4.2 指数函数
第1课时 指数函数的概念、图象与性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点)
2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点)
1.通过学习指数函数的图象，培养直观想象的数学素养．
2．借助指数函数的定义域、值域的求法，培养逻辑推理素养.
1．指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
2．指数函数的图象和性质
a的范围
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
(0,1)，即当x＝0时，y＝1
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
对称性
函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称
思考1：指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？
提示：指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0
思考2：：指数函数值随自变量有怎样的变化规律？
提示：指数函数值随自变量的变化规律．
1．下列函数一定是指数函数的是( )
A．y＝2x＋1 B．y＝x3
C．y＝3·2x D．y＝3－x
D [由指数函数的定义可知D正确．]
2．函数y＝3－x的图象是( )
A B C D
B [∵y＝3－x＝x，∴B选项正确．]
3．若指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝2x
C．f(x)＝x D．f(x)＝x
B [设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(3)＝8得
a3＝8，∴a＝2，∴f(x)＝2x，故选B.]
4．函数y＝ax(a>0且a≠1)在R上是增函数，则a的取值范围是________．
(1，＋∞) [结合指数函数的性质可知，若y＝ax(a>0且a≠1)在R上是增函数，则a>1.]
指数函数的概念
【例1】 (1)下列函数中，是指数函数的个数是( )
①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；
④y＝2·3x.
A．1 B．2
C．3 D．0
(2)已知函数f(x)为指数函数，且f＝，则f(－2)＝________.
(1)D (2) [(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；
②中指数不是自变量x，而是x的函数，
所以不是指数函数；
③中底数a，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；
④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.
(2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f＝得a－＝，所以a＝3，又f(－2)＝a－2，所以f(－2)＝3－2＝.]
1．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点：
(1)底数是大于0且不等于1的常数；
(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；
(3)ax的系数必须为1.
2．求指数函数的解析式常用待定系数法．
1．已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．
∪(1，＋∞) [由题意可知解得a>，且a≠1，
所以实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．]
指数函数的图象的应用
【例2】 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．0(2)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
(1)D (2)(3,4) [(1)由于f(x)的图象单调递减，所以0又00，b<0，故选D.
(2)令x－3＝0得x＝3，此时y＝4.故函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点(3,4)．]
指数函数图象问题的处理技巧
?1?抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点.
?2?利用图象变换，如函数图象的平移变换?左右平移、上下平移?.
?3?利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势.
2．已知f(x)＝2x的图象，指出下列函数的图象是由y＝f(x)的图象通过怎样的变化得到：
(1)y＝2x＋1；(2)y＝2x－1；(3)y＝2x＋1；
(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|.
[解] (1)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位得到．
(2)y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到．
(3)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位得到．
(4)∵y＝2－x与y＝2x的图象关于y轴对称，∴作y＝2x的图象关于y轴的对称图形便可得到y＝2－x的图象．
(5)∵y＝2|x|为偶函数，故其图象关于y轴对称，故先作出当x≥0时，y＝2x的图象，再作关于y轴的对称图形，即可得到y＝2|x|的图象．]
指数函数的定义域、值域问题
[探究问题]
1．函数y＝2x2＋1的定义域与f(x)＝x2＋1的定义域什么关系？
提示：定义域相同．
2．如何求y＝2x2＋1的值域？
提示：可先令t＝x2＋1，则易求得t的取值范围为[1，＋∞)，又y＝2t在[1，＋∞)上是单调递增函数，故2t≥2，所以y＝2x2＋1的值域为[2，＋∞)．
【例3】 求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝；
(2)y＝x2－2x－3；
(3)y＝4x＋2x＋1＋2.
[思路点拨] ―→
[解] (1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝的定义域为(－∞，0]．
因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1，
所以∈[0,1)，即函数y＝的值域为[0,1)．
(2)定义域为R.
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
∴x2－2x－3≤－4＝16.
又∵x2－2x－3>0，
∴函数y＝x2－2x－3的值域为(0,16]．
(3)因为对于任意的x∈R，函数y＝4x＋2x＋1＋2都有意义，所以函数y＝4x＋2x＋1＋2的定义域为R.因为2x>0，所以4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2，
即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为(2，＋∞)．
1．若本例(1)的函数换为“y＝”，求其定义域．
[解] 由x－1≥0得x≥0，∴x≤0，即函数的定义域为(－∞，0]．
2．若本例(3)的函数增加条件“0≤x≤2”，再求函数的值域．
[解] ∵0≤x≤2，∴1≤2x≤4，∴y＝4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1.
