5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
5.6.2 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响；能够将y＝sin x的图象进行变换得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象．(难点)
2.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式．(重点)
3.求函数解析式时φ值的确定．(易错点)
1.通过函数图象的变换，培养直观想象素养.
2.借助函数的图象求解析式，提升数学运算素养.
1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
2．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
3．A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
1．把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为( )
A．y＝sin x－ B．y＝sin x＋
C．y＝sin D．y＝sin
D [根据图象变换的方法，y＝sin x的图象向左平移个单位长度后得到y＝sin的图象．]
2．为了得到函数y＝4sin，x∈R的图象，只需将函数y＝4sin，x∈R的图象上的所有点( )
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
A [函数y＝4sin的图象上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝4sin的图象．]
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为5，则A＝________.
4 [由已知得A＋1＝5，故A＝4.]
三角函数图象之间的变换
【例1】 (1)将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为________．
(2)将y＝sin x的图象怎样变换可得到函数y＝2sin2x＋＋1的图象？
[思路点拨] (1)依据左加右减；上加下减的规则写出解析式．
(2)法一：y＝sin x→纵坐标伸缩→横坐标伸缩和平移→向上平移．
法二：左右平移→横坐标伸缩→纵坐标伸缩→上下平移．
(1)y＝－cos 2x－3 [y＝cos的图象向左平移个单位长度，
得y＝cos＝cos(2x＋π)＝－cos 2x，
再向下平移3个单位长度得y＝－cos 2x－3的图象．]
(2)[解] 法一：(先伸缩法)①把y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin x的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝2sin 2x的图象；③将所得图象沿x轴向左平移个单位，得y＝2sin 2的图象；
④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，
得y＝2sin＋1的图象．
法二：(先平移法)①将y＝sin x的图象沿x轴向左平移个单位，得y＝sin的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝sin的图象；③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍，得到y＝2sin的图象；④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y＝2sin＋1的图象．
由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条：
(1)y＝sin xy＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)．
(2)y＝sin xy＝sin ωxy＝sin＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
提醒：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．
1．(1)要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
(2)把函数y＝f(x)的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是y＝2sin，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝3cos x B．f(x)＝3sin x
C．f(x)＝3cos x＋3 D．f(x)＝sin 3x
(1)A (2)A [(1)因为y＝cos
＝sin＝sin
＝sin 2，
所以将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，
得到y＝cos的图象．
(2)y＝2siny＝3sin
y＝3sin
y＝3sin
＝3sin
＝3cos x．]
已知函数图象求解析式
【例2】 (1)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )
A．y＝2cos＋4 B．y＝2cos＋4
C．y＝4cos＋2 D．y＝4cos＋2
(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＞0，|φ|＜，且图象如图所示，求其解析式．
[思路点拨] 由最大(小)值求A和B，由周期求ω，由特殊点坐标解方程求φ.
(1)A [由函数f(x)的最大值和最小值得
A＋B＝6，－A＋B＝2，所以A＝2，B＝4，
函数f(x)的周期为×4＝4π，又ω＞0，
所以ω＝，又因为点在函数f(x)的图象上
所以6＝2cos＋4，所以cos＝1，
所以＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ－，k∈Z，又|φ|＜
所以φ＝－，所以f(x)＝2cos＋4.]
(2)[解] 法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，又由点，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)－×2＋φ＝0得φ＝，
所以f(x)＝3sin.
法二：(方程法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，
又图象过点，
所以f＝3sin＝0，
所以sin＝0，－＋φ＝kπ(k∈Z)，又因为|φ|＜，所以k＝0，φ＝，所以f(x)＝3sin.
法三：(变换法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，且f(x)＝Asin(ωx＋φ)是由y＝3sin 2x向左平移个单位而得到的，解析式为f(x)＝3sin＝3sin.
确定函数y＝Asin?ωx＋φ?的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：
?1?代入法：把图象上的一个已知点代入?此时A，ω已知?或代入图象与x轴的交点求解?此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上?.
?2?五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：,“第一点”?即图象上升时与x轴的交点?为ωx＋φ＝0；,“第二点”?即图象的“峰点”?为ωx＋φ＝；,“第三点”?即图象下降时与x轴的交点?为ωx＋φ＝π；,“第四点”?即图象的“谷点”?为ωx＋φ＝；,“第五点”为ωx＋φ＝2π.
2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为，且图象上一个最低点为M，求f(x)的解析式．
[解] 由最低点M，得A＝2.
在x轴上两相邻交点之间的距离为，故＝，即T＝π，ω＝＝＝2.
由点M在图象上得
2sin＝－2，即sin＝－1，故＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
∴φ＝2kπ－(k∈Z)．又φ∈，
∴φ＝.故f(x)＝2sin.
