4.1 指数
第1课时 根式
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点)
2．能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点)
借助根式的性质对根式进行运算，培养数学运算素养.
1．根式及相关概念
(1)a的n次方根定义
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)a的n次方根的表示
n的奇偶性
a的n次方根的表示符号
a的取值范围
n为奇数
R
n为偶数
±
[0，＋∞)
(3)根式
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
2．根式的性质(n>1，且n∈N*)
(1)n为奇数时，＝a.
(2)n为偶数时，＝|a|＝
(3)＝0.
(4)负数没有偶次方根．
思考：()n中实数a的取值范围是任意实数吗？
提示：不一定，当n为大于1的奇数时，a∈R；
当n为大于1的偶数时，a≥0.
1.的运算结果是( )
A．3 B．－3
C．±3 D．±
A [＝＝3.]
2．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A. B.
C. D.
C [当m<0时，没有意义，其余各式均有意义．]
3．下列说法正确的个数是( )
①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义．
A．1 B．2 C．3 D．4
B [①16的4次方根应是±2；②＝2，所以正确的应为③④.]
4．若x3＝－5，则x＝________.
－ [若x3＝－5，则x＝＝－.]
n次方根的概念问题
【例1】 (1)27的立方根是________．
(2)已知x6＝2 019，则x＝________.
(3)若有意义，则实数x的取值范围为________．
(1)3 (2)± (3)[－3，＋∞) [(1)27的立方根是3.
(2)因为x6＝2 019，所以x＝±.
(3)要使有意义，则需要x＋3≥0，即x≥－3.
所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)．]
n次方根的个数及符号的确定
?1?n的奇偶性决定了n次方根的个数；
?2?n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号.
1．已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子：
①；②；③；④，其中无意义的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
A [①中(－3)2n>0，所以有意义；②中根指数为5有意义；③中(－5)2n＋1<0，因此无意义；④中根指数为9，有意义．选A.]
利用根式的性质化简求值
【例2】 化简下列各式：
(1)＋()5；
(2)＋()6；
(3).
[解] (1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4.
(2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.
(3)原式＝|x＋2|＝
正确区分与()n
(1)()n已暗含了有意义，据n的奇偶性可知a的范围；
(2)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性．
2．若＝3a－1，求a的取值范围．
[解] ∵＝＝|3a－1|，
由|3a－1|＝3a－1可知3a－1≥0，∴a≥.
故a的取值范围为.
有限制条件的根式的运算
[探究问题]
1．当a>b时，等于多少？
提示：当a>b时，＝a－b.
2．绝对值|a|的代数意义是什么？
提示：|a|＝
【例3】 (1)若x<0，则x＋|x|＋＝________.
(2)若－3[思路点拨] (1)由x<0，先计算|x|及，再化简．
(2)结合－3(1)－1 [∵x<0，∴|x|＝－x，＝|x|＝－x，
∴x＋|x|＋＝x－x－1＝－1.]
(2)[解] －
＝－＝|x－1|－|x＋3|，
当－3当1因此，原式＝
1．在本例(1)条件不变的情况下，求＋.
[解] ＋＝x＋＝x＋1.
2．将本例(2)的条件“－3[解] 原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.因为x≤－3，所以x－1<0，x＋3≤0，
所以原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
带条件根式的化简
?1?有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.
?2?有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.
1．注意同()n的区别．前者求解时，要分n为奇数还是偶数，同时要注意实数a的正负，而后者()n＝a是恒等式，只要()n有意义，其值恒等于a.
2．一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数或偶数这两种情况．
1．思考辨析
(1)实数a的奇次方根只有一个．( )
(2)当n∈N*时，()n＝－2.( )
(3)＝π－4.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．已知m10＝2，则m等于( )
A. B．－ C. D．±
D [∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，
∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m＝±.]
3.＋＝________.
1 [＋＝4－π＋π－3＝1.]
4．已知－1[解] 原式＝－
＝|x－2|－|x＋1|.
因为－1所以x＋1>0，x－2<0，
所以原式＝2－x－x－1＝1－2x.
