5.1.2 弧度制
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系．
2．理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点)
3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点)
1.通过对弧度制概念的学习，培养学生的数学抽象素养．
2．借助弧度制与角度制的换算，提升学生的数学运算素养.
1．度量角的两种单位制
(1)角度制：
①定义：用度作为单位来度量角的单位制．
②1度的角：周角的.
(2)弧度制：
①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．
②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
2．弧度数的计算
思考：比值与所取的圆的半径大小是否有关？
提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．
3．角度制与弧度制的换算
4．一些特殊角与弧度数的对应关系
度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0
π
2π
5.扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝αR.
(2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2.
1．下列转化结果错误的是( )
A．60°化成弧度是 rad
B．－π rad化成度是－600°
C．－150°化成弧度是－π rad
D. rad化成度是15°
C [对于A,60°＝60× rad＝ rad；对于B，－π rad＝－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150× rad＝－π rad；对于D， rad＝×180°＝15°.故选C.]
2.是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
B [＝4π＋.∵π是第二象限角，∴是第二象限角．]
3．(1) rad化为角度是________．
(2)105°的弧度数是________．
(1)252° (2) [(1) rad＝°＝252°；
(2)105°＝105× rad＝ rad.]
4．半径为2，圆心角为的扇形的面积是________．
[由已知得S扇＝××22＝.]
角度与弧度的互化与应用
【例1】 (1)①将112°30′化为弧度为________．
②将－rad化为角度为________．
(2)已知α＝15°，β＝ rad，γ＝1 rad，θ＝105°，φ＝ rad，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．
(1)①rad ②－75° [(1)①因为1°＝rad，
所以112°30′＝×112.5 rad＝rad.
②因为1 rad＝°，
所以－rad＝－°＝－75°.]
(2)法一(化为弧度)：
α＝15°＝15× rad＝ rad，θ＝105°＝105× rad＝ rad.
显然＜＜1＜.故α＜β＜γ＜θ＝φ.
法二(化为角度)：
β＝ rad＝×°＝18°，γ＝1 rad≈57.30°，
φ＝×°＝105°.
显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.
故α＜β＜γ＜θ＝φ.
角度制与弧度制互化的关键与方法
?1?关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键；
?2?方法：度数×＝弧度数；弧度数×＝度数；
?3?角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.
1．(1)将－157°30′化成弧度为________．
(2)将－ rad化为度是________．
(1)－π rad (2)－396° [(1)－157°30′＝－157.5°＝－× rad＝－π rad.
(2)－ rad＝－×°＝－396°.]
2．在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有________．(用弧度表示)
π，π [因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．
当k＝0时，θ＝72°＝π rad；
当k＝1时，θ＝432°＝π rad，
所以在[0,4π]中与72°终边相同的角有π，π.]
用弧度数表示角
【例2】 (1)终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是( )
A.
B.
C.
D.
(2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．
[思路点拨] (1)→
(2)
→
(1)D [因为角α的终边经过点(a，a)(a≠0)，
所以角α的终边落在直线y＝x上，
所以角α的集合是.]
(2)[解] 因为30°＝ rad,210°＝ rad，
这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为.
1．弧度制下与角α终边相同的角的表示：
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．
2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤：
(1)仔细观察图形．
(2)写出区域边界作为终边时角的表示．
(3)用不等式表示区域范围内的角．
提醒：角度制与弧度制不能混用.
3．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
C [A，B中弧度与角度混用，不正确．
π＝2π＋，所以π与终边相同．－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同．故选C.]
4．用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．
[解] 30°＝ rad,150°＝ rad.
终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是.
弧长公式与扇形面积公式的应用
[探究问题]
1．用公式|α|＝求圆心角时，应注意什么问题？
提示：应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负．
2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？
提示：若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果易出错．
【例3】 (1)如图所示，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数大小为________．
(2)已知扇形OAB的周长是60 cm，面积是20 cm2，求扇形OAB的圆心角的弧度数．
[思路点拨] (1)先根据两块阴影部分的面积相等列方程再解方程求∠EAD的弧度数．
(2)先根据题意，列关于弧长和半径的方程组，再解方程组求弧长和半径，最后用弧度数公式求圆心角的弧度数．
(1)2－ [设AB＝1，∠EAD＝α，∵S扇形ADE＝S阴影BCD，
由题意可得×12×α＝12－，
∴解得α＝2－.]
(2)设扇形的弧长为l，半径为r，
则
∴或
∴扇形的圆心角的弧度数为
＝43－3或43＋3.
1．(变条件)将本例(2)中的条件“60”改为“10”，“20”改为“4”，其他条件不变，求扇形圆心角的弧度数．
[解] 设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l，半径为r，
依题意有
由①得l＝10－2r，代入②得r2－5r＋4＝0，
解得r1＝1，r2＝4.
当r＝1时，l＝8(cm)，
此时，θ＝8 rad＞2π rad舍去．
当r＝4时，l＝2(cm)，此时，θ＝＝ rad.
2．(变结论)将本例(2)中的条件“面积是20 cm2”删掉，求扇形OAB的最大面积及此时弧长AB.
