5.2 三角函数的概念
5.2.1 三角函数的概念
学 习 目 标
核 心 素 养
1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(重点、难点)
2．掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．(易错点)
3．掌握公式——并会应用.
1.通过三角函数的概念，培养数学抽象素养．
2．借助公式的运算，提升数学运算素养.
1．单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
2．任意角的三角函数的定义
(1)条件
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(2)结论
①y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y；
②x叫做α的余弦函数，记作cos_α，即cos α＝x；
③叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝(x≠0)．
(3)总结
＝tan α(x≠0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标或横坐标的比值为函数值的函数，正切函数我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．
3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数
定义域
sin α
R
cos α
R
tan α
4.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
(1)图示：
(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
5．公式一
1．sin(－315°)的值是( )
A．－ B．－ C. D.
C [sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝.]
2．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
B [由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．]
3．sinπ＝________.
[sinπ＝sin＝sin＝.]
4．角α终边与单位圆相交于点M，则cos α＋sin α的值为________．
[cos α＝x＝，sin α＝y＝，
故cos α＋sin α＝.]
三角函数的定义及应用
[探究问题]
1．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin α，cos α，tan α为何值？
提示：sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
2．sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
提示：sin α，cos α，tan α的值只与α的终边位置有关，不随P点在终边上的位置的改变而改变．
【例1】 (1)已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，则sin θ＋tan θ的值为________．
(2)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
[思路点拨] (1)→
(2)→
(1)或 [因为r＝，cos θ＝，
所以x＝.
又x≠0，所以x＝±1，所以r＝.
又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．
当θ为第一象限角时，sin θ＝，tan θ＝3，则sin θ＋tan θ＝.
当θ为第二象限角时，sin θ＝，tan θ＝－3，
则sin θ＋tan θ＝.]
(2)[解] 直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，)，则r＝＝2，所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－；
在第四象限取直线上的点(1，－)，
则r＝＝2，
所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
1．将本例(2)的条件“x＋y＝0”改为“y＝2x”其他条件不变，结果又如何？
[解] 当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，由r＝|OP|＝＝，得sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝2.
当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(－1，－2)，
由r＝|OQ|＝＝，得：
sin α＝＝－，cos α＝＝－，
tan α＝＝2.
2．将本例(2)的条件“落在直线x＋y＝0上”改为“过点P(－3a,4a)(a≠0)”，求2sin α＋cos α.
[解] 因为r＝＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
所以2sin α＋cos α＝－＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝，
所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1.
由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：
(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．
三角函数值符号的运用
【例2】 (1)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)判断下列各式的符号：
①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.
[思路点拨] (1)先判断tan α，cos α的符号，再判断角α终边在第几象限．
(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最后判断乘积的符号．
(1)C [因为点P在第四象限，所以有由此可判断角α终边在第三象限．]
(2)[解] ①∵145°是第二象限角，
∴sin 145°＞0，
∵－210°＝－360°＋150°，
∴－210°是第二象限角，
∴cos(－210°)＜0，
∴sin 145°cos(－210°)＜0.
②∵＜3＜π，π＜4＜，＜5＜2π，
∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，
∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.
判断三角函数值在各象限符号的攻略：
?1?基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；
?2?关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；
?3?注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误.
提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号.
1．已知角α的终边过点(3a－9，a＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．
－2＜a≤3 [因为cos α≤0，sin α＞0，
所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上，因为α终边过(3a－9，a＋2)，
所以所以－2＜a≤3.]
2．设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．
四 [角α是第三象限角，则角是第二、四象限角，
∵＝－sin，∴角是第四象限角．]
诱导公式一的应用
【例3】 求值：
(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
(2)sincos＋tancos.
[解] (1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)
＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°
＝1－1＋＝.
(2)原式＝sincos＋tan·cos
＝sincos＋tancos
＝×＋1×＝.
利用诱导公式一进行化简求值的步骤
?1?定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π?，k∈Z.
?2?转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值.
?3?求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.
3．化简下列各式：
(1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcos(－1 080°)；
(2)sin＋cosπ·tan 4π.
[解] (1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)
＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcos 0°
＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.
(2)sin＋cosπ·tan 4π
＝sin＋cosπ·tan 0＝sin＋0＝.
1．三角函数的定义的学习是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点无关这一关键点．
2．诱导公式一指的是终边相同角的同名三角函数值相等，反之不一定成立，记忆时可结合三角函数定义进行记忆．
3．三角函数值在各象限的符号主要涉及开方，去绝对值计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上正弦、余弦的符号问题．
1．思考辨析
(1)sin α表示sin与α的乘积．( )
(2)设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝，且y越大，sin α的值越大．( )
(3)终边相同的角的同一三角函数值相等．( )
(4)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.( )
[提示] (1)错误．sin α表示角α的正弦值，是一个“整体”．
(2)错误．由任意角的正弦函数的定义知，sin α＝.但y变化时，sin α是定值．
(3)正确．
(4)错误．终边落在y轴上的角的正切函数值不存在．
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．已知角α终边过点P(1，－1)，则tan α的值为( )
A．1 B．－1
C. D．－
B [由三角函数定义知tan α＝＝－1.]
3．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sin α＝，则sin β＝________.
