2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 一元二次不等式及其解法
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握一元二次不等式的解法(重点).
2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题(难点).
通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养.
1．一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
2．一元二次不等式的一般形式
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．
(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．
(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．
(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？
提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．
3．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．
思考2：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？
提示：不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．
4．三个“二次”的关系
设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
解不等式y＞0或y＜0的步骤
求方程y＝0的解
有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有
实数根
画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
得等的集不式解
y＞0
{x|x＜x1_或x＞x2}
R
y＜0
{x|x1＜x＜x2}
?
?
思考3：若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？
提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则解得a∈?，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R.
1．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为( )
A.
B.
C.
D．R
C [3＋5x－2x2≤0?2x2－5x－3≥0?(x－3)(2x＋1)≥0?x≥3或x≤－.]
2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为( )
A. B.
C．? D．R
D [因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R.]
3．不等式x2－2x－5>2x的解集是________．
{x|x>5或x<－1} [由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0，因为x2－4x－5＝0的两根为－1,5，
故x2－4x－5>0的解集为{x|x<－1或x>5}．]
4．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________．
? [原不等式变形为3x2－5x＋4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解．
由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4<0的解集为?.]
一元二次不等式的解法
【例1】 解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3>0；
(2)－4x2＋18x－≥0；
(3)－2x2＋3x－2<0.
[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为2≤0，所以原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
?1?化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.
?2?判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.
?3?求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
?4?画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
?5?写解集.根据图象写出不等式的解集.
1．解下列不等式
(1)2x2－3x－2>0；
(2)x2－4x＋4>0；
(3)－x2＋2x－3<0；
(4)－3x2＋5x－2>0.
[解] (1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－，x2＝2，
∴不等式2x2－3x－2>0的解集为
.
(2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，
∴不等式x2－4x＋4>0的解集为.
(3)原不等式可化为x2－2x＋3>0，
由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无解，
∴不等式－x2＋2x－3<0的解集为R.
(4)原不等式可化为3x2－5x＋2<0，
由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝1，
∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集为.
含参数的一元二次不等式的解法
【例2】 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
[思路点拨] ①对于二次项的系数a是否分a＝0，a<0，a>0三类进行讨论？②当a≠0时，是否还要比较两根的大小？
[解] 当a＝0时，原不等式可化为x>1.
当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0.
当a<0时，不等式可化为(x－1)>0，
∵<1，∴x<或x>1.
当a>0时，原不等式可化为(x－1)<0.
若<1，即a>1，则
若＝1，即a＝1，则x∈?；
若>1，即0综上所述，当a<0时，原不等式的解集为；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当01时，原不等式的解集为.
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．
2．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．
[解] 原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，
化简为(x＋1)(ax－2)≥0.
∵a<0，∴(x＋1)≤0.
当－2当a＝－2时，x＝－1；
当a<－2时，－1≤x≤.
综上所述，
当－2当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；
当a<－2时，解集为.
三个“二次”的关系
[探究问题]
1．利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？
提示：y＝x2－2x－3的图象如图所示．
函数y＝x2－2x－3的值满足y>0时自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝x2－2x－3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合{x|x<－1或x>3}；同理，满足y<0时x的取值集合为{x|－1方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式．
2．方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？
提示：方程x2－2x－3＝0的解集为{－1,3}．
不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}，观察发现不等式x2－2x－3>0解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．
3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2}，{x|x1提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2}，{x|x1【例3】 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2[思路点拨] →→→→
[解] 法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为.
法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|21．(变结论)本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
[解] 由根与系数的关系知＝－5，＝6且a<0.
∴c<0，＝－，故不等式cx2－bx＋a>0，
即x2－x＋<0，即x2＋x＋<0.
解之得.
2．(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2[解] 法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a＜0.又×2＝＜0，则c＞0.
又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
∴－＝，∴＝－.
又＝－，∴b＝－a，c＝－a，
∴不等式变为x2＋x＋a＜0，
即2ax2＋5ax－3a＞0.
又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，
所求不等式的解集为.
法二：由已知得a＜0 且＋2＝－，×2＝知c＞0，
设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝，
其中＝＝－，
－＝＝＝＋＝－，
∴x1＝＝－3，x2＝.
∴不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为.
已知以a，b，c为参数的不等式?如ax2＋bx＋c＞0?的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：
?1?根据解集来判断二次项系数的符号；
?2?根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
?3?约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
1．解一元二次不等式的常见方法
(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：
①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；
③由图象得出不等式的解集．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．
当m若(x－m)(x－n)＜0，则可得{x|m＜x＜n}．
有口诀如下：大于取两边，小于取中间．
2．含参数的一元二次型的不等式
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，
x1＝x2，x1＜x2.
