5.7 三角函数的应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点)
2.实际问题抽象为三角函数模型．(难点)
1.通过建立三角模型解决实际问题，培养数学建模素养.
2.借助实际问题求解，提升数学运算素养.
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
2．解三角函数应用题的基本步骤：
(1)审清题意；
(2)搜集整理数据，建立数学模型；
(3)讨论变量关系，求解数学模型；
(4)检验，作出结论．
1．函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是( )
A．3π，， B．6π，，
C．3π，3，－ D．6π，3，
B [y＝sin的周期T＝＝6π，振幅为，初相为.]
2．函数y＝3sin的频率为________，相位为________，初相为________．
x－ － [频率为＝＝，
相位为x－，初相为－.]
3．如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s往返一次．
0．8 [观察图象可知此简谐运动的周期T＝0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s往返一次．]
4．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________________．
y＝－6sinx [设y与x的函数关系式为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则A＝6，T＝＝12，ω＝.
当x＝9时，ymax＝6.
故×9＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
取k＝1得φ＝π，即y＝－6sinx.]
三角函数模型在物理学中的应用
【例1】 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
[思路点拨] 确定函数y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A，ω，φ的物理意义是解题关键．
[解] 列表如下：
t
－
2t＋
0
π
2π
sin
0
1
0
－1
0
s
0
4
0
－4
0
描点、连线，图象如图所示．
(1)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin ＝2，所以小球开始振动时的位移是2 cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.
(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asin?ωx＋φ?表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数.
交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
[解] (1)当t＝0时，E＝110(V)，即开始时的电压为110 V.
(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s.
(3)电压的最大值为220 V，当100πt＋＝，即t＝ s时第一次取得最大值．
三角函数模型的实际应用
[探究问题]
在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？
提示：(1)根据原始数据给出散点图．
(2)通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．
【例2】 已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b的图象．
(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
[思路点拨] (1)根据y的最大值和最小值求A，b，定周期求ω.
(2)解不等式y＞1，确定有多少时间可供冲浪者活动．
[解] (1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝.又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为，函数解析式为y＝cost＋1(0≤t≤24)．
(2)∵y＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝cost＋1＞1，cost＞0,2kπ－＜t＜2kπ＋，即12k－3＜t＜12k＋3，(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t＜15.
1．若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”，结果又如何？
[解] 由y＝cost＋1＞1.25得cost＞，2kπ－＜t＜2kπ＋，k∈Z，即12k－2＜t＜12k＋2，k∈Z.
又0≤t≤24，所以0≤t＜2或10＜t＜14或22＜t≤24，
所以在规定时间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动，即10＜t＜14.
2．若本例中海滨浴场某区域的水深y(米)与时间t(时)的数据如下表：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
用y＝Asin ωt＋b刻画水深与时间的对应关系，试求此函数解析式．
[解] 函数y＝Asin ωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h，因此＝12，ω＝.
又∵当t＝0时，y＝10；当t＝3时，ymax＝13，
∴b＝10，A＝13－10＝3，
∴所求函数的解析式为y＝3sin t＋10(0≤t≤24)．
解三角函数应用问题的基本步骤
提醒：关注实际意义求准定义域．
1．曲线y＝Asin (ωx＋φ)的应用实质上是物理方面的知识．所以建立该类问题的数学模型一定要结合物理知识进行．
2．解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、还原评价．
(1)构建三角函数模型解决具有周期变化现象的实际问题．
(2)对于测量中的问题归结到三角形中去处理，应用三角函数的概念和解三角形知识解决问题．
1．思考辨析
(1)函数y＝|sin x＋|的周期为π.( )
(2)一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s，振幅为5 cm，则该振子在2 s内通过的路程为50 cm.( )
(3)电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝ s时，电流强度I为 A．( )
[提示] (1)错误．函数y＝|sin x＋|的周期为2π.
(2)错误．一个周期通过路程为20 cm，所以2 s内通过的路程为20×＝100(cm)．
(3)正确．
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1＝5sin，s2＝10cos 2t确定，则当t＝ s时，s1与s2的大小关系是( )
A．s1＞s2 B．s1＜s2
C．s1＝s2 D．不能确定
C [当t＝时，s1＝5sin＝5sin＝－5，
当t＝时，s2＝10cos＝10×＝－5，
故s1＝s2.]
3．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________cm.
[由已知得＝1，所以＝2π，＝4π2，l＝.]
4．如图所示，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式；(其中t以年初以来的月为计量单位)
(2)估计当年3月1日动物种群数量．
[解] (1)设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)，则
解得A＝100，b＝800.
又周期T＝2×(6－0)＝12，
∴ω＝＝，∴y＝100sin＋800.
又当t＝6时，y＝900，
∴900＝100sin＋800，
∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，
∴取φ＝－，
∴y＝100sin＋800.
(2)当t＝2时，
y＝100sin＋800＝750，
即当年3月1日动物种群数量约是750.
课件37张PPT。第五章 三角函数5.7 三角函数的应用点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(五十一) 三角函数的应用
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sin，那么单摆摆动一个周期所需的时间为( )
A．2π s B．π s
C．0.5 s D．1 s
D [依题意是求函数s＝6sin的周期，T＝＝1，故选D.]
