1.4 充分条件与必要条件
1.4.1 充分条件与必要条件
1.4.2 充要条件
学 习 目 标
核 心 素 养
1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)
2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)
3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)
1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养．
2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养.
1．充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p?q
pq
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？
(2)以下五种表述形式：①p?q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？
提示：(1)相同，都是p?q.(2)等价．
2．充要条件
(1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
概括地说，如果p?q，那么p与q互为充要条件．
(2)若p?q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．
(3)若q?p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．
(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
提示：(1)正确．若p是q的充要条件，则p?q，即p等价于q.
(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
1．下列语句是命题的是( )
A．梯形是四边形 B．作直线AB
C．x是整数 D．今天会下雪吗
A [D不是陈述句，B、C不能判断真假．]
2．“同位角相等”是“两直线平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
3．使x>3成立的一个充分条件是( )
A．x>4 B．x>0
C．x>2 D．x<2
A [只有x>4?x>3，其他选项均不可推出x>3.]
4．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
A [因为x≥2且y≥2?x2＋y2≥4, x2＋y2≥4x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件．]
充分条件、必要条件的判断
【例1】 指出下列各题中p是q的什么条件．
(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0.
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等．
(3)p：a＞b，q：ac＞bc.
[解] (1)x－3＝0?(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．
(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等?两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．
(3)a＞bac＞bc，且ac＞bca＞b，
故p是q的既不充分也不必要条件．
定义法判断充分条件、必要条件
?1?确定谁是条件，谁是结论
?2?尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件
?3?尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.
1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．
(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．
(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
[解] (1)因为四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，
所以p是q的既不充分也不必要条件．
(2)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0?x＝1且y＝2?(x－1)(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0(x－1)2＋(y－2)2＝0，所以p是q的充分不必要条件．
充分条件、必要条件、充要条件的应用
[探究问题]
1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？
提示：若p是q的充分不必要条件，则AB，若p是q的必要不充分条件，则BA.
2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M?N，则p是q的什么条件？若N?M，M＝N呢？
提示：若M?N，则p是q的充分条件，若N?M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q的充要条件．
【例2】 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．
[思路点拨] →→
{m|m≥9} [因为p是q的充分不必要条件，所以p?q且qp.
即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，所以或解得m≥9.
所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．]
1．本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．
[解] 因为p是q的必要不充分条件，所以q?p，且pq.
则{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}{x|－2≤x≤10}，
所以，解得0
即m的取值范围是{m|0＜m≤3}．
2．若本例题改为：已知P＝{x|a－4[解] 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q?P.
所以解得－1≤a≤5，
即a的取值范围是{a|－1≤a≤5}．
利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围
?1?化简p，q两命题；
?2?根据p与q的关系?充分、必要、充要条件?转化为集合间的关系；
?3?利用集合间的关系建立不等式；
?4?求解参数范围.
充要条件的探求与证明
【例3】 试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
[思路点拨] 从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．
[证明] ①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0.
②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
充要条件的证明策略
?1?要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.
?2?在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.
提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向.
2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
[证明] 假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，
q：a＋b＋c＝0.
①证明p?q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，
即a＋b＋c＝0.
②证明q?p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0，
即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴x＝1是方程的一个根．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断．
(2)等价法：“p?q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．
(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A?B，则p是q的充分条件；若A?B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充分必要条件．
1．思考辨析
(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )
(2)q不是p的必要条件时，“pq”成立．( )
(3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．“x>0”是“x≠0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A [由“x>0”?“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件．]
3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．
m＝－2 [函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．]
4．已知p：实数x满足3a[解] 由p：3aq：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为p?q，所以A?B，
所以即－≤a<0，
所以a的取值范围是.
课件35张PPT。第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件
1.4.1 充分条件与必要条件
1.4.2 充要条件点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(六) 充分条件与必要条件
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A?B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A?B”的充分不必要条件．]
2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立，故选B.]
3．下列条件中，是x2<4的必要不充分条件的是( )
A．－2≤x≤2 B．－2C．0A [由x2<4得－24．“|x|＝|y|”是“x＝y”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
B [若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；而x＝y?|x|＝|y|，故选B.]
5．a<0，b<0的一个必要条件为( )
A．a＋b<0 B．a－b>0
C. >1 D. <－1
A [a＋b<0a<0，b<0，而a<0，b<0?a＋b<0.故选A.]
二、填空题
6．已知△ABC，△A1B1C1，两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
必要不充分 [由两三角形对应角相等△ABC≌△A1B1C1；反之由△ABC≌△A1B1C1?∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1.]
7．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的______条件．
充要 [因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0，
所以充分性成立；因为ab>0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，所以必要性成立．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．]
8．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分条件，则a的取值范围是__________．
{a|a≤1} [p：x>1，若p是q的充分条件，则p?q，即p对应集合是q对应集合的子集，故a≤1.]
三、解答题
9．指出下列各组命题中，p是q的什么条件：
(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC；
(2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；
(3)p：a[解] 在(1)中，由大角对大边，且A>B知BC>AC，反之也正确，所以p是q的充要条件；
在(2)中，若a＝3，则(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)(a－3)＝0不一定a＝3，所以p是q的充分条件但不是必要条件；
在(3)中，若a10．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件？
(2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件？
[解] (1)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件，
则只要?{x|x<－1或x>3}，
即只需－≤－1，所以m≥2.
故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件．
(2)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3}?，
这是不可能的．
故不存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件．
[等级过关练]
1．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
D．无法判断
A [因为甲是乙的必要条件，所以乙?甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙?乙，但乙丙，如图．综上，有丙?甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．]
2．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则( )
A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件
D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
B [由A∪B＝C知，x∈A?x∈C，x∈Cx∈A.所以x∈C是x∈A的必要不充分条件．]
3．若p：x－3<0是q：2x－3{m|m＞3} [由x－3<0得x<3，由2x－3由p是q的充分不必要条件知{x|x<3}，
所以(m＋3)＞3，解得m＞3.]
4．设p：≤x≤1；q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是________．
[因为q：a≤x≤a＋1，p是q的充分条件，
所以
解得0≤a≤.]
5．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
[解] ①当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；
②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a＜0；
若方程有两个负的实根，
则必须满足即0＜a≤.
综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤.
反之，若a≤，则方程至少有一个负的实根．
因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤.
