5.1 任意角和弧度制
5.1.1 任意角
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解任意角的概念．
2．掌握终边相同角的含义及其表示．(重点、难点)
3．掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法．(难点、易混点)
1.通过终边相同角的计算，培养数学运算素养．
2．借助任意角的终边位置的确定，提升逻辑推理素养.
1．角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
2．角的表示
如图，(1)始边：射线的起始位置OA，
(2)终边：射线的终止位置OB，
(3)顶点：射线的端点O.
这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．
3．任意角的分类
(1)按旋转方向分
(2)按角的终边位置分
①前提：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．
②分类：
4．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
思考：终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？
提示：终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角，终边相同．
1．下列说法正确的是( )
A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B．第四象限的角一定是负角
C．60°角与600°角是终边相同的角
D．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角为60°
D [A错误，90°角既不是第一象限角也不是第二象限角；
B错误，280°角是第四象限角，但它不是负角；
C错误，600°－60°＝540°不是360°的倍数；
D正确，分针转一周为60分钟，转过的角度为－360°，将分针拨慢是逆时针旋转，拨慢10分钟转过的角为360°×＝60°.]
2．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2周，所得角是________．
－670° [由题意知，所得角是50°－2×360°＝－670°.]
3．已知0°≤α＜360°，且α与600°角终边相同，则α＝________，它是第________象限角．
240° 三 [因为600°＝360°＋240°，所以240°角与600°角终边相同，且0°≤240°＜360°，故α＝240°，它是第三象限角．]
角的有关概念的判断
【例1】 (1)给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．
其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．
(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
①420°.②855°.③－510°.
(1)① [①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；
②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；
③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；
④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．]
(2)[解] 作出各角的终边，如图所示：
由图可知：
①420°是第一象限角．
②855°是第二象限角．
③－510°是第三象限角．
1．理解角的概念的关键与技巧：
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．
2．象限角的判定方法：
(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．
(2)第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；
第二步，判断β的终边所在的象限；
第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．
提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．
1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )
A．A＝B＝C B．A?C
C．A∩C＝B D．B∪C?C
D [由已知得BC，所以B∪C＝C，故D正确．]
2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D [－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，
360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－360°＜－315°＜－270°.所以这四个命题都是正确的．]
终边相同的角的表示及应用
【例2】 (1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．
(2)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．
[思路点拨] (1)根据－885°与k·360°，k∈Z的关系确定k.
(2)先写出与α终边相同的角k·360°＋α，k∈Z，再由已知不等式确定k的可能取值．
(1)(－3)×360°＋195° [－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.]
(2)[解] 与α＝－1 910°终边相同的角的集合为
{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}．
∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，∴3≤k＜6(k∈Z)，故取k＝4,5,6.
k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；
k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；
k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.
1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法
(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．
(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．
2．运用终边相同的角的注意点
所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：
(1)k是整数，这个条件不能漏掉．
(2)α是任意角．
(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．
提醒：表示终边相同的角，k∈Z这一条件不能少．
3．下面与－850°12′终边相同的角是( )
A．230°12′ B．229°48′
C．129°48′ D．130°12′
B [与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.]
4．在－360°～360°之间找出所有与下列各角终边相同的角，并判断各角所在的象限．
①790°；②－20°.
[解] ①∵790°＝2×360°＋70°＝3×360°－290°，
∴在－360°～360°之间与它终边相同的角是70°和－290°，它们都是第一象限的角．
②∵－20°＝－360°＋340°，
∴在－360°～360°之间与它终边相同的角是－20°和340°，它们都是第四象限的角．
任意角终边位置的确定和表示
[探究问题]
1．若射线OA的位置是k·360°＋10°，k∈Z，射线OA绕点O逆时针旋转90°经过的区域为D，则终边落在区域D(包括边界)的角的集合应如何表示？
提示：终边落在区域D包括边界的角的集合可表示为{α|k·360°＋10°≤α≤k·360°＋100°，k∈Z}．
2．若角α与β的终边关于x轴、y轴、原点、直线y＝x对称，则角α与β分别具有怎样的关系？
提示：(1)关于x轴对称：若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k·360°，k∈Z.
(2)关于y轴对称：若角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k·360°，k∈Z.
(3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.
(4)关于直线y＝x对称：若角α与β的终边关于直线y＝x对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.
【例3】 (1)若α是第一象限角，则－是( )
A．第一象限角 B．第一、四象限角
C．第二象限角 D．第二、四象限角
(2)已知，如图所示．
①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
[思路点拨] (1)→→
(2)①→
②→
(1)D [因为α是第一象限角，所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，
所以k·180°＜＜k·180°＋45°，k∈Z，
所以是第一、三象限角，
又因为－与的终边关于x轴对称，
所以－是第二、四象限角．]
(2)[解] ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；
终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
1．若将本例(2)改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？
[解] 在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β＜105°与240°≤β＜285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β＜k·360°＋285°，k∈Z}
＝{β|2k·180°＋60°≤β＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}．
故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}．
2．若将本例(2)改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？
[解] 在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150°≤β≤225°，则所有满足条件的角β为{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}．
1．表示区间角的三个步骤：
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
2．nα或所在象限的判断方法：
(1)用不等式表示出角nα或的范围；
(2)用旋转的观点确定角nα或所在象限．
例如：k·120°＜＜k·120°＋30°，k∈Z.