课件32张PPT。第四章 指数函数与对数函数4.1 指数
第1课时 根式点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 指数幂及运算
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点)
2．掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点)
1.通过分数指数幂、运算性质的推导，培养逻辑推理素养．
2．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养.
1．分数指数幂的意义
分数指数幂
正分数指数幂
规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数指数幂
规定：a－＝＝
(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0，
0的负分数指数幂没有意义
思考：在分数指数幂与根式的互化公式a＝中，为什么必须规定a>0?
提示：①若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即＝a＝0，无研究价值．
②若a<0，a＝不一定成立，如(－2)＝无意义，故为了避免上述情况规定了a>0.
2．有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
1．下列运算结果中，正确的是( )
A．a2a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(－1)0＝1 D．(－a2)3＝a6
A [a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(－1)0＝1，若成立，需要满足a≠1，故选A.]
2．4等于( )
A．25 B. C. D.
B [4＝＝，故选B.]
3．已知a>0，则a等于( )
A. B.
C. D．－
B [a＝＝.]
4．(m)4＋(－1)0＝________.
m2＋1 [(m)4＋(－1)0＝m2＋1.]
根式与分数指数幂的互化
【例1】 将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1)(a>0)；(2)；
(3)(b>0)．
[解] (1)原式＝＝＝＝a.
(2)原式＝＝＝＝＝＝x.
(3)原式＝＝b＝b.
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
1．将下列根式与分数指数幂进行互化：
(1)a3·；(2)(a>0，b>0)．
[解] (1)a3·＝a3·a＝a＝a.
(2)＝
＝＝
＝ab.
利用分数指数幂的运算性质化简求解
【例2】 化简求值：
指数幂运算的常用技巧
?1?有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.
?2?负指数幂化为正指数幂的倒数.
?3?底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.
提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.
2．(1)计算：0＋2－2×－(0.01)0.5；
(2)化简：÷÷
(a>0)．
指数幂运算中的条件求值
[探究问题]
1.2和2存在怎样的等量关系？
提示：2＝2＋4.
2．已知＋的值，如何求a＋的值？反之呢？
提示：设＋＝m，则两边平方得a＋＝m2－2；反之若设a＋＝n，则n＝m2－2，∴m＝.即＋＝.
【例3】 已知a＋a＝4，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
[思路点拨]
[解] (1)将a＋a＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.
(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.
1．在本例条件不变的条件下，求a－a－1的值．
[解] 令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2，
∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8，即a－a－1＝±8.
2．在本例条件不变的条件下，求a2－a－2的值．
[解] 由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8×14＝±112.
解决条件求值的思路
?1?在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值.
?2?在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用.
1．对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律．
2．解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”．
1．思考辨析
(1)0的任何指数幂都等于0.( )
(2)5＝.( )
(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如＝a.( )
(4)a可以理解为个a.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．把根式a化成分数指数幂是( )
A．(－a) B．－(－a)
C．－a D．a
D [由题意可知a≥0，故排除A、B、C选项，选D.]
3．已知x＋x＝5，则的值为( )
A．5 B．23
C．25 D．27
B [∵x＋x＝5，∴x＋x－1＝23，即＝23.]
课件34张PPT。第四章 指数函数与对数函数4.1 指数
第2课时 指数幂及运算点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十三) 根式
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列等式中成立的个数是( )
①()n＝a(n∈N*且n>1)；②＝a(n为大于1的奇数)；③＝|a|＝(n为大于零的偶数)．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
D [由n次方根的定义可知①②③均正确．]
2．若＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．[2,4)∪(4，＋∞)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，4)∪(4，＋∞)
B [由题意可知∴a≥2且a≠4.]
3．化简－等于( )
A．6 B．2x
C．6或－2x D．6或－2x或2x
C [原式＝|x＋3|－(x－3)＝
故选C.]
4．已知xy≠0且＝－2xy，则有( )
A．xy<0 B．xy>0
C．x>0，y>0 D．x<0，y>0
A [＝－2xy≥0，又xy≠0，∴xy<0.]
