4.4 对数函数
第1课时 对数函数的概念、图象及性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域．(重点、难点)
2．能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质．(重点)
1.通过学习对数函数的图象，培养直观想象素养．
2．借助对数函数的定义域的求解，培养数学运算的素养.
1．对数函数的概念
函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
思考1：函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？
提示：不是，其不符合对数函数的形式．
2．对数函数的图象及性质
a的范围
0
a>1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
定点
(1,0)，即x＝1时，y＝0
单调性
在(0，＋∞)上是减函数
在(0，＋∞)上是增函数
思考2：对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？
提示：底数a与1的关系决定了对数函数的升降．
当a>1时，对数函数的图象“上升”；当03．反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．
1．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为( )
A．5 B. C. D.
A [由图可知，a>1，故选A.]
2．若对数函数过点(4,2)，则其解析式为________．
f(x)＝log2x [设对数函数的解析式为f(x)＝logax(a>0且a≠1)．由f(4)＝2得loga4＝2，∴a＝2，即f(x)＝log2x.]
3．函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为________．
(－1，＋∞) [由x＋1>0得x>－1，故f(x)的定义域为(－1，＋∞)．]
对数函数的概念及应用
【例1】 (1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；
②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝log(－1)x；
④y＝log3x；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；
⑥y＝logx.其中是对数函数的为( )
A．③④⑤ B．②④⑥
C．①③⑤⑥ D．③⑥
(2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________.
(3)已知对数函数的图象过点(16,4)，则f＝__________.
(1)D (2)4 (3)－1 [(1)由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D.
(2)因为函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，
所以
解得a＝4.
(3)设对数函数为f(x)＝logax(a>0且a≠1)，
由f(16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2，
∴f(x)＝log2x，
∴f＝log2＝－1.]
判断一个函数是对数函数的方法
1．若函数f(x)＝(a2＋a－5)logax是对数函数，则a＝________.
2 [由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.
又a>0且a≠1，所以a＝2.]
对数函数的定义域
【例2】 求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝＋ln(x＋1)；
(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)．
[解] (1)要使函数f(x)有意义，则logx＋1>0，即logx>－1，解得0(2)函数式若有意义，需满足即解得－1(3)由题意得解得故函数y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为.
求对数型函数的定义域时应遵循的原则
?1?分母不能为0.
?2?根指数为偶数时，被开方数非负.
?3?对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.
2．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg(x－2)＋；
(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．
[解] (1)要使函数有意义，需满足
解得x>2且x≠3，
所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．
(2)要使函数有意义，需满足
解得－1所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．
对数函数的图象问题
[探究问题]
1．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？
提示：作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0.
2．函数y＝ax与y＝logax(a>0且a≠1)的图象有何特点？
提示：两函数的图象关于直线y＝x对称．
【例3】 (1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为( )
A B C D
(2)已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
[思路点拨] (1)结合a>1时y＝a－x＝x及y＝logax的图象求解．
(2)由f(－5)＝1求得a，然后借助函数的奇偶性作图．
(1)C [∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C.]
(2)[解] ∵f(x)＝loga|x|，∴f(－5)＝loga5＝1，即a＝5，
∴f(x)＝log5|x|，
∴f(x)是偶函数，其图象如图所示．
1．把本例(1)的条件“a>1”去掉，函数“y＝logax”改为“y＝loga(－x)”，则函数y＝a－x与y＝loga(－x)的图象可能是( )
C [∵在y＝loga(－x)中，－x＞0，∴x＜0，
∴图象只能在y轴的左侧，故排除A，D；
当a＞1时，y＝loga(－x)是减函数，
y＝a－x＝x是减函数，故排除B；
当0＜a＜1时，y＝loga(－x)是增函数，
y＝a－x＝x是增函数，∴C满足条件，故选C.]
2．把本例(2)改为f(x)＝＋2，试作出其图象．
[解] 第一步：作y＝log2x的图象，如图(1)所示．
(1) (2)
第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图(2)所示．
第三步：将y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图(3)所示．
第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示．
(3) (4)
函数图象的变换规律
?1?一般地，函数y＝f?x±a?＋b?a，b为实数?的图象是由函数y＝f?x?的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.
