5.3 诱导公式
第1课时 公式二、公式三和公式四
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解公式二、公式三和公式四的推导方法．
2．能够准确记忆公式二、公式三和公式四．(重点、易混点)
3．掌握公式二、公式三和公式四，并能灵活应用．(难点)
1.借助公式进行运算，培养数学运算素养．
2．通过公式的变形进行化简和证明，提升逻辑推理素养.
1．公式二
(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．
(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α，
cos(π＋α)＝－cos_α，
tan(π＋α)＝tan_α.
2．公式三
(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．
(2)公式：sin(－α)＝－sin_α，
cos(－α)＝cos_α，
tan(－α)＝－tan_α.
3．公式四
(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．
(2)公式：sin(π－α)＝sin_α，
cos(π－α)＝－cos_α，
tan(π－α)＝－tan_α.
思考：(1)诱导公式中角α只能是锐角吗？
(2)诱导公式一～四改变函数的名称吗？
提示：(1)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z.
(2)诱导公式一～四都不改变函数名称．
1．如果α，β满足α＋β＝π，那么下列式子中正确的个数是( )
①sin α＝sin β；②sin α＝－sin β；③cos α＝－cos β；④cos α＝cos β；⑤tan α＝－tan β.
A．1 B．2 C．3 D．4
C [因为α＋β＝π，所以sin α＝sin(π－β)＝sin β，
故①正确，②错误；
cos α＝cos(π－β)＝－cos β，
故③正确，④错误；
tan α＝tan(π－β)＝－tan β，⑤正确．
故选C.]
2．tan等于( )
A．－ B.
C．－ D.
C [tan＝tan＝tan
＝tan＝－tan＝－.]
3．已知tan α＝3，则tan(π＋α)＝________.
3 [tan(π＋α)＝tan α＝3.]
4．求值：(1)sin＝________.
(2)cos＝________.
(1) (2)－ [(1)sin＝sin
＝sin＝.
(2)cos＝cos＝cos＝－cos＝－.]
给角求值问题
【例1】 求下列各三角函数值：
(1)sin 1 320°；(2)cos；(3)tan(－945°)．
[解] (1)法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.
法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－.
(2)法一：cos＝cos
＝cos＝cos＝－cos＝－.
法二：cos＝cos
＝cos＝－cos＝－.
(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)
＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
?1?“负化正”——用公式一或三来转化；
?2?“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；
?3?“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
?4?“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.
1．计算：(1)cos＋cos＋cos＋cos；
(2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin(－606°)．
[解] (1)原式＝＋
＝＋
＝＋＝0.
(2)原式＝tan 10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]
＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin(180°－66°)
＝sin 66°－sin 66°＝0.
给值(式)求值问题
【例2】 (1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于( )
A. B.
C. D．－
(2)已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．
[思路点拨] (1)
→
(2)→
→
(1)A [sin(α－360°)－cos(180°－α)
＝sin α＋cos α＝m，
sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α
＝＝.]
(2)[解] ∵cos(α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角，
∴sin(α－75°)＝－
＝－＝－，
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝.
1．例2(2)条件不变，求cos(255°－α)的值．
[解] cos(255°－α)＝cos[180°－(α－75°)]
＝－cos(α－75°)＝.
2．将例2(2)的条件“cos(α－75°)＝－”改为“tan(α－75°)＝－5”，其他条件不变，结果又如何？
[解] 因为tan(α－75°)＝－5＜0，且α为第四象限角，
所以α－75°是第四象限角．
由
解得
或(舍)
所以sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝.
解决条件求值问题的两技巧
?1?寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.
?2?转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.
利用诱导公式化简问题
[探究问题]
1．利用诱导公式化简sin(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？
提示：有关．因为k是奇数还是偶数不确定．
当k是奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α；
当k是偶数时，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin α.
2．利用诱导公式化简tan(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？
提示：无关．根据公式tan(π＋α)＝tan α可知tan(kπ＋α)＝tan α.(其中k∈Z)
【例3】 设k为整数，化简：
.
[思路点拨] 本题常用的解决方法有两种：
①为了便于运用诱导公式，必须把k分成偶数和奇数两种情况讨论；②观察式子结构，kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，可使用配角法．
[解] 法一：(分类讨论)当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则原式＝＝＝＝－1；
当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.
法二：(配角法)由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，故cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，
sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)．
所以原式＝＝－1.
三角函数式化简的常用方法
?1?合理转化：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式.,②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.
?2?切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
提醒：注意分类讨论思想的应用.
2．化简：(1)；
(2).
[解] (1)原式＝＝＝－tan α.
(2)原式
＝
＝
＝＝－1.
