5.2.2 同角三角函数的基本关系
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点)
2．会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点)
1.通过同角三角函数的基本关系进行运算，培养数学运算素养．
2．借助数学式子的证明，培养逻辑推理素养.
1．平方关系
(1)公式：sin2α＋cos2α＝1.
(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.
2．商数关系
(1)公式：＝tan_α(α≠kπ＋，k∈Z)．
(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切．
思考：对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？
提示：成立．平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关．
1．化简的结果是( )
A．cos B．sin
C．－cos D．－sin
C [因为是第二象限角，
所以cos＜0，
所以＝＝＝－cos.]
2．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( )
A．tan α＝－
B．cos α＝－
C．sin α＝－
D．tan α＝
B [由商数关系可知A，D均不正确．当α为第二象限角时，cos α＜0，sin α＞0，故B正确．]
3．若cos α＝，且α为第四象限角，则tan α＝________.
－ [因为α为第四象限角，且cos α＝，
所以sin α＝－＝－＝－，
所以tan α＝＝－.]
直接应用同角三角函数关系求值
【例1】 (1)已知α∈，tan α＝2，则cos α＝________.
(2)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
[思路点拨] (1)根据tan α＝2和sin2α＋cos2α＝1列方程组求cos α.
(2)先由已知条件判断角α是第几象限角，再分类讨论求sin α，tan α.
(1)－ [由已知得
由①得sin α＝2cos α代入②得4cos2α＋cos2α＝1，
所以cos2α＝，又α∈，所以cos α＜0，
所以cos α＝－.]
(2)[解] ∵cos α＝－＜0，
∴α是第二或第三象限的角．
如果α是第二象限角，那么
sin α＝＝＝，
tan α＝＝＝－.
如果α是第三象限角，同理可得
sin α＝－＝－，tan α＝.
利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：
?1?已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系.
?2?若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果.
提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号.
1．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．
[解] ∵sin α＋3cos α＝0，
∴sin α＝－3cos α.
又sin2α＋cos2α＝1，
∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，
即10cos2α＝1，
∴cos α＝±.
又由sin α＝－3cos α，
可知sin α与cos α异号，
∴角α的终边在第二或第四象限．
当角α的终边在第二象限时，cos α＝－，sin α＝；
当角α的终边在第四象限时，cos α＝，sin α＝－.
灵活应用同角三角函数关系式求值
【例2】 (1)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝________.
(2)已知＝2，计算下列各式的值．
①；
②sin2α－2sin αcos α＋1.
[思路点拨] (1)法一：→→→
法二：→→
(2)→
(1)－ [法一：(构建方程组)
因为sin α＋cos α＝，①
所以sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，
即2sin αcos α＝－.
因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，cos α＜0.
所以sin α－cos α＝＝＝.②
由①②解得sin α＝，cos α＝－，
所以tan α＝＝－.
法二：(弦化切)
同法一求出sin αcos α＝－，＝－，＝－，
整理得60tan2α＋169tan α＋60＝0，解得tan α＝－或tan α＝－.
由sin α＋cos α＝＞0知|sin α|＞|cos α|，故tan α＝－.]
(2)[解] 由＝2，化简，
得sin α＝3cos α，
所以tan α＝3.
①法一(换元)原式＝＝＝.
法二(弦化切)原式＝＝＝.
②原式＝＋1
＝＋1＝＋1＝.
1．将本例(1)条件“α∈(0，π)”改为“α∈(－π，0)”其他条件不变，结果又如何？
[解] 由例(1)求出2sin αcos α＝－，
因为α∈(－π，0)，
所以sin α＜0，cos α＞0，
所以sin α－cos α＝－
＝－＝－.
与sin α＋cos α＝联立解得
sin α＝－，cos α＝，
所以tan α＝＝－.
2．将本例(1)的条件“sin α＋cos α＝”改为“sin α·cos α＝－”其他条件不变，求cos α－sin α.
[解] 因为sin αcos α＝－＜0，所以α∈，所以cos α－sin α＜0，
cos α－sin α＝－＝－＝－.
1．sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
2．已知tan α＝m，求关于sin α，cos α的齐次式的值
解决这类问题需注意以下两点：(1)一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cos α≠0，所以可除以cos α，这样可将被求式化为关于tan α的表示式，然后代入tan α＝m的值，从而完成被求式的求值．
提醒：求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．
应用同角三角函数关系式化简
【例3】 (1)化简＝________.
(2)化简·.(其中α是第三象限角)
[思路点拨] (1)将cos2α＝1－sin2α代入即可化简．
(2)首先将tan α化为，然后化简根式，最后约分．
(1)1 [原式＝＝＝1.]
(2)[解] 原式＝·
＝·
＝·
＝·.
又因为α是第三象限角，
所以sin α＜0.
所以原式＝·＝－1.
三角函数式化简的常用方法
?1?化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.
?2?对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
?3?对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
提醒：在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象.
2．化简tan α，其中α是第二象限角．
[解] 因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0.
故tan α＝tan α＝tan α＝＝·＝－1.
应用同角三角函数关系式证明
[探究问题]
1．证明三角恒等式常用哪些方法？
提示：(1)从右证到左．
(2)从左证到右．
(3)证明左右归一．
(4)变更命题法．如：欲证明＝，则可证MQ＝NP，或证＝等．
2．在证明＝sin α＋cos α时如何巧用“1”的代换．
提示：在求证＝sin α＋cos α时，观察等式左边有2sin αcos α，它和1相加应该想到“1”的代换，即1＝sin2α＋cos2α，
所以等式左边
＝
＝
＝
＝sin α＋cos α＝右边．
【例4】 求证：＝.