令2x＝t，则t∈[1,4]，且f(t)＝(t＋1)2＋1，
易知f(t)在[1,4]上单调递增，
∴f(1)≤f(t)≤f(4)，即5≤f(t)≤26，
即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为[5,26]．
1．函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．
2．函数y＝af(x)的值域的求解方法如下：
(1)换元，令t＝f(x)；
(2)求t＝f(x)的定义域x∈D；
(3)求t＝f(x)的值域t∈M；
(4)利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
3．形如y＝f(ax)的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域．
1．判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一结构形式．
2．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．
3．由于指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的定义域为R，所以函数y＝af(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同，求与指数函数有关的函数的值域时，要考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性．
1．思考辨析
(1)y＝x2是指数函数．( )
(2)函数y＝2－x不是指数函数．( )
(3)指数函数的图象一定在x轴的上方．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
B [作直线x＝1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，则A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，由图可知b]
3．函数y＝的定义域是________．
[0，＋∞) [由1－x≥0得x≤1＝0，∴x≥0，
∴函数y＝的定义域为[0，＋∞)．]
4．设f(x)＝3x，g(x)＝x.
(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
[解] (1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示：
(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝－1＝3，
f(π)＝3π，g(－π)＝－π＝3π，
f(m)＝3m，g(－m)＝－m＝3m.
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．
课件40张PPT。第四章 指数函数与对数函数4.2 指数函数
第1课时 指数函数的概念、图象与性质R 点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 指数函数的性质的应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式．(重点)
2．通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点)
借助指数函数的性质及应用，培养逻辑推理和数学运算素养.
利用指数函数的单调性比较大小
【例1】 比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2；
(2)0.6－1.2和0.6－1.5；
(3)1.70.2和0.92.1；
(4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1)．
[解] (1)1.52.5,1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.
(2)0.6－1.2,0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，
因为函数y＝0.6x在R上是减函数，
且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5.
(3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1,0.92.1<0.90＝1，
所以1.70.2>0.92.1.
(4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3；
当0比较幂的大小的方法
?1?同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较.
?2?指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小.
?3?底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较.
?4?当底数含参数时，要按底数a>1和01．比较下列各值的大小：，2，3，.
[解] 先根据幂的特征，将这4个数分类：
(1)负数：3；(2)大于1的数：，2；(3)大于0且小于1的数：.
(2)中，<2<2(也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝x，y＝2x的图象，再分别取x＝，x＝，比较对应函数值的大小，如图)，
故有3<<<2.
利用指数函数的单调性解不等式
【例2】 (1)解不等式3x－1≤2；
(2)已知ax2－3x＋10，a≠1)，求x的取值范围．
[解] (1)∵2＝－1，∴原不等式可以转化为3x－1≤－1.
∵y＝x在R上是减函数，
∴3x－1≥－1，∴x≥0，
故原不等式的解集是{x|x≥0}．
(2)分情况讨论：
①当00，a≠1)在R上是减函数，
∴x2－3x＋1>x＋6，
∴x2－4x－5>0，
根据相应二次函数的图象可得x<－1或x>5；
②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数，
∴x2－3x＋1根据相应二次函数的图象可得－1综上所述，当05；当a>1时，－11．利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．
2．解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)?
2．若ax＋1>5－3x(a>0且a≠1)，求x的取值范围．
[解] 因为ax＋1>5－3x，所以ax＋1>a3x－5，当a>1时，y＝ax为增函数，可得x＋1>3x－5，所以x<3；
当03.
综上，当a>1时，x的取值范围为(－∞，3)；当0指数型函数单调性的综合应用
[探究问题]
1．试结合图象，分析y＝2－x，y＝2|x|，y＝x＋1的单调性，并写出相应单调区间．
提示：
2．结合探究1，分析函数y＝2|x|与函数y＝|x|的单调性是否一致？
提示：y＝2|x|的单调性与y＝|x|的单调性一致．
3．函数y＝a－x2(a>0，且a≠1)的单调性与y＝－x2的单调性存在怎样的关系？
提示：分两类：(1)当a>1时，函数y＝a－x2的单调性与y＝－x2的单调性一致；
(2)当0【例3】 判断f(x)＝x2－2x的单调性，并求其值域．
[思路点拨] ―→
―→
[解] 令u＝x2－2x，则原函数变为y＝u.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝u在(－∞，＋∞)上递减，
∴y＝x2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝u，u∈[－1，＋∞)，
∴0∴原函数的值域为(0,3]．
把本例的函数改为“f(x)＝2，求其单调区间．
[解] 函数y＝2的定义域是R.
令u＝－x2＋2x，则y＝2u.
当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，
所以函数y＝2在(－∞，1]上是增函数．
当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2在[1，＋∞)上是减函数．
综上，函数y＝2的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．
函数y＝af?x??a>0，a≠1?的单调性的处理技巧
?1?关于指数型函数y＝af?x??a>0，且a≠1?的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0?2?求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f?u?，u＝φ?x?，通过考查f?u?和φ?x?的单调性，求出y＝f?φ?x??的单调性.