由0°＜＜30°，每次逆时针旋转120°可得终边的位置．
提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．
1．角的旋转定义给出后，就将原来0°～360°间的角扩展为任意的正角、负角和零角，从而为角和实数之间建立对应关系奠定了基础．
2．明确象限角的概念，是判断一个角是第几象限角或轴线角的保证．
3．理解终边相同角的含义，做到会用集合表示终边相同的角，会求符合某种条件的角．
1．思考辨析
(1)第二象限角大于第一象限角．( )
(2)第二象限角是钝角．( )
(3)终边相同的角一定相等．( )
(4)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．( )
[提示] (1)错误．如第二象限角100°小于第一象限角361°.
(2)错误．如第二象限角－181°不是钝角．
(3)错误．终边相同的角可表示为α＝β＋k·360°，k∈Z，即α与β不一定相等．
(4)都正确．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．下列各个角中与2 019°终边相同的是( )
A．－149° B．679°
C．319° D．219°
D [因为2 019°＝360°×5＋219°，所以与2 019°终边相同的角是219°.]
3．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．
{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z} [观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}．]
4．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：
(1)－120°；(2)640°.
[解] (1)与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}．
当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，
∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角．
(2)与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}．
当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，
∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角．
课件46张PPT。第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制
5.1.1 任意角点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三十五) 任意角
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．角－870°的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C [－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限，故选C.]
2．在－360°～0°范围内与角1 250°终边相同的角是( )
A．170° B．190°
C．－190° D．－170°
C [与1 250°角的终边相同的角α＝1 250°＋k·360°，k∈Z，因为－360°＜α＜0°，所以－＜k＜－，因为k∈Z，所以k＝－4，所以α＝－190°.]
3．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( )
A．90°－α B．90°＋α
C．360°－α D．180°＋α
C [因为α是第一象限角，所以－α为第四象限角，所以360°－α为第四象限角．]
4．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在象限是( )
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
A [当k＝0时，α＝45°为第一象限角，当k＝1时，α＝225°为第三象限角．]
5．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是( )
A．第一象限角 B．第一、二象限角
C．第一、三象限角 D．第一、四象限角
C [由题意知k·360°＜2α＜180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°＜α＜90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＜α＜90°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°＜α＜270°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第三象限．故α是第一或第三象限角．]
二、填空题
6．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈________.
{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z} [在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为30°＜α＜150°和210°＜α＜330°.
所以α∈{α|k·360°＋30°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°＜α＜k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°＜α＜2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°＜α＜(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}．]
7．与2 019°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．
219° －141° [与2 019°角的终边相同的角为2 019°＋k·360°(k∈Z)．当k＝－5时，219°为最小正角；当k＝－6时，－141°为绝对值最小的角．]
8．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________.
k·360°＋60°(k∈Z) [在0°～360°范围内与α＝－120°的终边互为反向延长线的角是60°，所以β＝k·360°＋60°(k∈Z)．]
三、解答题
9．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)－720°到－360°的角．
[解] 与530°终边相同的角为k·360°＋530°，k∈Z.
(1)由－360°＜k·360°＋530°＜0°且k∈Z，可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°.
(2)由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z，可得k＝－1，
故所求的最小正角为170°.
(3)由－720°≤k·360°＋530°≤－360°且k∈Z，可得k＝－3，故所求的角为－550°.
10．已知集合A＝{α|k·180°＋45°＜α＜k·180°＋60°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－55°＜β＜k·360°＋55°，k∈Z}．
(1)在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；
(2)在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域；
(3)求A∩B.
[解] (1)角α终边所在区域如图(1)所示．
(2)角β终边所在区域如图(2)所示．
图(1) 图(2)
(3)由(1)(2)知A∩B＝{γ|k·360°＋45°＜γ＜k·360°＋55°，k∈Z} .
[等级过关练]
1．已知θ为第二象限角，那么是( )
A．第一或第二象限角
B．第一或第四象限角
C．第二或第四象限角
D．第一、二或第四象限角
D [∵θ为第二象限角，∴90°＋k·360°＜θ＜180°＋k·360°，k∈Z，
∴30°＋k·120°＜＜60°＋k·120°，k∈Z，
当k＝0时，30°＜＜60°，属于第一象限，
当k＝1时，150°＜＜180°，属于第二象限，
当k＝－1时，－90°＜＜－60°，属于第四象限，
∴是第一、二或第四象限角．]
2．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为( )
A．α＋β＝k·360°，k∈Z
B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z
C．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z
D．α－β＝k·360°，k∈Z
B [法一：(特殊值法)令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.故α与β的关系为α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.
法二：(直接法)因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.]
3．终边落在直线y＝x上的角的集合为________．
{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z} [如图所示终边落在射线y＝x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线y＝x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}．于是终边落在直线y＝x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．]
4．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________.
270° [由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°.又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°.]
5．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．
[解] 由题意可知：α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β为锐角，
∴0°＜α＋β＜180°.
取k＝1，得α＋β＝80°，①
α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β为锐角，
∴－90°＜α－β＜90°.
取k＝－2，得α－β＝－50°，②
由①②得：α＝15°，β＝65°.