3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标.
1．思考辨析
(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．( )
(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．( )
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1(4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.( )
[提示] (1)错误．当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，是一元二次不等式．
(2)错误．因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R.
(3)错误．当a>0时，ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1(4)正确．因为Δ＝(－2)2－12<0，所以不等式x2－2x＋3>0的解集为R.
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为________．
[因为a<－1，所以a(x－a)·<0?(x－a)·>0.又a<－1，所以>a，所以x>或x3．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是，则ax2－bx＋c>0的解集为________．
[由题意，－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根且a<0，
故解得a＝c，b＝a.
所以不等式ax2－bx＋c>0，即为2x2－5x＋2<0，
解得0的解集为.]
4．解下列不等式：
(1)x(7－x)≥12；
(2)x2>2(x－1)．
[解] (1)原不等式可化为x2－7x＋12≤0，因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4，
所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}．
(2)原不等式可以化为x2－2x＋2>0，
因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，方程x2－2x＋2＝0无实根，而抛物线y＝x2－2x＋2的图象开口向上，
所以原不等式的解集为R.
课件54张PPT。第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 一元二次不等式及其解法点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 一元二次不等式的应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握一元二次不等式的实际应用(重点).
2.理解三个“二次”之间的关系.
3.会解一元二次不等式中的恒成立问题(难点).
1.通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养.
2.借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养.
1．分式不等式的解法
主导思想：化分式不等式为整式不等式
类型
同解不等式
＞0(＜0)
(其中a，b，c，d为常数)
法一：
或
法二：
(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0)
≥0(≤0)
法一：
或
法二：
＞k(其中k为非零实数)
先移项通分转化为上述两种形式
思考1：>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？将>0变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？
提示：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．
2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件
不等式
ax2＋bx＋c>0
ax2＋bx＋c<0
a＝0
b＝0，c>0
b＝0，c<0
a≠0
(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
设二次函数
y＝ax2＋bx＋c
若ax2＋bx＋c≤k恒成立?ymax≤k
若ax2＋bx＋c≥k恒成立?ymin≥k
3.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤
(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．
(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．
(3)解不等式(或求函数最值)．
(4)回扣实际问题．
思考2：解一元二次不等式应用题的关键是什么？
提示：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．
1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B等于( )
A．{x|－1≤x<0} B．{x|0C．{x|0≤x<2} D．{x|0≤x≤1}
B [∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|02．不等式≥5的解集是________．
[原不等式?≥?≤0?解得03．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
a＞4或a＜－4 [∵x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4＜0有解，∴Δ＝a2－4×1×4＞0，解得，a＞4或a＜－4.]
4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是________．
{x|10≤x≤30} [设矩形高为y，由三角形相似得：＝，且x>0，y>0，x<40，y<40，xy≥300，整理得y＋x＝40，将y＝40－x代入xy≥300，整理得x2－40x＋300≤0，解得10≤x≤30.]
分式不等式的解法
【例1】 解下列不等式：
(1)<0；
(2)≤1.
[解] (1)<0?(x－3)(x＋2)<0?－2∴原不等式的解集为{x|－2(2)∵≤1，
∴－1≤0，
∴≤0，
即≥0.
此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，
解得x<或x≥4，
∴原不等式的解集为.
1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
1．解下列不等式：(1)≥0；(2)<3.
[解] (1)根据商的符号法则，不等式≥0可转化成不等式组
解这个不等式组，可得x≤－1或x>3.
即知原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}．
(2)不等式<3可改写为－3<0，
即<0.
可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，
解得－1所以，原不等式的解集为{x|－1一元二次不等式的应用
【例2】 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
[思路点拨] 将文字语言转换成数学语言：“税率降低x个百分点”即调节后税率为(8－x)%；“收购量能增加2x个百分点”，此时总收购量为m(1＋2x%)吨，“原计划的78%”即为2 400m×8%×78%.
[解] 设税率调低后“税收总收入”为y元．
y＝2 400m(1＋2x%)·(8－x)%
＝－m(x2＋42x－400)(0依题意，得y≥2 400m×8%×78%，
即－m(x2＋42x－400)≥2 400m×8%×78%，
整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.
根据x的实际意义，知x的范围为0求解一元二次不等式应用问题的步骤
2．某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．
[解] 设花卉带的宽度为x m(0不等式恒成立问题
[探究问题]
1．若函数y＝ax2＋2x＋2对一切x∈R，f(x)>0恒成立，如何求实数a的取值范围？
提示：若a＝0，显然y>0不能对一切x∈R都成立．所以a≠0，此时只有二次函数y＝ax2＋2x＋2的图象与直角坐标系中的x轴无交点且抛物线开口向上时，才满足题意，则解得a>.