1．比较两个指数式值的大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.
2．解简单指数不等式问题的注意点
(1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分01两种情况进行讨论．
(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．
(3)形如ax>bx的不等式，可借助图象求解．
3．(1)研究y＝af(x)型单调区间时，要注意a>1还是0当a>1时，y＝af(x)与f(x)单调性相同．
当0(2)研究y＝f(ax)型单调区间时，要注意ax属于f(u)的增区间还是减区间.
1．思考辨析
(1)y＝21－x是R上的增函数．( )
(2)若0.1a>0.1b，则a>b.( )
(3)a，b均大于0且不等于1，若ax＝bx，则x＝0.( )
(4)由于y＝ax(a>0且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．若2x＋1<1，则x的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
D [∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，
∴x＋1<0，∴x<－1.]
3．下列判断正确的是( )
A．1.72.5＞1.73 B．0.82＜0.83
C．π2＜π D．0.90.3＞0.90.5
D [∵y＝0.9x在定义域上是减函数，0.3＜0.5，∴0.90.3＞0.90.5.]
4．已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象经过点.
(1)比较f(2)与f(b2＋2)的大小；
(2)求函数g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域．
[解] (1)由已知得a2＝，解得a＝，因为f(x)＝x在R上递减，2≤b2＋2，所以f(2)≥f(b2＋2)．
(2)因为x≥0，所以x2－2x≥－1，所以≤3，
即函数g(x)＝a(x≥0)的值域为(0,3]．
课件31张PPT。第四章 指数函数与对数函数4.2 指数函数
第2课时 指数函数的性质的应用点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十五) 指数函数的概念、图象与性质
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．若函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值是( )
A．4 B．1或3
C．3 D．1
C [由题意得解得a＝3，故选C.]
2．函数y＝x(x≥8)的值域是( )
A．R B.
C. D.
B [因为y＝x在[8，＋∞)上单调递减，所以03．函数y＝的定义域是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，0]
C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
C [由2x－1≥0得2x≥1，即x≥0，∴函数的定义域为[0，＋∞)，选C.]
4．当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝ax＋1－1的图象一定过点( )
A．(0,1) B．(0，－1)
C．(－1,0) D．(1,0)
C [∵f(－1)＝a－1＋1－1＝a0－1＝0，∴函数必过点(－1，0)．]
5．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是( )
A B C D
A [当a>1时，函数f(x)＝ax单调递增，当x＝0时，g(0)＝a>1，此时两函数的图象大致为选项A.]
二、填空题
6．函数f(x)＝3的定义域为________．
[1，＋∞) [由x－1≥0得x≥1，所以函数f(x)＝3的定义域为[1，＋∞)．]
7．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)经过点(－1,5)，(0,4)，则f(－2)的值为________．
7 [由已知得解得所以f(x)＝x＋3，所以f(－2)＝－2＋3＝4＋3＝7.]
8．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是________．
(－1,0)∪(0,1) [由x<0，得0<2x<1；由x>0，
∴－x<0,0<2－x<1，
∴－1<－2－x<0.
∴函数f(x)的值域为(－1,0)∪(0,1)．]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
[解] (1)因为函数图象经过点，
所以a2－1＝，则a＝.
(2)由(1)知函数为f(x)＝x－1(x≥0)，由x≥0，得x－1≥－1.于是0所以函数的值域为(0,2]．
10．已知f(x)＝9x－2×3x＋4，x∈[－1,2]．
(1)设t＝3x，x∈[－1,2]，求t的最大值与最小值；
(2)求f(x)的最大值与最小值．
[解] (1)设t＝3x，∵x∈[－1,2]，函数t＝3x在[－1,2]上是增函数，故有≤t≤9，故t的最大值为9，t的最小值为.
(2)由f(x)＝9x－2×3x＋4＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t＝1，且≤t≤9，
故当t＝1时，函数f(x)有最小值为3，当t＝9时，函数f(x)有最大值为67.
[等级过关练]
1．函数y＝a－|x|(0A B C D
A [y＝a－|x|＝|x|，易知函数为偶函数，∵01，故当x>0时，函数为增函数，当x<0时，函数为减函数，当x＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A.]
2．若a>1，－1A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
A [∵a>1，且－1]
3．已知函数y＝x在[－2，－1]上的最小值是m，最大值是n，则m＋n的值为________．
12 [∵y＝x在R上为减函数，∴m＝－1＝3，n＝－2＝9，故m＋n＝12.]