?2?含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y＝f?|x－a|?的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f?x?|的图象与y＝f?x?的图象在f?x?≥0的部分相同，在f?x?<0的部分关于x轴对称.
1．判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a>0且a≠1)这种形式．
2．在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．
3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.
1．思考辨析
(1)对数函数的定义域为R.( )
(2)函数y＝loga(x＋2)恒过定点(－1,0)．( )
(3)对数函数的图象一定在y轴右侧．( )
(4)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝2＋log3x
B．y＝loga(2a)(a>0，且a≠1)
C．y＝logax2(a>0，且a≠1)
D．y＝ln x
D [结合对数函数的形式y＝logax(a>0且a≠1)可知D正确．]
3．函数f(x)＝＋lg(5－3x)的定义域是( )
A. B.
C. D.
C [由得
即1≤x<.]
4．已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图象；
(2)若f(a)[解] (1)作出函数y＝log3x的图象如图所示．
(2)令f(x)＝f(2)，
即log3x＝log32，解得x＝2.
由图象知：
当0所以所求a的取值范围为0课件38张PPT。第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数
第1课时 对数函数的概念、图象及性质点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 对数函数及其性质的应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握对数函数的单调性，会进行同底对数和不同底对数大小的比较．(重点)
2．通过指数函数、对数函数的学习，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用．(重点)
1.通过学习对数函数的单调性的应用，培养逻辑推理素养．
2．借助对数函数性质的综合应用的学习，提升逻辑推理及数学运算素养.
比较对数值的大小
【例1】 比较下列各组值的大小：
(1)log5与log5；
(2)log2与log2；
(3)log23与log54.
[解] (1)法一(单调性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而<，所以log5法二(中间值法)：因为log5<0，log5>0，
所以log5(2)法一(单调性法)：由于log2＝，log2＝，
又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，
且>，所以0>log2>log2，
所以<，所以log2法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝logx及y＝logx的图象，由图易知：log2(3)取中间值1，
因为log23>log22＝1＝log55>log54，
所以log23>log54.
比较对数值大小的常用方法
?1?同底数的利用对数函数的单调性.
?2?同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
?3?底数和真数都不同，找中间量.
提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小.
1．比较下列各组值的大小：
(1)log0.5，log0.6；
(2)log1.51.6，log1.51.4；
(3)log0.57，log0.67；
(4)log3π，log20.8.
[解] (1)因为函数y＝logx是减函数，且0.5<0.6，所以log0.5>log0.6.
(2)因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4.
(3)因为0>log70.6>log70.5，
所以<，即log0.67(4)因为log3π>log31＝0，log20.8log20.8.
解对数不等式
【例2】 已知函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；
(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．
[思路点拨] (1)直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合．
(2)分a＞1和0＜a＜1求解不等式得答案．
[解] (1)由解得1＜x＜3，∴函数φ(x)的定义域为{x|1＜x＜3}．
(2)不等式f(x)≤g(x)，即为loga(x－1)≤loga(6－2x)，
①当a＞1时，不等式等价于
解得1②当0＜a＜1时，不等式等价于
解得≤x<3.
综上可得，当a＞1时，不等式的解集为；
当0＜a＜1时，不等式的解集为.
常见的对数不等式的三种类型
?1?形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；
?2?形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解；
?3?形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解.
2．(1)已知loga>1，求a的取值范围；
(2)已知log0.7(2x)[解] (1)由loga>1得loga>logaa.
①当a>1时，有a<，此时无解．
②当0所以a的取值范围是.
(2)因为函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
所以由log0.7(2x)1.
即x的取值范围是(1，＋∞)．
对数函数性质的综合应用
[探究问题]
1．类比y＝af(x)单调性的判断法，你能分析一下y＝log(2x－1)的单调性吗？
提示：形如y＝af(x)的单调性满足“同增异减”的原则，由于y＝log(2x－1)由函数y＝logt及t＝2x－1复合而成，且定义域为2x－1>0，即x>，结合“同增异减”可知，
y＝log(2x－1)的减区间为.
