4.3 对数
4.3.1 对数的概念
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算．(重点、难点)
2．理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化．(重点)
3．理解常用对数、自然对数的概念及记法.
借助指数式与对数式的互化及应用对数的性质解题，培养数学运算素养.
1．对数
(1)指数式与对数式的互化及有关概念：
(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.
2．常用对数与自然对数
3．对数的基本性质
(1)负数和零没有对数．
(2)loga 1＝0(a>0，且a≠1)．
(3)logaa＝1(a>0，且a≠1)．
思考：为什么零和负数没有对数？
提示：由对数的定义：ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况．
1．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有( )
A．log2M＝a B．logaM＝2
C．log22＝M D．log2a＝M
B [∵a2＝M，∴logaM＝2，故选B.]
2．若log3x＝3，则x＝( )
A．1 B．3
C．9 D．27
D [∵log3x＝3，∴x＝33＝27.]
3．在b＝loga(5－a)中，实数a的取值范围是( )
A．a>5或a<0
B．0
C．0D．1B [由对数的定义可知
解得04．ln 1＝________，lg 10＝________.
0 1 [∵loga1＝0，∴ln 1＝0，又logaa＝1，∴lg 10＝1.]
指数式与对数式的互化
【例1】 将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：
(1)2－7＝；(2)log32＝－5；
(3)lg 1 000＝3；(4)ln x＝2.
[解] (1)由2－7＝，可得log2＝－7.
(2)由log 32＝－5，可得－5＝32.
(3)由lg 1 000＝3，可得103＝1 000.
(4)由ln x＝2，可得e2＝x.
指数式与对数式互化的方法
?1?将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；
?2?将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.
1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)3－2＝； (2)－2＝16；
(3)log27＝－3; (4)log64＝－6.
[解] (1)log3＝－2；(2)log 16＝－2；
(3)－3＝27；(4)()－6＝64.
利用指数式与对数式的关系求值
【例2】 求下列各式中的x的值：
(1)log64x＝－； (2)logx 8＝6；
(3)lg 100＝x; (4)－ln e2＝x.
[解] (1)x＝(64)＝(43)＝4－2＝.
(2)x6＝8，所以x＝(x6)＝8＝(23)＝2＝.
(3)10x＝100＝102，于是x＝2.
(4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2，
所以x＝－2.
求对数式logaN?a>0，且a≠1，N>0?的值的步骤
?1?设logaN＝m；
?2?将logaN＝m写成指数式am＝N；
?3?将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b.
2．计算：(1)log9 27；(2)log 81；(3)log625.
[解] (1)设x＝log9 27，则9x＝27,32x＝33，∴x＝.
(2)设x＝log81，则()x＝81,3＝34，∴x＝16.
(3)令x＝log625，∴()x＝625,5＝54，∴x＝3.
应用对数的基本性质求值
[探究问题]
1．你能推出对数恒等式alogaN＝N(a>0且a≠1，N >0)吗？
提示：因为ax＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N可得alogaN＝N.
2．若方程logaf(x)＝0，则f(x)等于多少？若方程logaf(x)＝1呢？(其中a>0且a≠1)
提示：若logaf(x)＝0，则f(x)＝1；若logaf(x)＝1，则f(x)＝a.
【例3】 设5log5(2x－1)＝25，则x的值等于( )
A．10 B．13
C．100 D．±100
(2)若log3(lg x)＝0，则x的值等于________．
[思路点拨] (1)利用对数恒等式alogaN＝N求解；
(2)利用logaa＝1，loga1＝0求解．
(1)B (2)10 [(1)由5log5(2x－1)＝25得2x－1＝25，所以x＝13，故选B.
(2)由log3(lg x)＝0得lg x＝1，∴x＝10.]
1．若本例(2)的条件改为“ln(log3x)＝1”，则x的值为________．
3e [由ln(log3x)＝1得log3x＝e，∴x＝3e.]
2．在本例(2)条件不变的前提下，计算x－的值．
[解] ∵x＝10，∴x－＝10－＝.
1．利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
2．性质alogaN＝N与logaab＝b的作用
(1)alogaN＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．
(2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．
1．对数的概念：ab＝N?b＝logaN(a>0且a≠1)是解决指数、对数问题的有利工具．
2．指数式、对数式的互化反映了数学上的等价转化思想，在涉及到对数式求值问题时，常转化为指数幂的运算问题．
3．对数恒等式alogaN＝N，其成立的条件是a>0，a≠1，N>0.