4．函数f(x)＝的值域是________．
(0,1) [函数y＝f(x)＝，即有3x＝，由于3x＞0，则＞0，解得0＜y＜1，值域为(0,1)．]
5．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)．
(1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的取值范围；
(2)若f(x)的图象如图②所示，|f(x)|＝m有且仅有一个实数解，求出m的范围．
[解] (1)由f(x)为减函数可知a的取值范围为(0,1)，
又f(0)＝1＋b<0，所以b的取值范围为(－∞，－1)．
(2)由图②可知，y＝|f(x)|的图象如图所示．
由图象可知使|f(x)|＝m有且仅有一解的m值为m＝0或m≥3.
课时分层作业(二十六) 指数函数的性质的应用
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．设a＝40.9，b＝80.48，c＝－1.5，则( )
A．c>a>b B．b>a>c
C．a>b>c D．a>c>b
D [a＝40.9＝21.8，b＝80.48＝21.44，c＝－1.5＝21.5，因为函数y＝2x在R上是增函数，且1.8>1.5>1.44，所以21.8>21.5>21.44，即a>c>b.]
2．若2a＋1<3－2a，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B.
C．(－∞，1) D.
B [∵函数y＝x在R上为减函数，∴2a＋1>3－2a，∴a>.]
3．若函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C.∪(1，＋∞) D.
A [由于底数3∈(1，＋∞)，所以函数f(x)＝3(2a－1)x＋3的单调性与y＝(2a－1)x＋3的单调性相同．因为函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以y＝(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以2a－1<0，即a<，从而实数a的取值范围是，选A.]
4．已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)( )
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
A [因为f(x)＝3x－x，且定义域为R，所以f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．
又y＝3x在R上是增函数，y＝x在R上是减函数，所以f(x)＝3x－x在R上是增函数．]
5．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是( )
A．6 B．1
C．3 D.
C [函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是单调递增函数，故x＝1时，ymax＝3.]
二、填空题
6．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．
mf(n)，∴m7．若－1b1,0.2x>1，又因为0.5x<0.2x，所以b8．函数f(x)＝1－x2的单调递增区间为________．
[0，＋∞) [由于底数∈(0,1)，所以函数f(x)＝1－x2的单调性与y＝1－x2的单调性相反，f(x)＝1－x2的单调递增区间就是y＝1－x2的单调递减区间．由y＝1－x2的图象(图略)可知：当x≤0时，y＝1－x2是增函数；当x≥0时，y＝1－x2是减函数，所以函数f(x)＝1－x2的单调递增区间为[0，＋∞)．]
三、解答题
9．求下列函数的单调区间：
(1)y＝a－x2＋3x＋2(a>1)；(2)y＝2|x－1|.
[解] (1)设u＝－x2＋3x＋2＝－2＋，易知u在上是增函数，在上是减函数，
∴a>1时，y＝au在上是增函数，在上是减函数．
(2)当x∈(1，＋∞)时，函数y＝2x－1，因为t＝x－1为增函数，y＝2t为增函数，
∴y＝2x－1为增函数；
当x∈(－∞，1)时，函数y＝21－x.
而t＝1－x为减函数，y＝2t为增函数，
∴y＝21－x为减函数．
故函数y＝2|x－1|在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．
10．已知函数f(x)＝a－(x∈R)．
(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在R上为增函数；
(2)若f(x)为奇函数，求a的值；
(3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1,5]上的最小值．
[解] (1)证明：∵f(x)的定义域为R，任取x1∵x1∴2x1－2x2<0，(1＋2x1)(1＋2x2)>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴不论a为何实数，f(x)在R上为增函数．
(2)∵f(x)在x∈R上为奇函数，
∴f(0)＝0，即a－＝0，解得a＝.
(3)由(2)知，f(x)＝－，
由(1)知，f(x)为增函数，
∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1)．
∵f(1)＝－＝，
∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为.
[等级过关练]
1．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C. [－2，＋∞) D．(－∞，－2]
B [∵f(1)＝a|2－4|＝a2＝，
∴a＝，a＝－(舍去)．
∴f(x)＝|2x－4|.
∴f(x)的单调递减区间为[2，＋∞)．]
2．设函数f(x)＝若f＝4，则b＝( )
A．1 B.
C. D.
D [f＝f＝f.当－b<1，即b>时，3×－b＝4，解得b＝(舍去)．当－b≥1，即b≤时，2＝4＝22，解得b＝.]
3．已知函数f(x)＝为奇函数，则m的值等于________．
1 [由题意可知，f(0)＝＝＝0，
∴m＝1.]
4．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．
[∵a2＋a＋2＝2＋>1，
∴y＝(a2＋a＋2)x为R上的增函数，
∴x>1－x，即x>.]
5．已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；
(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值．
[解] (1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，
令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，
由于g(x)在(－2，＋∞)上递减，
y＝x在R上是减函数，
∴f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，
即f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)．
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝h(x)，由于f(x)有最大值3，
所以h(x)应有最小值－1.
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
