log57－log51.8；
(2)log2＋log212－log242－1.
[解] (1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.
(2)原式＝log2＋log212－log2－log22
＝log2＝log2
＝log22－＝－.
课件36张PPT。第四章 指数函数与对数函数4.3 对数
4.3.2 对数的运算点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十八) 对数的运算
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.＝( )
A. B．2
C. D.
B [原式＝log39＝log332＝2log33＝2.]
2．已知3a＝2，则log38－2log36＝( )
A．a－2 B．5a－2
C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1
A [∵3a＝2，∴a＝log32，∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋log33)＝3a－2(a＋1)＝a－2.]
3．若lg x－lg y＝a，则lg3－lg3等于( )
A．3a B.a
C．a D.
A [∵lg x－lg y＝a，∴lg 3－lg 3＝3lg －3lg ＝3lg x－3lg y＝3a.]
4．若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是( )
①logax2＝2logax；②logax2＝2loga|x|；
③loga(xy)＝logax＋logay；
④loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|.
A．②④ B．①③ C．①④ D．②③
B [∵xy>0，∴①中，若x<0，则不成立；③中，若x<0，y<0也不成立，故选B.]
5．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝( )
A. B．10
C．20 D．100
A [∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，∴＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m2＝10.又∵m＞0，∴m＝.故选A.]
二、填空题
6．lg ＋lg ＝________.
1 [lg ＋lg ＝lg ＝lg 10＝1.]
7．若logab·log3a＝4，则b＝________.
81 [∵logab·log3a＝4，∴·＝4，即lg b＝4lg 3＝lg 34，∴b＝34＝81.]
8．计算：log2·log3·log5＝________.
－12 [原式＝··＝＝－12.]
三、解答题
9．用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1)lg(xyz)；(2)lg；(3)lg；(4)lg.
[解] (1)lg(xyz)＝lg x＋lg y＋lg z.
(2)lg＝lg(xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z.
(3)lg ＝lg (xy3)－lg
＝lg x＋3lg y－lg z.
(4)lg ＝lg －lg (y2z)
＝lg x－2lg y－lg z.
10．计算：
(1)；
(2)lg －lg ＋lg －log92·log43.
[解] (1)原式＝＝＝1.
(2)法一：原式＝lg ＋lg －×
＝lg－×
＝lg 1－＝－.
法二：原式＝(lg 1－lg 2)－(lg 5－lg 8)＋(lg 5－lg 4)－×＝－lg 2＋lg 8－lg 4－×＝－(lg 2＋lg 4)＋lg 8－＝－lg(2×4)＋lg 8－＝－.
[等级过关练]
1．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080. 则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)( )
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
D [由已知得，lg ＝lg M－lg N≈361×lg 3－80×lg 10≈361×0.48－80＝93.28＝lg 1093.28.故与最接近的是1093.]
2．已知2lg(x－2y)＝lg x＋lg y，则的值为( )
A．1 B．4
C．1或4 D.或4
B [由对数的运算性质可得，lg(x－2y)2＝lg(xy)，
所以(x－2y)2＝xy，即x2－5xy＋4y2＝0，
所以(x－y)(x－4y)＝0，所以＝1或＝4，
又x－2y>0，x>0，y>0，所以>2，所以＝4.]
3.＝________.
1 [＝＝＝＝＝1.]
4．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于________．
100 [∵lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，∴lg a＋lg b＝－＝2，∴ab＝100.]
5．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py.
(1)求p；
(2)求证：－＝.
[解] (1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k>0，且k≠1)，
则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k.
由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·.
∵log3k≠0，∴p＝2log34.
(2)证明：－＝－＝logk6－logk3＝logk2，
又＝logk4＝logk2，
∴－＝.