1．思考辨析
(1)logaN是loga与N的乘积．( )
(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.( )
(3)对数运算的实质是求幂指数．( )
(4)在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(1，＋∞)．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．100＝1与lg 1＝0
B．27＝与log27＝－
C．log39＝2与9＝3
D．log55＝1与51＝5
C [C不正确，由log39＝2可得32＝9.]
3．若log2(logx9)＝1，则x＝________.
3 [由log2(logx9)＝1可知logx9＝2，即x2＝9，∴x＝3(x＝－3舍去)．]
4．求下列各式中的x值：
(1)logx27＝； (2)log2 x＝－；
(3)x＝log27； (4)x＝log16.
[解] (1)由logx27＝，可得x＝27，
∴x＝27＝(33)＝32＝9.
(2)由log2x＝－，可得x＝2，
∴x＝＝＝.
(3)由x＝log27，可得27x＝，
∴33x＝3－2，∴x＝－.
(4)由x＝log16，可得x＝16，
∴2－x＝24，∴x＝－4.
课件33张PPT。第四章 指数函数与对数函数4.3 对数
4.3.1 对数的概念点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十七) 对数的概念
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知f(ex)＝x，则f(3)＝( )
A．log3 e B．ln 3
C．e3 D．3e
B [∵f(ex)＝x，∴由ex＝3得x＝ln 3，即f(3)＝ln 3，选B.]
2．方程2log3x＝的解是( )
A．9 B.
C. D.
D [∵2log3x＝＝2－2，∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝.]
3．log3 ＝( )
A．4 B．－4
C. D．－
B [令log3＝t，则3t＝＝3－4，∴t＝－4.]
4．log5(log3(log2x))＝0，则x等于( )
A. B.
C. D.
C [∵log5(log3(log2x))＝0，∴log3(log2x)＝1，
∴log2x＝3，∴x＝23＝8，
∴x＝8＝＝＝.]
5．下列各式：
①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝10；④若log25x＝，则x＝±5.
其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
B [对于①，∵lg(lg 10)＝lg 1＝0，∴①对；
对于②，∵lg(ln e)＝lg 1＝0，∴②对；
对于③，∵10＝lg x，∴x＝1010，③错；
对于④，∵log25x＝，∴x＝25＝5.所以只有①②正确．]
二、填空题
6．log33＋3log32＝________.
3 [log33＋3log32＝1＋2＝3.]
7．已知logx＝3，则x＝________.
[∵logx＝3，∴x＝3，
∴x＝＝.]
8．使log(x－1)(x＋2)有意义的x的取值范围是________．
(1,2)∪(2，＋∞) [要使log(x－1)(x＋2)有意义，则∴x>1且x≠2.]
三、解答题
9．求值：(1)9；(2)51＋log52.
[解] (1)9＝(32)＝3＝4.
(2)5＝5×5＝5×2＝10.
10．若logx＝m，logy＝m＋2，求的值．
[解] ∵logx＝m，∴m＝x，x2＝2m.
∵logy＝m＋2，∴m＋2＝y，y＝2m＋4，
∴＝＝2m－(2m＋4)＝－4＝16.
[等级过关练]
1．3log34－27－lg 0.01＋ln e3等于( )
A．14 B．0
C．1 D．6
B [3log34－27－lg 0.01＋ln e3＝4－－lg＋3＝4－32－(－2)＋3＝0.选B.]
2．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)的值是( )
A．1 B．0
C．x D．y
B [由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则(x－2)2＋(y－1)2＝0，∴x＝2，y＝1，∴logx(yx)＝log2(12)＝0.]
3．若a>0，a2＝，则loga＝________.
1 [∵a2＝且a>0，∴a＝，∴log＝1.]
4．计算23＋log23＋32－log39＝________.
25 [23＋log23＋32－log39＝23×2log23＋＝8×3＋＝25.]
5．已知log2(log3(log4x))＝0，且log4(log2y)＝1，求·y的值．
[解] ∵log2(log3(log4 x))＝0，
∴log3(log4 x)＝1，
∴log4 x＝3，∴x＝43＝64.
由log4(log2 y)＝1，知log2 y＝4，∴y＝24＝16.
因此·y＝×16＝8×8＝64.