1．诱导公式一～四可简要概括为“α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号”．或者简述为“函数同名，象限定号”．
2．利用公式一～四可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：
1．思考辨析
(1)公式二～四对任意角α都成立．( )
(2)由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)．( )
(3)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C．( )
[提示] (1)错误，关于正切的三个公式中α≠kπ＋，k∈Z.
(2)由公式三知cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，
故cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正确的．
(3)因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，
所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C.
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是( )
A. B．－ C．± D.
B [因为sin(π＋α)＝－sin α＝，所以sin α＝－.
又α是第四象限角，所以cos α＝，
所以cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－.]
3.的值等于________．
－2 [原式＝
＝
＝＝＝－2.]
4．化简(1)；
(2).
[解] (1)
＝
＝＝－cos2α.
(2)
＝＝－cos α.
课件42张PPT。第五章 三角函数5.3 诱导公式
第1课时 公式二、公式三和公式四点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 公式五和公式六
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解公式五和公式六的推导方法．
2．能够准确记忆公式五和公式六．(重点、易混点)
3．灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．(难点)
1.借助诱导公式求值，培养数学运算素养．
2．通过诱导公式进行化简和证明，提示逻辑推理素养.
1．公式五
(1)角－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示．
(2)公式：sin＝cos_α，
cos＝sin_α.
2．公式六
(1)公式五与公式六中角的联系＋α＝π－.
(2)公式：sin＝cos_α，
cos＝－sin_α.
思考：如何由公式四及公式五推导公式六？
提示：sin＝sin
＝sin＝cos α.
cos＝cos＝－cos＝－sin α.
1．下列与sin θ的值相等的是( )
A．sin(π＋θ) B．sin
C．cos D．cos
C [sin(π＋θ)＝－sin θ；sin＝cos θ；
cos＝sin θ；cos＝－sin θ.]
2．已知sin 19°55′＝m，则cos(－70°5′)＝________.
m [cos(－70°5′)＝cos 70°5′＝cos(90°－19°55′)
＝sin 19°55′＝m.]
3．计算：sin211°＋sin279°＝________.
1 [因为11°＋79°＝90°，所以sin 79°＝cos 11°，
所以原式＝sin211°＋cos211°＝1.]
4．化简sin＝________.
－cos α [sin＝sin
＝－sin＝－cos α.]
利用诱导公式化简求值
【例1】 (1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是( )
A. B.
C．－ D．－
(2)已知sin＝，则cos的值为________．
[思路点拨] (1)→
(2)→
(1)B (2) [(1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin 59°(－tan 31°)
＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)
＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°
＝＝.
(2)cos＝cos
＝sin＝.]
1．将例1(2)的条件中的“－α”改为“＋α”，求cos的值．
[解] cos＝cos
＝－sin＝－.
2．将例1(2)增加条件“α是第二象限角”，求sin的值．
[解] 因为α是第二象限角，所以－α是第三象限角，
又sin＝，所以－α是第二象限角，
所以cos＝－，
所以sin＝sin＝－sin＝－cos＝.
解决化简求值问题的策略：
?1?首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
?2?可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化.
提醒：常见的互余关系有：
常见的互补关系有：
利用诱导公式证明恒等式
【例2】 (1)求证：
＝.
(2)求证：＝－tan θ.
[证明] (1)右边＝
＝
＝
＝＝
＝＝左边，
所以原等式成立．
(2)左边＝
＝＝－tan θ＝右边，
所以原等式成立．
三角恒等式的证明的策略
?1?遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则.
?2?常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“1”的代换法.
1．求证：＝－1.
[证明] 因为
＝
＝＝＝－1
＝右边，所以原等式成立．
诱导公式的综合应用
[探究问题]
1．公式一～四和公式五～六的主要区别是什么？
提示：公式一～四中函数名称不变，公式五～六中函数名称改变．
2．如何用一个口诀描述应用诱导公式化简三角函数式的过程？
提示：“奇变偶不变、符号看象限”．
【例3】 已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．
[思路点拨] →→→
[解] 方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，因为－1≤sin α≤1，所以sin α＝－.
又α是第三象限角，
所以cos α＝－，tan α＝＝，
所以·tan2(π－α)
＝·tan2α
＝·tan2α
＝－tan2α＝－.
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系.
二看函数名称：一般是弦切互化.
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形.
2．已知sin·cos＝，且＜α＜，求sin α与cos α的值．
[解] sin＝－cos α，
cos＝cos
＝－sin α，
∴sin α·cos α＝，
即2sin α·cos α＝.①
又∵sin2α＋cos2α＝1，②
①＋②得(sin α＋cos α)2＝，
②－①得(sin α－cos α)2＝.