5．若nA．2m B．2n
C．－2m D．－2n
C [原式＝－＝|m＋n|－|m－n|，∵n0，∴原式＝－(m＋n)－(m－n)＝－2m.]
二、填空题
6．若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________.
－11或7 [因为81的平方根为±9，
所以a＝±9.
又因为－8的立方根为b，
所以b＝－2，所以a＋b＝－11或a＋b＝7.]
7．若＋＝0，则x2 018＋y2 019＝________.
0 [∵≥0，≥0，且＋＝0，
∴即
∴x2 018＋y2 019＝1－1＝0.]
8．已知＋1＝a，化简()2＋＋＝________.
a－1 [由已知＋1＝a，
即|a－1|＝a－1，即a≥1.
所以原式＝(a－1)＋(a－1)＋(1－a)＝a－1.]
三、解答题
9．化简：(1)(x<π，n∈N*)；
(2).
[解] (1)∵x<π，∴x－π<0，
当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x；
当n为奇数时，＝x－π.
综上，＝
(2)∵a≤，∴1－2a≥0，
∴＝＝|2a－1|＝1－2a.
10．设－2[解] 原式＝－＝|x－1|－|x＋2|，
∵－2∴当－2原式＝－(x－1)－(x＋2)＝－2x－1；
当1≤x<2时，原式＝x－1－(x＋2)＝－3.
∴原式＝
[等级过关练]
1．当有意义时，化简－的结果是( )
A．2x－5 B．－2x－1
C．－1 D．5－2x
C [因为有意义，所以2－x≥0，即x≤2，所以原式＝－
＝(2－x)－(3－x)＝－1.
故选C.]
2．下列式子中成立的是( )
A．a＝ B．a＝－
C．a＝－ D．a＝
C [因为a<0，故a＝－(－a)＝－＝－，故选C.]
3．若a>2b，则＋＝________.
2a－3b [因为a>2b，
所以＋＝a－b＋|a－2b|＝a－b＋a－2b＝2a－3b.]
4．等式＝(5－x)成立的x取值范围是________．
[－5,5] [要使＝＝|x－5|＝(5－x)，
则所以－5≤x≤5.]
5．化简y＝＋，并画出简图，写出最小值．
[解] y＝＋
＝|2x＋1|＋|2x－3|＝
其图象如图所示．
由图易知函数的最小值为4.
课时分层作业(二十四) 指数幂及运算
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列各式运算错误的是( )
A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8
B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3
C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6
D．[－(a3)2·(－b2)3]3＝a18b18
C [对于A，(－a2b)2·(－ab2)3＝a4b2·(－a3b6)＝－a7b8，故A正确；对于B，(－a2b3)3÷(－ab2)3＝－a6b9÷(－a3b6)＝a6－3b9－6＝a3b3，故B正确；对于C，(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6，故C错误；对于D，易知正确，故选C.]
[等级过关练]
1．若(1－2x)有意义，则x的取值范围是( )
A．(－∞，＋∞) B.∪
C. D.
D [∵(1－2x) ＝，∴1－2x>0，得x<.]
2．已知ab＝－5，则a＋b的值是( )
A．2 B．0
C．－2 D．±2
B [由题意知ab<0，a＋b＝a＋b＝a＋b＝a＋b＝0，故选B.]
3．已知a－a＝，则a＋a＝________.
3 [因为2＝a＋a－1＋2＝2＋4＝5＋4＝9.又因为a＋a>0，所以a＋a＝3.]
4．设2x＝8y＋1,9y＝3x－9，则x＋y＝________.
27 [由2x＝8y＋1，得2x＝23y＋3，
所以x＝3y＋3.①
由9y＝3x－9，得32y＝3x－9，所以2y＝x－9.②
由①②联立方程组，解得x＝21，y＝6，
所以x＋y＝27.]
5．已知x＋y＝12，xy＝9，且x>y，求的值．
[解] ∵x＋y＝12，xy＝9，∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝108.
∵x>y，∴x－y＝6，
∴＝＝
＝＝＝＝.