[思路点拨] 解答本题可由关系式tan α＝将两边“切”化“弦”来证明，也可由右至左或由左至右直接证明．
[证明] 法一：(切化弦)
左边＝＝，
右边＝＝.
因为sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)，
所以＝，所以左边＝右边．
所以原等式成立．
法二：(由右至左)
因为右边＝
＝
＝
＝＝
＝左边，
所以原等式成立．
1．证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法)．
2．技巧感悟：朝目标奔．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．
提醒：解决此类问题要有整体代换思想．
3．求证：(1)＝；
(2)2(sin6 θ＋cos6 θ)－3(sin4 θ＋cos4 θ)＋1＝0.
[证明] (1)左边
＝
＝
＝
＝
＝＝
＝右边，
∴原等式成立．
(2)左边＝2[(sin2 θ)3＋(cos2 θ)3]－3(sin4 θ＋cos4 θ)＋1
＝2(sin2 θ＋cos2 θ)(sin4 θ－sin2 θcos2 θ＋cos4 θ)－3(sin4 θ
＋cos4 θ)＋1
＝(2sin4 θ－2sin2 θcos2 θ＋2cos4 θ)－(3sin4 θ＋3cos4 θ)＋1
＝－(sin4 θ＋2sin2 θcos2 θ＋cos4 θ)＋1
＝－(sin2 θ＋cos2 θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右边，
∴原等式成立．
1．思考辨析
(1)对任意角α，＝tan 都成立．( )
(2)因为sin2 π＋cos2 ＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角．( )
(3)对任意角α，sin α＝cos α·tan α都成立．( )
[提示] 由同角三角函数的基本关系知(2)错，由正切函数的定义域知α不能取任意角，所以(1)错，(3)错．
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．已知tan α＝－，则的值是( )
A. B．3 C．－ D．－3
A [因为tan α＝－，
所以＝＝＝.]
3．已知α是第二象限角，tan α＝－，则cos α＝________.
－ [因为＝－，且sin2α＋cos2α＝1，
又因为α是第二象限角，
所以cos α＜0，
所以cos α＝－.]
4．(1)化简，其中α是第二象限角．
(2)求证：1＋tan2α＝.
[解] (1)因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，
所以sin αcos α＜0，
所以＝
＝
＝－sin αcos α.
(2)证明：1＋tan2α＝1＋＝＝.
课件49张PPT。第五章 三角函数5.2 三角函数的概念
5.2.2 同角三角函数的基本关系点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三十八) 同角三角函数的基本关系
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知α是第三象限角，且sin α＝－，则3cos α＋4tan α＝( )
A．－ B.
C．－ D.
A [因为α是第三象限角，且sin α＝－，
所以cos α＝－＝－＝－，
所以tan α＝＝＝，
所以3cos α＋4tan α＝－2＋＝－.]
2．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是( )
A. B. C．1 D.
C [原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)
＝sin2α＋cos2α＝1.]
3．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为( )
A．－ B．－
C. D.
B [sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－.]
4.cos2x等于( )
A．tan x B．sin x
C．cos x D.
D [原式＝·cos2x
＝·cos2x
＝·cos2x＝＝.]
5．已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ＝( )
A. B．－
C. D．－
B [由(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，得2sin θcos θ＝，则(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，由0<θ≤，知sin θ－cos θ≤0，所以sin θ－cos θ＝－.]
二、填空题
6．化简的结果是________．
cos 20° [＝
＝
＝＝|cos 20°|＝cos 20°.]
7．已知cos α＋2sin α＝－，则tan α＝________.
2 [由得(sin α＋2)2＝0，
∴sin α＝－，cos α＝－，∴tan α＝2.]
8．已知tan α＝2，则4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝________.
1 [4sin2α－3sin αcos α－5cos2α
＝
＝
＝＝＝1.]
三、解答题
9．化简下列各式：
(1)－；
(2)(1－cos α)．
[解] (1)原式＝＝＝＝－2tan2α.
(2)原式＝(1－cos α)
＝(1－cos α)＝＝sin α.
10．若<α<2π，求证： ＋＝－.
[证明] ∵<α<2π，∴sin α<0.
左边＝＋
＝ ＋
＝＋
＝－－
＝－＝右边．
∴原等式成立．
[等级过关练]
1．在△ABC中，sin A＝，则角A＝( )
A. B.
C. D.
C [由题意知cos A＞0，即A为锐角．
将sin A＝两边平方得2sin2A＝3cos A，
∴2cos2A＋3cos A－2＝0，
解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)．
∴A＝.]
2.的值为( )
A．1 B．－1
C．sin 10° D．cos 10°
B [
＝＝
＝＝－1.]
3．已知sin θ＝，cos θ＝，则m的值为________．
0或8 [因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以2＋2＝1.
整理得m2－8m＝0，解得m＝0或8.]
4．已知sin θ，cos θ是方程2x2－mx＋1＝0的两根，则＋＝________.
± [＋＝＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ，又因为sin θ，cos θ是方程2x2－mx＋1＝0的两根，所以由根与系数的关系得sin θcos θ＝，则(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝2，所以sin θ＋cos θ＝±.]
5．求证：＝.
[证明] 法一：右边＝＝
＝
＝
＝
＝＝左边．
所以原等式成立．
法二：左边＝
＝
＝.
右边＝＝
＝.
所以原等式成立.