[解] 设弧长为l，半径为r，由已知l＋2r＝60，
所以l＝60－2r，|α|＝＝，
从而S＝|α|r2＝··r2＝－r2＋30r＝－(r－15)2＋225，
当r＝15时，S取最大值为225，这时圆心角α＝＝＝2 rad，
可得弧长AB＝αr＝2×15＝30 (cm)．
弧度制下解决扇形相关问题的步骤：
(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝αr2和S＝lr.(这里α必须是弧度制下的角)
(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．
(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．
提醒：看清角的度量制，恰当选用公式．
1．在表示角的时候，由于弧度制的优点，常常使用弧度表示角，但也要注意，用弧度制表示角时，不能与角度制混用．
2．弧度制下弧长和扇形面积公式的应用，要注意使用的前提条件是弧度制下．同时也应注意与其他知识如函数内容的结合．
1．思考辨析( )
(1)1弧度的角是周角的.
(2)1弧度的角大于1度的角．
[提示] (1)错误，1弧度的角是周角的.(2)正确．
[答案] (1)× (2)√
2．圆的半径为r，该圆上长为r的弧所对的圆心角是( )
A. rad B. rad
C. rad D. rad
B [由弧度数公式α＝，得α＝＝，因此圆弧所对的圆心角是 rad.]
3．若把－570°写成2kπ＋α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式，则α＝________.
[－570°＝－＝－4π＋.]
4．求半径为π cm，圆心角为120°的扇形的弧长及面积．
[解] 因为r＝π，α＝120×＝，
所以l＝αr＝ cm，S＝lr＝ cm2.
课件43张PPT。第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制
5.1.2 弧度制点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三十六) 弧度制
(建议用时：40分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．1 920°转化为弧度数为( )
A. B.
C. D.
D [1 920°＝5×360°＋120°＝ rad＝ rad.]
2．在0到2π范围内，与角－终边相同的角是( )
A. B.
C. D.
C [与角－终边相同的角是2kπ＋，k∈Z，令k＝1，可得与角－终边相同的角是，故选C.]
3．下列表示中不正确的是( )
A．终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}
B．终边在y轴上角的集合是
C．终边在坐标轴上角的集合是
D．终边在直线y＝x上角的集合是
D [对于A，终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}，故A正确；
对于B，终边在y轴上的角的集合是，故B正确；
对于C，终边在x轴上的角的集合为，终边在y轴上的角的集合为，故合在一起即为∪＝，故C正确；对于D，终边在直线y＝x上的角的集合是，故D不正确．]
4．若θ＝－5，则角θ的终边所在的象限是( )
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
D [因为－2π＜－5＜－，所以α是第一象限角．]
5．已知扇形的弧长是4 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1 B．2
C．4 D．1或4
C [因为扇形的弧长为4，面积为2，
所以扇形的面积为×4×r＝2，解得r＝1，
则扇形的圆心角的弧度数为＝4.故选C.]
二、填空题
6．在△ABC中，若A∶B∶C＝3∶5∶7，则角A，B，C的弧度数分别为______________．
A＝，B＝，C＝ [因为A＋B＋C＝π，
又A∶B∶C＝3∶5∶7，
所以A＝＝，B＝＝，C＝.]
7．用弧度表示终边落在y轴右侧的角的集合为________．
[y轴对应的角可用－，表示，所以y轴右侧角的集合为.]
8．已知扇形OAB的圆心角为π，周长为5π＋14，则扇形OAB的面积为________．
[设扇形的半径为r，圆心角为π，
∴弧长l＝πr，
∵扇形的周长为5π＋14，∴πr＋2r＝5π＋14，
解得r＝7，由扇形的面积公式得＝×π×r2＝×π×49＝.]
三、解答题
9．已知角α＝2 010°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
[解] (1)2 010°＝2 010×＝＝5×2π＋，
又π＜＜，
∴α与终边相同，是第三象限的角．
(2)与α终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ(k∈Z)，
又－5π≤γ＜0，
∴当k＝－3时，γ＝－π；
当k＝－2时，γ＝－π；
当k＝－1时，γ＝－π.
10．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
[解] (1)由⊙O的半径r＝10＝AB，
知△AOB是等边三角形，
∴α＝∠AOB＝60°＝ rad.
(2)由(1)可知α＝ rad，r＝10，
∴弧长l＝α·r＝×10＝，
∴S扇形＝lr＝××10＝，
而S△AOB＝·AB·5＝×10×5＝25，
∴S＝S扇形－S△AOB＝25.
[等级过关练]
1．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )
A．2 B．sin 2
C．2sin 1 D.
D [设圆的半径为R，则sin 1＝，∴R＝，故所求弧长为l＝α·R＝2·＝.]
2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( )
A.π B．－π
C.π D．－π
B [分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的，用弧度制表示就是：－4π－×2π＝－π.]
3．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝________________.
[－4，－π]∪[0，π] [如图所示，
∴A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．]
4．若角α与角终边相同，则在[0,2π]内终边与终边相同的角是________．
，，， [由题意得α＝＋2kπ(k∈Z)，＝＋(k∈Z)，又∈[0,2π]，所以k＝0,1,2,3，
此时＝，，，.]
5．如图所示，已知一长为 dm，宽为1 dm的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积．
[解] 所在的圆半径是2 dm，圆心角为；所在的圆半径是1 dm，圆心角为；A2A3所在的圆半径是 dm，圆心角为，所以点A走过的路径长是三段圆弧之和，即2×＋1×＋×＝(dm)．
三段圆弧所在扇形的总面积是×π×2＋××1＋××＝(dm2)．