三角函数图象与性质的综合应用
[探究问题]
1．如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴方程？
提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ω＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴．
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)；
函数y＝Acos(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令cos(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)．
2．如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的对称中心？
提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)图象的对称中心即函数图象与x轴的交点．
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(k∈Z)成中心对称；
函数y＝Acos(ωx＋φ)对称中心的求法：令cos(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象关于点(k∈Z)成中心对称．
【例3】 (1)已知函数f(x)＝sin(ω＞0)，若f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝( )
A. B. C. D.
(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ＜π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
[思路点拨] (1)先由题目条件分析函数f(x)图象的对称性，何时取到最小值，再列方程求ω的值．
(2)先由奇偶性求φ，再由图象的对称性和单调性求ω.
(1)B [因为f＝f，所以直线x＝＝是函数f(x)图象的一条对称轴，
又因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，
所以当x＝时，f(x)取得最小值．
所以ω＋＝2kπ－，k∈Z，解得ω＝8k－，(k∈Z)
又因为T＝≥－＝，所以ω≤12，又因为ω＞0，
所以k＝1，即ω＝8－＝.]
(2)[解] 由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，
∴f(x)在x＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1.
依题设0≤φ＜π，∴解得φ＝.
由f(x)的图象关于点M对称，可知
sin＝0，即ω＋＝kπ，解得ω＝－，k∈Z.
又f(x)在上是单调函数，
所以T≥π，即≥π.
∴ω≤2，又ω＞0，
∴k＝1时，ω＝；k＝2时，ω＝2.
故φ＝，ω＝2或.
1．将本例(2)中“偶”改为“奇”，“其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数”改为“在区间上为增函数”，试求ω的最大值．
[解] 因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝sin φ＝0，又0≤φ＜π，所以φ＝0.
因为f(x)＝sin ωx在上是增函数．
所以?，
于是，解得0＜ω≤，
所以ω的最大值为.
2．本例(2)中增加条件“ω＞1”，求函数y＝f2(x)＋sin 2x，x∈的最大值．
[解] 由条件知f(x)＝sin＝cos 2x，
由x∈得2x∈，
sin 2x∈
y＝f2(x)＋sin 2x＝cos22x＋sin 2x＝1－sin22x＋sin 2x＝－(sin 2x－)2＋
所以当sin 2x＝时ymax＝.
1．正弦余弦型函数奇偶性的判断方法
正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为奇函数．
2．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧
(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω＜0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．
1．准确理解“图象变换法”
(1)由y＝sin x到y＝sin (x＋φ)的图象变换称为相位变换，由y＝sin x到y＝sin ωx图象的变换称为周期变换；由y＝sin x到y＝Asin x图象的变换称为振幅变换．
(2)由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin (ωx＋φ)的图象，其变换途径有两条，注意两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：①是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．②是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．
(3)类似地y＝Acos (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象也可以由y＝cos x的图象变换得到．
2．由y＝Asin (ωx＋φ)的图象性质或部分图象确定解析式的关键在于确定参数A，ω，φ.其基本方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解.
1．思考辨析
(1)y＝sin 3x的图象向左平移个单位所得图象的解析式是y＝sin.( )
(2)y＝sin x的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin 2x.( )
(3)y＝sin x的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin x．( )
[提示] (1)错误．y＝sin 3x的图象向左平移个单位得y＝sin＝sin.
(2)错误．y＝sin 2x应改为y＝sinx.
(3)错误．y＝sin x应改为y＝2sin x.
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为________．
[函数y＝cos xy＝cosx.所以ω＝.]
3．由y＝3sin x的图象变换到y＝3sin的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位，后者需向左平移________个单位．
[y＝3sin xy＝3sin
y＝3sin，
y＝3sin xy＝3sin
y＝3sin＝3sin.]
4．已知函数f(x)＝3sin＋3(x∈R)，用图象变换法画出它在一个周期内的闭区间上的图象．
[解]
课件57张PPT。第五章 三角函数5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
5.6.2 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(五十) 函数y＝Asin(x＋φ)
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列表示函数y＝sin在区间上的简图正确的是( )
A [当x＝π时，y＝sin＝－排除B、D.
当x＝时y＝sin 0＝0，排除C，故选A.]
2．把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，所得到的图象对应的函数是( )
A．奇函数
B.偶函数
C．既是奇函数也是偶函数
D.非奇非偶函数
A [y＝sin＝sin，向左平移个单位长度后为y＝sin＝sin 2x，为奇函数．]
3．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x＝对称；(3)在上单调递增”的一个函数是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
C [由(1)知T＝π＝，ω＝2，排除A.由(2)(3)知x＝时，f(x)取最大值，验证知只有C符合要求．]
4．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，若A＞0，ω＞0，|φ|＜，则( )
A．B＝4 B．φ＝
C．ω＝1 D．A＝4
B [由函数图象可知f(x)min＝0，f(x)max＝4.
所以A＝＝2，B＝＝2.
由周期T＝＝4知ω＝2.
由f＝4得2sin＋2＝4，
sin＝1，又|φ|＜，故φ＝.]