2．如何求形如y＝logaf(x)的值域？
提示：先求y＝f(x)的值域，注意f(x)>0，在此基础上，分a>1和0【例3】 (1)已知y＝loga(2－ax)是[0,1]上的减函数，则a的取值范围为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(0,2) D．[2，＋∞)
(2)函数f(x)＝log(x2＋2x＋3)的值域是________．
[思路点拨] (1)结合对数函数及y＝2－ax的单调性，构造关于a的不等式组，解不等式组可得．
(2)先求真数的范围，再根据对数函数的单调性求解．
(1)B (2)(－∞，－1] [(1)∵f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，且y＝2－ax在[0,1]上是减函数，
∴
即∴∴1＜a＜2.
(2)f(x)＝log(x2＋2x＋3)＝log[(x＋1)2＋2]，
因为(x＋1)2＋2≥2，
所以log[(x＋1)2＋2]≤log2＝－1，所以函数f(x)的值域是(－∞，－1]．]
1．求本例(2)的函数f(x)在[－3,1]上的值域．
[解] ∵x∈[－3,1]，
∴2≤x2＋2x＋3≤6，
∴log6≤log(x2＋2x＋3)≤log2，
即－log26≤f(x)≤－1，
∴f(x)的值域为[－log26，－1]．
2．求本例(2)的单调区间．
[解] ∵x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2>0，
又y＝logt在(0，＋∞)为减函数，
且t＝x2＋2x＋3在(－∞，－1)上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数，故由复合函数单调性可知，y＝log(x2＋2x＋3)单调递增区间为(－∞，－1)，单调递减区间为[－1，＋∞)．
1．已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．
2．求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．
1．比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性，若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a>1和02．解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用．
1．思考辨析
(1)y＝log2x2在[0，＋∞)上为增函数．( )
(2)y＝logx2在(0，＋∞)上为增函数．( )
(3)ln x<1的解集为(－∞，e)．( )
(4)函数y＝log(x2＋1)的值域为[0，＋∞)．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( )
A．a>c>b B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
D [a＝log32log22＝1，由对数函数的性质可知log523．函数f(x)＝log2(1＋2x)的单调增区间是______．
[易知函数f(x)的定义域为－，＋∞，又因为函数y＝log2x和y＝1＋2x都是增函数，所以f(x)的单调增区间是.]
4．已知a＞0且满足不等式22a＋1＞25a－2.
(1)求实数a的取值范围；
(2)求不等式loga(3x＋1)(3)若函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上有最小值为－2，求实数a的值．
[解] (1)∵22a＋1＞25a－2，∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，∴a＜1，即0＜a＜1.∴实数a的取值范围是(0,1)．
(2)由(1)得，0＜a＜1，∵loga(3x＋1)∴
即解得即不等式的解集为.
(3)∵0＜a＜1，∴函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上为减函数，∴当x＝3时，y有最小值为－2，即loga5＝－2，∴a－2＝＝5，解得a＝.
课件33张PPT。第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数
第2课时 对数函数及其性质的应用点击右图进入…Thank you for watching !第3课时 不同函数增长的差异
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．(重点)
2．区分指数函数、对数函数以及一次函数增长速度的差异．(易混点)
3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．(难点)
借助三个函数模型的增长特征培养数学运算、数学建模的素养.
三种函数模型的性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化趋势
随x增大逐渐近似与y轴平行
随x增大逐渐近似与x轴平行
保持固定增长速度
增长速度
①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢；
②存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax
1．已知变量y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是( )
A．y减少1个单位
B．y增加1个单位
C．y减少2个单位
D．y增加2个单位
C [结合函数y＝1＋2x的变化特征可知C正确．]
2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是( )
A．y＝ex B．y＝ln x
C．y＝2x D．y＝e－x
A [结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确．]
3．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的序号是________．
②③ [结合图象可知②③正确，故填②③.]