2．若函数y＝x2－ax－3对－3≤x≤－1上恒有x2－ax－3<0成立，如何求a的范围？
提示：要使x2－ax－3<0在－3≤x≤－1上恒成立，则必使函数y＝x2－ax－3在－3≤x≤－1上的图象在x轴的下方，由y的图象可知，此时a应满足
即
解得a<－2.
故当a＜－2时，有f(x)<0在－3≤x≤－1上恒成立．
3．若函数y＝x2＋2(a－2)x＋4对任意－3≤a≤1时，y<0恒成立，如何求x的取值范围？
提示：由于本题中已知a的取值范围求x，所以我们可以把函数f(x)转化为关于自变量是a的函数，求参数x的取值问题，则令y＝2x·a＋x2－4x＋4.
要使对任意－3≤a≤1，y<0恒成立，只需满足
即
因为x2－2x＋4<0的解集是空集，
所以不存在实数x，使函数y＝x2＋2(a－2)x＋4对任意－3≤a≤1，y<0恒成立．
【例3】 已知y＝x2＋ax＋3－a，若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，求a的取值范围．
[思路点拨] 对于含参数的函数在某一范围上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解．
[解] 设函数y＝x2＋ax＋3－a在－2≤x≤2时的最小值为关于a的一次函数，设为g(a)，则
(1)当对称轴x＝－<－2，即a>4时，g(a)＝(－2)2＋(－2)a＋3－a＝7－3a≥0，解得a≤，与a>4矛盾，不符合题意．
(2)当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，g(a)＝3－a－≥0，解得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2.
(3)当－>2，即a<－4时，g(a)＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥0，解得a≥－7，此时－7≤a<－4.
综上，a的取值范围为－7≤a≤2.
1．(变结论)本例条件不变，若y＝x2＋ax＋3－a≥2恒成立，求a的取值范围．
[解] 若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥2恒成立可转化为：
当－2≤x≤2时，ymin≥2
?
或
或
解得a的取值范围为－5≤x≤－2＋2.
2．(变条件)将例题中的条件“y＝x2＋ax＋3－a，－2≤x≤2，y≥0恒成立”变为“不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R”，求a的取值范围．
[解] 法一：∵不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R，
∴函数y＝x2＋2x＋a2－3的图象应在x轴上方，
∴Δ＝4－4(a2－3)<0，
解得a>2或a<－2.
法二：令y＝x2＋2x＋a2－3，要使x2＋2x＋a2－3>0的解集为R，则a满足ymin＝a2－4>0，解得a>2或a<－2.
法三：由x2＋2x＋a2－3>0，得a2>－x2－2x＋3，
即a2>－(x＋1)2＋4，要使该不等式在R上恒成立，必须使a2大于－(x＋1)2＋4的最大值，即a2>4，故a>2或a<－2.
1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；
当a≠0时，
2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；
当a≠0时，
3．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．
2．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然，这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简单结论：
(1)若f(x)有最大值f(x)max，则a>f(x)恒成立?a>f(x)max；(2)若f(x)有最小值f(x)min，则a3．在某集合A中恒成立问题
设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
若ax2＋bx＋c＞0在集合A中恒成立，则集合A是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的取值(范围).
1．思考辨析
(1)不等式>1的解集为x<1.( )
(2)求解m>ax2＋bx＋c(a＜0)恒成立时，可转化为求解y＝ax2＋bx＋c的最小值，从而求出m的范围．( )
[提示] (1)>1?－1>0?<0?{x|0(2)m>ax2＋bx＋c(a＜0)恒成立转化为m>ymax，故(2)错．
[答案] (1)× (2)×
2．不等式>0的解集为________．
{x|－4－1} [原式可转化为(x＋1)(x＋2)2(x＋3)(x＋4)>0，
根据数轴穿根法，解集为－4－1.]
3．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，则实数a的取值范围是________．
－2＜a≤2 [当a－2＝0，即a＝2时，－4＜0恒成立；
当a－2≠0，即a≠2时，则有
解得－2＜a＜2.综上，实数a的取值范围是－2＜a≤2.]
4．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？
[解] 设每盏台灯售价x元，则x≥15，并且日销售收入为x[30－2(x－15)]，由题意知，当x≥15时，有x[30－2(x－15)]>400，解得：15≤x<20.
所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为15≤x＜20.