2．函数f(x)的部分图象如图所示，则下列选项正确的是( )
A．f(x)＝x＋sin x
B．f(x)＝
C．f(x)＝xcos x
D．f(x)＝x
C [观察图象知函数为奇函数，排除D项；又函数在x＝0处有意义，排除B项；取x＝，f＝0，A项不合适，故选C.]
3．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表：
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
平均温度
－5.9
－3.3
2.2
9.3
15.1
20.3
22.8
22.2
18.2
11.9
4.3
－2.4
则适合这组数据的函数模型是( )
A．y＝acos
B．y＝acos＋k(a＞0，k＞0)
C．y＝－acos＋k(a＞0，k＞0)
D．y＝acos－3
C [当x＝1时图象处于最低点，且易知a＝＞0.故选C.]
4．如图，为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
A [由题目可知最大值为5，∴5＝A×1＋2?A＝3.
T＝15，则ω＝.故选A.]
5．如图是函数y＝sin x(0≤x≤π)的图象，A(x，y)是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B(A，B可重合)．设线段AB的长为f(x)，则函数f(x)的图象是( )
A [当x∈时，f(x)＝π－2x；当x∈时，f(x)＝2x－π，故选A.]
二、填空题
6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.
20．5 [由题意可知A＝＝5，a＝＝23.从而y＝5cos＋23.故10月份的平均气温值为y＝5cos＋23＝20.5.]
7．如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．
y＝2sin [由题图可设y＝Asin(ωt＋φ)，则A＝2，
又T＝2(0.5－0.1)＝0.8，
所以ω＝＝π，
所以y＝2sin，
将点(0.1,2)代入y＝2sin中，
得sin＝1，
所以φ＋＝2kπ＋，k∈Z，
即φ＝2kπ＋，k∈Z，
令k＝0，得φ＝，
所以y＝2sin.]
8．一种波的波形为函数y＝－sinx的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________．
7 [函数y＝－sinx的周期T＝4.且x＝3时y＝1取得最大值，因此t≥7.所以正整数t的最小值是7.]
三、解答题
9．已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
[解] (1)由函数易知，当x＝14时函数取最大值，即最高温度为30 ℃；当x＝6时函数取最小值，即最低温度为10 ℃.所以，最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.
(2)令10sin＋20＝15，
可得sin＝－.
而x∈[4,16]，所以x＝.
令10sin＋20＝25，
可得sin＝，而x∈[4,16]，
所以x＝.故该细菌的存活时间为－＝小时．
10．如图所示，摩天轮的半径为40 m，O点距地面的高度为50 m，摩天轮作匀速转动，每2 min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点．
(1)试确定在时刻t min时P点距离地面的高度；
(2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70 m.
[解] 建立如图所示的平面直角坐标系
(1)设φ(0≤φ≤2π)是以Ox为始边，OP0为终边的角，OP在t min内转过的角为t，即πt∴以Ox为始边，OP为终边的角为(πt＋φ)，即P点纵坐标为40sin(πt＋φ)，∴P点距地面的高度为z＝50＋40sin(πt＋φ)，(0≤φ≤2π)，
由题可知，φ＝，∴z＝50＋40sin＝50＋40cosπt.
(2)当50＋40cosπt≥70时，解之得，2k－≤t≤2k＋，持续时间为min.
即在摩天轮转动一圈内，有minP点距离地面超过70 m.
[等级过关练]
1．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )
A．[0,5] B．[5,10]
C．[10,15] D．[15,20]
C [当10≤t≤15时，有π<5≤≤<π，此时F(t)＝50＋4sin是增函数，即车流量在增加．故应选C.]
2．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( )
A B C D
C [令AP所对圆心角为θ，由|OA|＝1，得l＝θ，sin＝，∴d＝2sin＝2sin，
即d＝f(l)＝2sin(0≤l≤2π)，它的图象为C.]
3．国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P＝Asin＋60(美元)(t(天)，A＞0，ω＞0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________．
[因为Asin＋60＝80，
sin≤1，
所以A＝20，当t＝150(天)时达到最低油价，
即sin＝－1，
此时150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z，
因为ω＞0，所以当k＝1时，ω取最小值，
所以150ωπ＋＝π，解得ω＝.]
4．已知角φ的终边经过点P(1，－1)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象上的任意两点，若|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为，则f＝________.
－ [由条件|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为，结合图象(略)可知函数f(x)的最小正周期为
，则由T＝＝，得ω＝3.又因为角φ的终边经过点P(1，－1)，所以不妨取φ＝－，则f(x)＝sin，于是f＝sin＝－.]
5．心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数p(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)画出函数p(t)的草图；
(4)求出此人的血压在血压计上的读数．
[解] (1)由于ω＝160π，代入周期公式T＝，可得T＝＝(min)，所以函数p(t)的周期为 min.
(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率f＝＝80(次)．
(3)列表：
t
0
p(t)
115
140
115
90
115
描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示：
(4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.