又∵α∈，∴sin α＞cos α＞0，
即sin α＋cos α＞0，sin α－cos α＞0，
∴sin α＋cos α＝，③
sin α－cos α＝，④
(③＋④)÷2得sin α＝，(③－④)÷2得cos α＝.
1．公式五反映了终边关于直线y＝x对称的角的正、余弦函数值之间的关系，其中角－α的正弦(余弦)函数值，等于角α的余弦(正弦)函数值．
2．由于＋α＝π－，因此由公式四及公式五可以得到公式六．
3．利用诱导公式可在三角函数的变形过程中进行角的转化．在求任意角的过程中，一般先把负角转化为正角，正角转化为0～2π的范围内的角，再将这个范围内的角转化为锐角．也就是“负化正，大化小，化到锐角再查表(特殊角的三角函数值表)”．
1．思考辨析
(1)公式五和公式六中的角α一定是锐角．( )
(2)在△ABC中，sin＝cos.( )
(3)sin＝sin＝cos(－α)＝cos α.( )
[提示] (1)错误．公式五和公式六中的角α可以是任意角．
(2)正确．因为＋＝，由公式五可知sin＝cos.
(3)正确．
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．若sin<0，且cos>0，则θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三角限角 D．第四象限角
B [由于sin＝cos θ<0，
cos＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.]
3．已知cos α＝，且α为第四象限角，那么cos＝________.
[因为cos α＝，且α为第四象限角，
所以sin α＝－＝－，
所以cos＝－sin α＝.]
4．化简：－.
[解] 原式＝－
＝sin α－(－sin α)＝2sin α.
课件40张PPT。第五章 三角函数5.3 诱导公式
第2课时 公式五和公式六点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三十九) 公式二、公式三和公式四
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．sin2150°＋sin2135°＋2sin 210°＋cos2225°的值是( )
A. B.
C. D.
A [因为sin 150°＝sin(180°－30°)＝sin 30°＝，sin 135°＝sin(180°－45°)＝sin 45°＝，
sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－，cos 225°＝cos(180°＋45°)＝－cos 45°＝－，
所以原式＝2＋2＋2×＋2＝＋－1＋＝.]
2．sin2(2π－α)＋cos(π＋α)cos(π－α)＋1的值是( )
A．1 B．2 C．0 D．－1
B [原式＝sin2α＋(－cos α)·(－cos α)＋1
＝sin2α＋cos2α＋1＝1＋1＝2.]
3．已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为( )
A. B．－
C. D．－
B [由题意得tan 600°＝－，
又因为tan 600°＝tan(360°＋240°)
＝tan 240°＝tan(180°＋60°)
＝tan 60°＝，
所以－＝，所以a＝－.]
4．设sin 160°＝a，则cos 340°的值是( )
A．1－a2 B.
C．－ D．±
B [因为sin 160°＝a，所以sin(180°－20°)＝sin 20°＝a，而cos 340°＝cos(360°－20°)＝cos 20°＝.]
5．已知sin＝，则sin的值为( )
A. B．－
C. D．－
C [sin＝sin
＝－sin
＝sin＝.]
二、填空题
6.可化简为________．
1－sin θ [原式＝＝＝＝1－sin θ.]
7．已知cos(508°－α)＝，则cos(212°＋α)＝________.
[由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)
＝cos(148°－α)＝，
所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)
＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝.]
8．已知sin(α＋π)＝，且sin αcos α＜0，则＝________.
－ [因为sin(α＋π)＝－sin α＝，
且sin αcos α＜0，
所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－，
所以＝
＝＝－.]
三、解答题
9．已知tan(7π＋α)＝2，
求的值．
[解] ∵tan(7π＋α)＝2，∴tan α＝2，
∴
＝＝＝＝2.
10．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
[解] (1)f(α)＝－＝－cos α.
(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝，
∴sin α＝－.
又α是第三象限角，
∴cos α＝－，∴f(α)＝.
(3)∵－＝－6×2π＋，
∴f＝－cos
＝－cos＝－cos＝－.
[等级过关练]
1．在△ABC中，给出下列四个式子：
①sin(A＋B)＋sin C；
②cos(A＋B)＋cos C；
③sin(2A＋2B)＋sin 2C；
④cos(2A＋2B)＋cos 2C.
其中为常数的是( )
A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
B [①sin(A＋B)＋sin C＝2sin C；
②cos(A＋B)＋cos C＝－cos C＋cos C＝0；
③sin(2A＋2B)＋sin 2C
＝sin[2(A＋B)]＋sin 2C
＝sin[2(π－C)]＋sin 2C
＝sin(2π－2C)＋sin 2C
＝－sin 2C＋sin 2C＝0；
④cos(2A＋2B)＋cos 2C
＝cos[2(A＋B)]＋cos 2C
＝cos[2(π－C)]＋cos 2C
＝cos(2π－2C)＋cos 2C
＝cos 2C＋cos 2C
＝2cos 2C.