课件46张PPT。第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第2课时 一元二次不等式的应用点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十二) 一元二次不等式及其解法
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )
A. B.
C．? D.
D [(3x＋1)2≤0，
∴3x＋1＝0，∴x＝－.]
2．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|x∈N*，x≤5}，则A∩B等于( )
A．{1,2,3} B．{1,2}
C．{4,5} D．{1,2,3,4,5}
B [(2x＋1)(x－3)<0，∴－又x∈N*且x≤5，则x＝1,2.]
3．若0A. B.
C. D.
D [0＜t＜1时，t<，∴解集为.]
4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为( )
A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3}
C．{x|－2C [由题意知，－2＋3＝－，－2×3＝，∴b＝－a，c＝－6a，
∴ax2＋bx＋c＝ax2－ax－6a>0，
∵a<0，∴x2－x－6<0，
∴(x－3)(x＋2)<0，∴－25．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A．0＜x＜2 B．－2＜x＜1
C．x＜－2或x＞1 D．－1＜x＜2
B [根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故不等式的解集是－2＜x＜1.]
二、填空题
6．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．
{x|－4＜x＜1} [由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－47．若关于x的不等式－x2＋2x＞mx的解集是{x|0＜x＜2}，则实数m的值是________．
1 [将原不等式化为x2＋(m－2)x＜0，即x(x＋2m－4)＜0，故0,2是对应方程x(x＋2m－4)＝0的两个根，代入得m＝1.]
8．已知集合A＝{x|3x－2－x2<0}，B＝{x|x－a<0}，且B?A，则a的取值范围为________．
{a|a≤1} [A＝{x|3x－2－x2<0}＝{x|x2－3x＋2>0}＝{x|x<1或x>2}，B＝{x|x若B?A，如图，则a≤1.
]
三、解答题
9．求下列不等式的解集：
(1)x2－5x＋6>0；
(2)－x2＋3x－5>0.
[解] (1)方程x2－5x＋6＝0有两个不等实数根x1＝2，x2＝3，又因为函数y＝x2－5x＋6的图象是开口向上的抛物线，且抛物线与x轴有两个交点，分别为(2,0)和(3,0)，其图象如图(1)．根据图象可得不等式的解集为{x|x>3或x<2}．
(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，对于方程x2－6x＋10＝0，因为Δ＝(－6)2－40<0，所以方程无解，又因为函数y＝x2－6x＋10的图象是开口向上的抛物线，且与x轴没有交点，其图象如图(2)．根据图象可得不等式的解集为?.
10．解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.
[解] 原不等式可化为
[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0，
讨论a＋1与2(a－1)的大小
(1)当a＋1>2(a－1)，即a<3时，x>a＋1或x<2(a－1)．
(2)当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，x≠4.
(3)当a＋1<2(a－1)，即a>3时，x>2(a－1)或x综上：当a<3时，解集为{x|x>a＋1或x<2(a－1)}，
当a＝3时，解集为{x|x≠4}，
当a>3时，解集为{x|x>2(a－1)或x[等级过关练]
1．不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是( )
A. B．R
C. D．?
A [因为Δ＝a2＋4m>0，所以函数y＝mx2－ax－1的图象与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集不可能是B、C、D，故选A.]
2．关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－10的解集为( )
A．{x|－2B．{x|x>2或x<－1}
C．{x|x>1或x<－2}
D．{x|x<－1或x>1}
C [∵ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1∴
解得
∴bx2－ax－2>0，即x2＋x－2>0，
解得x>1或x<－2.]
3．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集是________．
{x|2＜x＜3} [由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的根，且a＜0，由根与系数的关系，得
＋＝，×＝－，解得a＝－6，b＝5，∴不等式x2－bx－a＜0，即为x2－5x＋6＜0的解集为{x|2＜x＜3}．]
4．设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，若A?{x|1≤x≤3}，则a的取值范围为________．
－1＜a≤ [设y＝x2－2ax＋a＋2，因为不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，且A?{x|1≤x≤3}，
所以对于方程x2－2ax＋a＋2＝0.
若A＝?，则Δ＝4a2－4(a＋2)＜0，
即a2－a－2＜0，解得－1＜a＜2.
若A≠?，
则
即
所以2≤a≤.
综上，a的取值范围为－1＜a≤.]
5．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集．
[解] 原不等式可化为(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，
由x＝0适合不等式得(a＋1)(2a－3)>0，
所以a<－1或a>.
若a<－1，则－2a＋3－＝(－a＋1)>5，
所以3－2a>，
此时不等式的解集是；
若a>，由－2a＋3－＝(－a＋1)<－，
所以3－2a<，
此时不等式的解集是.