几类函数模型的增长差异
【例1】 (1)下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝2 019x B．y＝2019
C．y＝log2 019x D．y＝2 019x
(2)下面对函数f(x)＝logx，g(x)＝x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是( )
A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢
B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快
C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变
D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快
(1)A (2)C [(1)指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.
(2)观察函数f(x)＝logx，g(x)＝x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：
函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象递减速度不变．]
常见的函数模型及增长特点
?1?线性函数模型
线性函数模型y＝kx＋b?k>0?的增长特点是直线上升，其增长速度不变.
?2?指数函数模型
指数函数模型y＝ax?a>1?的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.
?3?对数函数模型
对数函数模型y＝logax?a>1?的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.
1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1 024
37 768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
关于x呈指数函数变化的变量是________．
y2 [以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.]
指数函数、对数函数与一次函数模型的比较
【例2】 函数f(x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f与g，f(2 019)与g(2 019)的大小．
[解] (1)C1对应的函数为g(x)＝2x，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵f(1)＝g(1)，f(2)＝g(2)
从图象上可以看出，当1＜x＜2时，f(x)＜g(x)，
∴f＜g；
当x＞2时，f(x)＞g(x)，
∴f(2 019)＞g(2 019)．
由图象判断指数函数、一次函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数.
2．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
[解] (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当xf(x)；当x1g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．
直线上升、指数爆炸、对数增长
对于直线y＝kx＋b(k≥0)、指数函数y＝ax(a>1)、对数函数y＝logbx(b>1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变.
1．思考辨析
(1)函数y＝2x比y＝2x增长的速度更快些．( )
(2)当a>1，n>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logax(3)函数y＝logx衰减的速度越来越慢．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝1 B．y＝x
C．y＝3x D．y＝log3x
C [结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象可知(图略)，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x.]
3．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案．
乙、甲、丙 [将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出．]
4．画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．
[解] 函数f(x)与g(x)的图象如图所示．
根据图象易得：当0≤x<4时，f(x)>g(x)；
当x＝4时，f(x)＝g(x)；
当x>4时，f(x)课件28张PPT。第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数
第3课时 不同函数增长的差异点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十九) 对数函数的概念、图象及性质
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)
C [要使函数有意义，则解得x＞2且x≠3，故选C.]
2．若函数y＝f(x)是函数y＝3x的反函数，则f的值为( )
A．－log23 B．－log32
C. D.
B [由题意可知f(x)＝log3x，
所以f＝log3＝－log32，
故选B.]
3．如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则( )
A．0B．0C．a>b>1
D．b>a>1
B [作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知04．函数y＝log2x的定义域是[1,64)，则值域是( )
A．R B．[0，＋∞)
C．[0,6) D．[0,64)
C [由函数y＝log2x的图象可知y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，因此，当x∈[1,64)时，y∈[0,6)．]
5．函数f(x)＝loga(x＋2)(0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A [∵f(x)＝loga(x＋2)(0＜a＜1)，∴其图象如下图所示，故选A.
]
二、填空题
6．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________.
－7 [由f(3)＝1得log2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7.]
7．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
(4，－1) [y＝logax的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.]
8．已知对数函数f(x)的图象过点(8，－3)，则f(2)＝________.
－ [设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
则－3＝loga8，∴a＝，
∴f(x)＝logx，f(2)＝log(2)＝－log2(2)＝－.]
三、解答题
9．若函数y＝loga(x＋a)(a>0且a≠1)的图象过点(－1，0)．
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域．
[解] (1)将(－1,0)代入y＝loga(x＋a)(a>0，a≠1)中，有0＝loga(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2.
(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2>0，解得x>－2，
所以函数的定义域为{x|x>－2}．
10．若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg(x＋1)，求f(x)的表达式，并画出大致图象．
[解] ∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.
又当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∴f(－x)＝lg(1－x)．
又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－lg(1－x)，
∴f(x)的解析式为f(x)＝
∴f(x)的大致图象如图所示．
[等级过关练]
1．函数y＝ln(1－x)的定义域为( )
A．(0,1) B．[0,1)
C．(0,1] D．[0,1]
B [由得0≤x<1，故选B.]