5．已知函数f(x)＝cos(ω＞0)的相邻两个零点的距离为，要得到y＝f(x)的图象，只需把y＝cos ωx的图象( )
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
A [由已知得＝2×，故ω＝2.
y＝cos 2x向右平移个单位可得y＝cos 2＝cos的图象．]
二、填空题
6．要得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝sin的图象向右平移________个单位．
[由于y＝sin＝sin，故要得到y＝sinx的图象，只要将y＝sin的图象向右平移个单位．]
7．将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，则所得的函数解析式是________．
y＝sin [y＝sin3x＋
y＝sin＝sin
y＝sin，
故所得的函数解析式是y＝sin.]
8．某同学利用描点法画函数y＝Asin (ωx＋φ)(其中0
x
0
1
2
3
4
y
1
0
1
－1
－2
经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝Asin (ωx＋φ)的解析式应是________．
y＝2sin [在平面直角坐标系中描出这五个点，如图所示．
根据函数图象的大致走势，
可知点(1,0)不符合题意；
又因为0所以A＝2.
因为函数图象过(0,1)，∴2sin φ＝1，
又∵－<φ<，∴φ＝，
由(0,1)，(2,1)关于直线x＝1对称，
知x＝1时函数取得最大值2，
因此函数的最小正周期为6.
∴ω＝.]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)如何由函数y＝sin x的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f(x)的图象，写出变换过程．
[解] (1)由图象知A＝1.f(x)的最小正周期T＝4×＝π，故ω＝＝2，
将点代入f(x)的解析式得sin＝1，
又|φ|＜，∴φ＝.故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin.
(2)变换过程如下：
y＝sin x图象上的y＝sin 2x的图象，再把y＝sin 2x的图象,向左平移个单位y＝sin的图象．
10．已知函数f(x)＝2cos2ωx－1＋2sin ωxcos ωx(0＜ω＜1)，直线x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g＝，α∈，求sin α的值．
[解] (1)f(x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＝2sin2ωx＋，
由于直线x＝是函数f(x)＝2sin的图象的一条对称轴，
所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，
解得ω＝k＋(k∈Z)，
又0＜ω＜1，所以ω＝，
所以f(x)＝2sin.
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为2kπ－，2kπ＋(k∈Z)．
(2)由题意可得g(x)＝2sin，
即g(x)＝2cos，
由g＝2cos＝2cos＝，得cos＝，
又α∈，故＜α＋＜，
所以sin＝，
所以sin α＝sin
＝sin·cos－cos·sin
＝×－×＝.
[等级过关练]
1．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin ax的部分图象不可能是( )
D [当a＝0时，f(x)＝1，是选项C，当a≠0时，
函数f(x)＝1＋asin ax的周期T＝，
振幅为|a|，所以当|a|＜1时，T＞2π.
当|a|＞1时T＜2π，由此可知A，B有可能出现，D不可能．]
2．函数y＝sin 2x的图象向右平移φ个单位长度(φ＞0)得到的图象恰好关于x＝对称，则φ的最小值是________．
[函数y＝sin 2x的图象向右平移后得到y＝sin[2(x－φ)]的图象，而x＝是对称轴，即2＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝－(k∈Z)．又φ＞0当k＝－1时，φ取得最小值.]
3．函数f(x)＝3sin的图象为C，则以下结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)
①图象C关于直线x＝对称；
②图象C关于点对称；
③函数f(x)在区间内是增函数；
④由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
②③ [f＝3sin
＝3sin＝－.
f＝3sin＝0，
故①错，②正确．
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤π＋kπ，k∈Z，故③正确．
函数y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝3sin 2＝3sin的图象，故④错．]
4．函数y＝2sin πx－(－2≤x≤4)的所有零点之和为________．
8 [函数y＝2sin πx－(－2≤x≤4)的零点即
方程2sin πx＝的根，
作函数y＝2sin πx与y＝的图象如下：由图可知共有8个公共点所以原函数有8个零点．
y＝2sin πx－＝2sin π(1－x)－，
令t＝1－x，则y＝2sin πt－，t∈[－3,3]，
该函数是奇函数，故零点之和为0.所以原函数的零点之和为8.]
5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的一系列对应值如下表：
x
－
y
－1
1
3
1
－1
1
3
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的最小正周期为，当x∈时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
[解] (1)设f(x)的最小正周期为T，则T＝－＝2π，由T＝，得ω＝1，又解得令ω·＋φ＝，即＋φ＝，解得φ＝－，∴f(x)＝2sin＋1.(答案不唯一)
(2)∵函数y＝f(kx)＝2sin＋1的最小正周期为，且k＞0，∴k＝3.令t＝3x－，∵x∈，
∴t∈，如图所示，
当sin t＝s在上有两个不同的实数解时，s∈，∴当x∈时，由方程f(kx)＝m恰有两个不同的实数解得m∈[＋1,3)，即实数m的取值范围是[＋1,3)．