综上，当a<－1时，原不等式的解集为，当a>时，原不等式的解集为.
课时分层作业(十三) 一元二次不等式的应用
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．不等式≥0的解集为( )
A．{x|－1C．{x|－1≤x≤1} D．{x|－1B [原不等式?
∴－1≤x<1.]
2．不等式<0的解集为( )
A．{x|－1B．{x|1C．{x|2D．{x|－1A [原不等式?
∴－13．不等式组有解，则实数a的取值范围是( )
A．－1＜a＜3 B．a＜－1或a＞3
C．－3＜a＜1 D．a＜－3或a＞1
A [由题意得，a2＋1∴只须4＋2a>a2＋1，即a2－2a－3<0，
∴－14．二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数的条件是( )
A. B.
C. D.
D [二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数等价于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故需要.]
5．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．－1C．－C [∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，
∴不等式(x－a)⊙(x＋a)<1，
即(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立，
所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，
解得－二、填空题
6．当1＜x＜2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
m≤－5 [设y＝x2＋mx＋4，要使1＜x＜2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．
则有解得m≤－5.]
7．若0＜a＜1，则不等式(a－x)＞0的解集是________．
[原不等式为(x－a)＜0，
由0＜a＜1，得a＜，∴a＜x＜.]
8．某地每年销售木材约20万m3，每立方米价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．
3≤t≤5 [设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2 400××t%＝60(8t－t2)．
令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.]
三、解答题
9．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R?
[解] (1)由题意知1－a<0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，
∴解得a＝3.
∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0，
即为2x2－x－3>0，解得x<－1或x>，
∴所求不等式的解集为.
(2)ax2＋bx＋3≥0，即3x2＋bx＋3≥0，
若此不等式解集为R，则Δ＝b2－4×3×3≤0，
∴－6≤b≤6.
10．某地区上年度电价为0.8元/kw·h，年用电量为a kw·h.本年度计划将电价降低到0.55元/kw·h至0.75元/kw·h之间，而用户期望电价为0.4元/kw·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kw·h.
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?
[解] (1)设下调后的电价为x元/千瓦时，依题意知，用电量增至＋a，电力部门的收益为
y＝(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．
(2)依题意，有
整理，得
解此不等式，得0.60≤x≤0.75.
∴当电价最低定为0.60元/千瓦时时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.
[等级过关练]
1．下列选项中，使不等式x<A．x＜－1 B．－1＜x＜0
C．0＜x＜1 D．x＞1
A [法一：取x＝－2，知符合x<法二：由题知，不等式等价于·<0，即<0，从而<0，解得x<－1，选A.]
2．若不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )
A．－3＜k＜0 B．－3≤k＜0
C．－3≤k≤0 D．－3＜k≤0
D [当k＝0时，显然成立；
当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则解得－3＜k＜0.
综上，满足不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是－3＜k≤0.]
3．不等式|x(x－2)|＞x(x－2)的解集是________．
{x|0＜x＜2} [不等式|x(x－2)|＞x(x－2)的解集即x(x－2)＜0的解集，解得0＜x＜2，故不等式的解集为{x|0＜x＜2}．]
4．不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，则实数k的取值范围为________．
－8≤λ≤4 [因为x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，
所以x2＋8y2－λy(x＋y)≥0对于任意的x，y∈R恒成立，
即x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立，
由二次不等式的性质可得，
Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0，
所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.]
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，且不等式ax2＋bx＋c＞－2x的解集为{x|1＜x＜3}．
(1)若方程ax2＋bx＋c＋6a＝0有两个相等的实根，求y＝ax2＋bx＋c的函数式；
(2)若y＝ax2＋bx＋c的最大值为正数，求a的取值范围．
[解] (1)∵ax2＋bx＋c＋2x＞0的解集为(1,3)，
∴ax2＋(b＋2)x＋c＝a(x－1)(x－3)且a＜0，
ax2＋bx＋c＝ax2－(2＋4a)x＋3a.①
又∵ax2＋bx＋c＋6a＝0化简为ax2－(2＋4a)x＋9a＝0，
有两个相等的实根，
∴Δ＝[－(2＋4a)]2－4a×9a＝0，
即5a2－4a－1＝0，解得a＝－或a＝1(舍去)．
将a＝－代入①得y＝－x2－x－.
(2)由y＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝a2－及a＜0，
可得y的最大值为－，由解得a＜－2－或－2＋＜a＜0，
故当y的最大值为正数时，实数a的取值范围是a＜－2－或－2＋＜a＜0.