2．已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是( )
A B C D
B [由lg a＋lg b＝0，得lg(ab)＝0，所以ab＝1，故a＝，所以当0＜b＜1时，a＞1；当b＞1时，0＜a＜1.
又因为函数y＝－logbx与函数y＝logbx的图象关于x轴对称．利用这些信息可知选项B符合0＜b＜1且a＞1的情况．]
3．已知函数f(x)＝若f(a)＝，则a＝________.
－1或 [当x>0时，f(x)＝log2x，
由f(a)＝得log2a＝，即a＝.
当x≤0时，f(x)＝2x，由f(a)＝得2a＝，a＝－1.
综上a＝－1或.]
4．设函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2 019)＝8，则f(x)＋f(x)＋…＋f(x)的值等于________．
16 [∵f(x)＋f(x)＋f(x)＋…＋f(x)
＝logax＋logax＋logax＋…＋logax
＝loga(x1x2x3…x2 019)2
＝2loga(x1x2x3…x2 019)＝2×8＝16.]
5．若不等式x2－logmx<0在内恒成立，求实数m的取值范围．
[解] 由x2－logmx<0，得x2要使x2∵x＝时，y＝x2＝，∴只要x＝时，y＝logm≥＝logmm，∴≤m，即≤m.
又0即实数m的取值范围是.
课时分层作业(三十) 对数函数及其性质的应用
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是( )
A．(－∞，7] B．(2,7]
C．[7，＋∞) D．(2，＋∞)
B [由lg(2x－4)≤1，得0<2x－4≤10，
即22．函数f(x)＝|logx|的单调递增区间是( )
A. B．(0,1]
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
D [f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．
]
3．已知loga>logb>0，则下列关系正确的是( )
A．0C．1A [由loga>0，logb>0，可知a，b∈(0,1)，
又loga>logb，作出图象如图所示，
结合图象易知a>b，∴0]
4．若a＝20.2，b＝log4(3.2)，c＝log2(0.5)，则( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
A [∵a＝20.2＞1＞b＝log4(3.2)＞0＞c＝log2(0.5)，∴a＞b＞c.故选A.]
5．若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为( )
A. B. C．2 D．4
B [当a>1时，a＋loga2＋1＝a，loga2＝－1，a＝(舍去)．
当0∴loga2＝－1，a＝.]
二、填空题
6．函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的值域是________．
[－2，＋∞) [－x2＋3x＋4＝－2＋≤，
∴有0<－x2＋3x＋4≤，
∴根据对数函数y＝log0.4x的图象(图略)即可得到：
log0.4(－x2＋3x＋4)≥log0.4＝－2，
∴原函数的值域为[－2，＋∞)．]
7．若loga<1，则a的取值范围是________．
∪(1，＋∞) [原不等式等价于或
解得01，
故a的取值范围为∪(1，＋∞)．]
8．若y＝loga(ax＋3)(a>0且a≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
(1,3] [因为y＝loga(ax＋3)(a>0且a≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数，
所以
解得1三、解答题
9．已知函数f(x)＝ln(3＋x)＋ln(3－x)．
(1)求函数y＝f(x)的定义域；
(2)判断函数y＝f(x)的奇偶性．
[解] (1)要使函数有意义，则解得－3＜x＜3，故函数y＝f(x)的定义域为(－3,3)．
(2)由(1)可知，函数y＝f(x)的定义域为(－3,3)，关于原点对称．
对任意x∈(－3,3)，则－x∈(－3,3)．
∵f(－x)＝ln(3－x)＋ln(3＋x)＝f(x)，
∴由函数奇偶性可知，函数y＝f(x)为偶函数．
10．已知函数y＝(log2x－2)，2≤x≤8.
(1)令t＝log2x，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围；
(2)求该函数的值域．
[解] (1)y＝(t－2)(t－1)＝t2－t＋1，
又2≤x≤8，∴1＝log22≤log2x≤log28＝3，即1≤t≤3.