－ [设角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，
则角β的终边与单位圆相交于点Q(x，－y)，
由题意知y＝sin α＝，所以sin β＝－y＝－.]
4．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°.
(2)cos＋tan.
[解] (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0.
(2)cos＋tan
＝cos＋tan
＝cos＋tan＝＋1＝.
课件43张PPT。第五章 三角函数5.2 三角函数的概念
5.2.1 三角函数的概念点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三十七) 三角函数的概念
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．sin(－1 380°)的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
D [sin(－1 380°)＝sin(－4×360°＋60°)＝sin 60°＝.]
2．已知角α终边上异于原点的一点P且|PO|＝r，则点P的坐标为( )
A．P(sin α，cos α) B．P(cos α，sin α)
C．P(rsin α，rcos α) D．P(rcos α，rsin α)
D [设P(x，y)，则sin α＝，∴y＝rsin α，又cos α＝，∴x＝rcos α，∴P(rcos α，rsin α)，故选D.]
3．若cos α与tan α同号，那么α在( )
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第三、四象限 D．第二、四象限
B [因为cos α与tan α同号，所以α在第一、二象限．]
4．有下列说法：
①终边相同的角的同名三角函数的值相等；
②终边不同的角的同名三角函数的值不等；
③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；
④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos α＝－，
其中正确的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
B [①正确；②错误，如sin＝sin；
③错误，如sin＝1＞0；
④错误，cos α＝.所以B选项是正确的．]
5．设△ABC的三个内角为A，B，C，则下列各组数中有意义且均为正值的是( )
A．tan A与cos B B．cos B与sin C
C．sin C与tan A D．tan与sin C
D [∵0＜A＜π，∴0＜＜，
∴tan＞0；又∵0＜C＜π，∴sin C＞0.]
二、填空题
6．在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点和，那么sin α·tan β＝________.
－ [由任意角的正弦、正切函数的定义知
sin α＝，tan β＝＝－，
所以sin α·tan β＝×＝－.]
7．点P(tan 2 018°，cos 2 018°)位于第________象限．
四 [因为2 018°＝5×360°＋218°，
所以2 018°与218°终边相同，是第三象限角，
所以tan 2 018°＞0，cos 2 018°＜0，
所以点P位于第四象限．]
8．已知角α的终边经过点P(x，－6)且cos α＝－，则x＝________.
－8 [因为|OP|＝＝，
所以cos α＝，又cos α＝－，
所以＝－，整理得x＝－8.]
三、解答题
9．化简下列各式：
(1)sinπ＋cosπ＋cos(－5π)＋tan；
(2)a2sin 810°－b2cos 900°＋2abtan 1 125°.
[解] (1)原式＝sinπ＋cos＋cos π＋1
＝－1＋0－1＋1＝－1.
(2)原式＝a2sin 90°－b2cos 180°＋2abtan 45°＝a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.
10．已知＝－，且lg cos α有意义．
(1)试判断角α的终边所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
[解] (1)由＝－，可知sin α<0.
由lg cos α有意义，可知cos α>0，
∴角α的终边在第四象限．
(2)∵|OM|＝1，∴2＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知
sin α＝＝＝＝－.
[等级过关练]
1．点P从(1,0)出发，沿单位圆按逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为( )
A. B.
C. D.
A [点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，所以点Q是角与单位圆的交点，所以Q，又cos＝cos＝cos＝－，sin＝sin＝sin＝，所以Q.]
2．已知角α的终边过点P(5，a)，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为________．
－ [根据三角函数的定义，tan α＝＝－，
∴a＝－12，∴P(5，－12)．
这时r＝13，∴sin α＝－，cos α＝，
从而sin α＋cos α＝－.]
3．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈，则cos α＝________.
[因为θ∈，所以cos θ＜0，
r＝＝5|cos θ|＝－5cos θ，
所以cos α＝＝.]
4．函数y＝＋的值域为________．
{－2,0,2} [已知函数的定义域为，
角x的终边不能落在坐标轴上，
当x是第一象限角时，cos x＞0，tan x＞0，y＝＋＝1＋1＝2；
当x是第二象限角时，cos x＜0，tan x＜0，y＝＋＝－1－1＝－2；
当x是第三象限角时，cos x＜0，tan x＞0，y＝＋＝－1＋1＝0；
当x是第四象限角时，cos x＞0，tan x＜0，y＝＋＝1－1＝0.
综上知原函数的值域是{－2,0,2}．]
5．已知sin θ＜0，tan θ＞0.
(1)求角θ的集合；
(2)求的终边所在的象限；
(3)试判断sincostan的符号．
[解] (1)因为sin θ＜0，所以θ为第三、四象限角或在y轴的负半轴上，
因为tan θ＞0，所以θ为第一、三象限角，
所以θ为第三象限角，θ角的集合为
.
(2)由(1)可得，kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z.
当k是偶数时，终边在第二象限；
当k是奇数时，终边在第四象限．
(3)由(2)可得
当k是偶数时，sin＞0，cos＜0，tan＜0，
所以sincostan＞0；
当k是奇数时sin＜0，cos＞0，tan＜0，
所以sincostan＞0.
综上知，sincostan＞0.