故选B.]
2．已知a＝tan，b＝cos，c＝sin，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．b＞c＞a D．c＞a＞b
B [a＝－tan＝－tan＝－，
b＝cos＝cos＝，
c＝－sin＝－sin＝－，
∴b＞a＞c.]
3．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋7，α，β均为实数，若f(2 018)＝8，则f(2 019)的值为________．
6 [因为f(2 018)＝asin(2 018π＋α)＋bcos(2 018π＋β)＋7＝asin α＋bcos β＋7，
所以asin α＋bcos β＋7＝8，
所以asin α＋bcos β＝1，
又f(2 019)＝asin(2 019π＋α)＋bcos(2 019 π＋β)＋7＝－asin α－bcos β＋7＝－1＋7＝6.
所以f(2 019)＝6.]
4．已知f(x)＝则f＋f的值为________．
－2 [f＝sin＝sin
＝sin＝，
f＝f－1＝f－1＝f－2
＝f－2
＝sin－2＝－sin－2＝－－2＝－，
所以f＋f＝－＝－2.]
5．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
[解] 由条件得sin A＝sin B，cos A＝cos B，
平方相加得2cos2A＝1，cos A＝±，
又A∈(0，π)，∴A＝或π.
当A＝π时，cos B＝－＜0，
∴B∈，
∴A，B均为钝角，不合题意，舍去．
∴A＝，cos B＝，
∴B＝，∴C＝π.
综上所述，A＝，B＝，C＝π.
课时分层作业(四十) 公式五和公式六
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．若sin(3π＋α)＝－，则cos等于( )
A．－ B.
C. D．－
A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－，
∴sin α＝.
∴cos＝cos
＝－cos
＝－sin α＝－.]
2．已知sin 10°＝k，则cos 620°的值为( )
A．k B．－k
C．±k D．不确定
B [cos 620°＝cos(360°＋260°)＝cos 260°
＝cos(270°－10°)＝－sin 10°＝－k.]
3．已知sin＝，则cos等于( )
A．－ B.
C. D．－
A [cos＝cos
＝－sin＝－.故选A.]
4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( )
A．－ B．－
C. D.
B [由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，
得－sin α－sin α＝－a，即sin α＝，
cos(270°－α)＋2sin(360°－α)
＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－a.]
5．化简：＝( )
A．－sin θ B．sin θ
C．cos θ D．－cos θ
A [原式＝
＝＝－sin θ.]
二、填空题
6．化简sin(π＋α)cos＋sincos(π＋α)＝________.
－1 [原式＝(－sin α)·sin α＋cos α·(－cos α)
＝－sin2α－cos2α＝－1.]
7．已知cos＝，且|φ|＜，则tan φ＝________.
－ [cos＝－sin φ＝，sin φ＝－，
又∵|φ|＜，∴cos φ＝，故tan φ＝－.]
8．已知α是第四象限角，且cos(5°＋α)＝，则cos(α－85°)＝________.
－ [因为α是第四象限角，且cos(5°＋α)＝＞0，所以5°＋α是第四象限角，
所以sin(5°＋α)＝－＝－，
所以cos(α－85°)＝cos(5°＋α－90°)
＝sin(5°＋α)＝－.]
三、解答题
9．已知角α的终边经过点P.
(1)求sin α的值；
(2)求的值．
[解] (1)因为点P，
所以|OP|＝1，sin α＝－.
(2)
＝＝，
由三角函数定义知cos α＝，故所求式子的值为.
10．求证：＝.
[证明] 左边＝
＝
＝，
右边＝
＝＝
＝＝，
所以等式成立．
[等级过关练]
1．若f(cos x)＝cos 2x，则f(sin 15°)的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
A [因为f(sin 15°)＝f(cos 75°)＝cos 150°＝－.]
2．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝( )
A．89 B．90 C. D．45
C [原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋＝.]
3．已知＝2，则sin(θ－5π)sin＝________.
[∵＝2, sin θ＝3cos θ，
∴tan θ＝3.
sin(θ－5π)sin＝sin θcos θ
＝
＝＝.]
4．已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则α等于________．
2－ [cos α＝＝sin 2，
∵α为锐角，∴α＝2－.]
5．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若f＝－，且α是第二象限角，求tan α.
[解] (1)f(α)＝
＝＝sin α.
(2)由sin＝－，得cos α＝－，
又α是第二象限角，所以sin α＝＝，
则tan α＝＝－.