(2)由(1)得y＝2－，1≤t≤3，
当t＝时，ymin＝－；
当t＝3时，ymax＝1，∴－≤y≤1，
即函数的值域为.
[等级过关练]
1．函数f(x)＝lg是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
A [f(x)定义域为R，f(－x)＋f(x)＝lg＋lg＝lg＝lg 1＝0，
∴f(x)为奇函数，故选A.]
2．当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是( )
A．(，2) B．(1，)
C. D.
C [当0＜x≤时，函数y＝4x的图象如图所示，若不等式4x＜logax恒成立，则y＝logax的图象恒在y＝4x的图象的上方(如图中虚线所示)，∵y＝logax的图象与y＝4x的图象交于点时，a＝，故虚线所示的y＝logax的图象对应的底数a应满足＜a＜1，故选C.
]
3．函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为________．
－ [f(x)＝log2·log(2x)＝log2x·2log2(2x)＝log2x(1＋log2x)．设t＝log2x(t∈R)，则原函数可以化为y＝t(t＋1)＝2－(t∈R)，故该函数的最小值为－.故f(x)的最小值为－.]
4．设常数a＞1，实数x，y满足logax＋2logxa＋logxy＝－3，若y的最大值为，则x的值为________．
[实数x，y满足logax＋2logxa＋logxy＝－3，
化为logax＋＋＝－3.
令logax＝t，则原式化为logay＝－2＋.
∵a＞1，∴当t＝－时，y取得最大值，
∴loga＝，解得a＝4，∴log4x＝－，
∴x＝4－＝.]
5．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，其中0(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．
[解] (1)要使函数有意义，则有
解得－3(2)函数可化为f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]，因为－3因为0即f(x)min＝loga4，由loga4＝－4，得a－4＝4，所以a＝4－＝.
课时分层作业(三十一) 不同函数增长的差异
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．当a>1时，有下列结论：
①指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快；
②指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快；
③对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快；
④对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快．
其中正确的结论是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
B [结合指数函数及对数函数的图象可知①④正确．故选B.]
2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3
C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1
B [在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.]
3．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
C [用排除法，当x＝1时，排除B项；当x＝2时，排除D项；当x＝3时，排除A项．]
4．在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表．
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－1.01
0.01
0.98
2.00
则x，y最合适的函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
D [根据x＝0.50，y＝－1.01，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.]
5．四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
D [显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.]
二、填空题
6．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________ .
y＝x2 [当x变大时，x比ln x增长要快，
∴x2要比xln x增长的要快．]
7．下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________．
①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.
① [结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填①.]
8．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．
(4) (1) (3) (2) [A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．]
三、解答题
9．函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln x＋1，h(x)＝x的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．
[解] 由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x，曲线C3对应的函数是g(x)＝ln x＋1.
由题图知，
当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；
当1g(x)>h(x)；
当ef(x)>h(x)；
当ah(x)>f(x)；
当bg(x)>f(x)；
当cf(x)>g(x)；
当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．
10．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．
t(年)
1
2
3
4
5
6
h(米)
0.6
1
1.3
1.5
1.6
1.7
[解] 据表中数据作出散点图如图：
由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理．
将(2,1)代入到h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.即h＝log3(t＋1)．
当t＝8时，h＝log3(8＋1)＝2，
故可预测第8年松树的高度为2米．
[等级过关练]
1．函数y＝2x－x2的图象大致是( )
A B C D
A [分别画出y＝2x，y＝x2的图象，由图象可知(图略)，有3个交点，∴函数y＝2x－x2的图象与x轴有3个交点，故排除B，C；当x<－1时，y<0，故排除D，故选A.]
2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
A B C D
D [设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D.]
3．若已知16x>log2x [作出f(x)＝x和g(x)＝log2x的图象，如图所示：
由图象可知，在(0,4)内，x>log2x；
x＝4或x＝16时，x＝log2x；
在(4,16)内，xlog2x.]
4．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．
1．75 [∵y＝a·0.5x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝1.5，则有解得
∴y＝－2×0.5x＋2.
当x＝3时，y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．]
5．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
[解] 借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
